高考数学专题十数列的极限与函数的导数

1、学习必备欢迎下载专题十：数列的极限与函数的导数【考点审视】极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、 分析函数的单调性与最值，考查“数形结合” 、“分类讨论” 等数学思想方法的综合运用能力。从 20XX年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（ 1）从

2、数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限：1) lim cc(c 是常数） ,2) lim10 ,3) lim q n0(| q | 1) .nnnn(2) 明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。（ 3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。（ 4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。（ 5）熟记八个基本导数公式， 掌握求导的四则运算法则， 理解复合函数的求导法则， 会求简单函数的导数。（ 6）掌握导数的几何意义与物理意义， 理解可导函数的单调性、 极值与导数的关系， 强化用导数解决实际问题的能力。【疑难点拨】：

3、1，极限的四则运算法则， 只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对 0 、 0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。0例如（ 20XX 年辽宁， 14） lim ( x) cos x =x x【分析】这是0 型，需因式分解将分母中的零因子消去，故lim( x) cos x0xx= lim ( x) cos x =2。x2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：（ 20XX年广东 ,4 ） lim (123+2n12n) 的值为（）nn1n 1n1n1n 1（ A）-1（B

4、）0（C） 1（D）122n12n1【分析】这是求无穷项的和，应先求前2n项的和再求极限=，原nn1n1n1式 = lim (n)=-1，故选 (A) 。n13 ，无穷等比数列的公比q ，当 | q |a1及重要应用。 例如（ 20XX1 时，各项的和 s1q学习必备欢迎下载年上海，4）设等比数列an （ nN ）的公比 q1，且 lim ( a1 a3a5a2 n 1 ) =8 ，2n3则 a1【分析】数 列 a2 n 1是 首 项 为 a1， 公 比 是 q 21的等比数列，4 lim ( a1a3a5a2 n 1 ) =a12 = 8 ，解得 a1 =2。n1q34 ，当且仅当 limf

5、xlimf xa 时， lim fxa， xx0 时 f x 可有定义也可xx0xxoxxo无定义。例如下列命题正确的是()(A )若 fxx1limfx0， B 若fxx 22xlimfx2， (C)若则则,x 1x2x 2fx1fx0 ，(D) 若 f (x)x (x0)f ( x)0 。,则 lim,则 limxxx1(x0)x 0【分析】( A )中 x1无定义，（ C ）中 x无定义，而 (D)lim f (x) 0 ，x0lim f ( x)1，故 B 是正确的。x0，函数 fx在 xx0 处连续是指limfxf x0 ，注意：有极限是连续的必要条件，5x x0连续是有极限的充分条

6、件。6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如y| x |在（ 0 ， 0 ）处的导数存在吗？为什么？【分析】lim | 0x | | 0 |lim|x |1， lim | 0x | 0 |x0xx 0xx 0xlim |x |1 y| x |在（ 0 ， 0 ）处的导数不存在。x 0x7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导， （ 2）复合函数灵活处理，（ 3）有时要回到定义中求导。8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、 函数极值与最

7、值求法、 有关方程与不等式问题、 有关近似计算问题、 实际应用题。【经典题例】【例】求下列数列的极限：（） lim (l g nl g10n 3) ；（） limcosnsin nnn （ 0）；nncossin2（）1a2a3an1lim 1 (1)(1)(1)(1) ；annnnnn学习必备欢迎下载（）已知 a0 ，数列 an 满足 a1 a, an 1 a1 ，若 an 的极限存在且大于零，求anlim an 的值。n【例】求下列函数的极限：（ 1） lim2x13（ 2） limcosxx22xxx4xcossin222（ 3） lim (132 )（ 4） lim x( x 21x

8、21)x 11x1xx【例】求下列函数的导函数：（）f ( x) e x (cos xsin x) ；（） f (x) cos2 (ln 2 )；x（）f (x) lgx；（）已知f ( x) 3x 3x 2| x |，求 f (0) 。x1x2【例】设 an1qq2q n 1 （ nN,q 21 ）， An（ C n1 a1 +C n2 a2C n3 a3Cnn an ）。（）用 q 和 n 表示 An ；（）当3q1时，求 limAnnlim3 1qx1的值；（）在（）的条件下，求x的取值范围。n2x 0【例】过点（2， 0），求与曲线y2xx3 相切的直线方程。【例】（ 2004 全国卷

