圆锥曲线复习与小结

1、圆锥曲线复习与小结、知识回顾1椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点Fi,F2的距 离之和为定值2a（2a>|FF2|）的点的轨 迹1.到两定点Fi,F2的 距离之差的绝对值为 定值 2a（0<2av|FF2|） 的点的轨迹2.与定点和直线的距 离之比为定值e的点的轨迹（ 0<e<1）2.与定点和直线的距 离之比为定值e的点的轨迹（ e>1）与定点和直线的距离相 等的点的轨迹.图形方 程标准 方程2 2考 + 告=1( a > b >0) ab2 2务吿= 1(a>0,b>0)ab2小y =2px参数 方程

2、r2存=级（t为参数）= 2pt范围aax<a, by<b|x| 工 a, yRx0中心原点0 (0, 0)原点0 (0, 0)顶点(a,0), ( a,0) (0,b),(0, b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a短轴长2bx轴，y轴； 实轴长2a,虚轴长2b.x轴隹占八、八、Fi(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)焦距2c(c=/a2-b2 )2c (c= Ja2 +b2 )离心率e=1准线2.a x= 士c2.a x= 士c渐近线+ b y= 土 x a焦半径通径2p焦参数P2椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及

3、相应性质3.等轴双曲线4. 共轭双曲线5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.6. 共渐近线的双曲线系方程.二、几种常见求轨迹方程的方法1 直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出 等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法.例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的最小距离等于k的动点P的轨迹方程；过点A(a, o)作圆0： x2+y2=R(a >R>o)的割线，求割线被圆0截得弦的中点 的轨迹.2 定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出 所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义

4、法.例2设Q是圆x2+y2=4上的动点，另有点A(、.3,0),线段AQ的垂直平分线I交半 径0C于点P,当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程.3. 相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y°)的变动而变动，且x。、y°可用x、y 表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P的轨迹方程.这种方法称 为相关点法(或代换法).例3已知抛物线y2=x+