9、二， 22）已知函数 f (x)ln(1x)x， g(x) xln x 。（）求函数 f ( x) 的最大值；（）设0a b，证明ab)() ln 2。g( a) g(b)2g(ba02【例】（ 2004 广东卷， 21）设函数 f ( x) = xln( xm) ，其中常数 m 为整数。（）当 m 为何值时， f ( x)0 ；（）定理：若函数 g(x) 在a, b 上连续，且 g(a) 与 g(b) 异号，则至少存在一点x0(a, b)使 g ( x0 )0 。试用上述定理证明：当整数m1时，方程 f ( x) =0，在 e mm,e2mm 学习必备欢迎下载内有两个实根。【例】溶液自深18

10、 cm ，顶直径12 cm 的圆锥形漏斗中漏入一直径为10 cm 的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满水，已知当溶液在漏斗中之深为12 cm 时，其水平下落的速度为1 cm min ，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？【热身冲刺】一、选择题：1、下列数列极限为 1的 是 （）m1 n；m1 n；( A) lim (m)( B) lim ()mnm(C ) lim ( 1)n(0.9999)n；(D ) lim (11en) 。nn2nn2、已知 limx 22x55，则常数 a 的值为（）ax226x15（ B ）6(C)26(D)26( A)555；613、 lim 31xln( e1x)

11、 的值是（）x 1( A)0( B)1(C) e(D ) 不存在；1x1且4、若 f ( x)3 1x1(x1x0) 在点 x0 处连续，则 a（）a( x0)(A)3(B) 2(C)0(D)1235、若 f ( x1) 为偶函数，且f (1) 存在，则 f ( 1)（）（ A）0( B)x(C) 1(D)-1；6、设 f ( x)是函数 f (x) 的导函数， yf(x) 的图象如图所示，则yf ( x) 的图象最有可能的是（）yyyyy12011212102x 00ABxx2xCD(A)(B)(C)(D)学习必备欢迎下载7、函数 f ( x)ax 3x1 有极值的充要条件是（）（ A ）

12、a. 0( B)a 0(C )a 0（ D ） a 08 、 (2004江苏卷， 10) 函数 f (x)x33x1 在区间 -3， 0 上的最大值、最小值分别是（）（ A） 1,-1（ B） 1,-17（ C） 3,-17（ D） 9,-199 、 f (x)、 g( x)分别是定义 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 。 当 x0 时 ，f ( x)g( x)f ( x)g ( x)0 ，且 f( 3)0 ，则不等式 f ( x) g( x)0的解集是（）（ A ）（-3，0）（ 3，）(B)(3,0)(0,3)（C）(,3)(3,)(D)(, 3) (0,3)10、三次函数 f (

13、x) = x33bx 3b 在 1 ， 2 内恒为正值的充要条件为（）（ A ） 1 b 2( B)b 0(C )1 b 2(D )9；b4二、填空题：11、曲线 y21 x 2 与 y1 x32 在交点处的切线夹角是（以弧度数作答） ；2412、 f( x)a ，则 limf ( x 2 x) f ( x)；x0x13、已知 f (x) 是 x 的一个三次多项式，若limf ( x)f ( x)x= lim=1，f ( x) =x 22x 4 x4则 limx 3 x31 的半圆后得14、如图， P1 是一块半径为1 的半圆形纸板，在P1 的左下端剪去一个半径为2图形 P2 ，然后剪去更小的

14、半圆（其直径为前一被剪掉半圆的半径）得图形P3 ， P4 ，Pn ，记纸板Pn 的面积为 Sn，则 lim Sn =nP1P2P3P4三、解答题：15、已知函数f (x) 在定义域 R 上可导， 设点 P 是函数 yf ( x) 的图象上距离原点0 最近的学习必备欢迎下载点。（）若点 P 的坐标为 (a, f ( a) ，求证： af (a) f ( a) =0；（）若函数 yf ( x) 的图象不经过坐标原点0，证明直线 OP 与函数 yf ( x) 的图象上过 P 点的切线互相垂直。16、证明：（ 1）当 x 1时， 2x 31；x（ 2）当 a0 ， x0时， x22ax1 ex 。17

15、、已知函数 f ( x) ax3bx 23x 在 x1处取得极值。（）讨论f (1) 和 f ( 1) 是函数f (x) 的极大值还是极小值；（）过点A(0,16) 作曲线 yf (x) 的切线，求此切线方程。18、已知函数f ( x)e x (cos xsin x) ，将满足f ( x)0 的所有正数x 从小到大排成数列 xn （）证明：数列 f( xn) 为等比数列；（）记sn 是数列 xnf ( xn ) 的前n 项和，求lims1s2snnn学习必备欢迎下载19、f (x) 是定义在 0 ，1 上的增函数，f (x)x ) 且在每个区间(11( i1,2, )上，2 f ( 22i, 2i 1y f ( x) 的图象都是斜率为同一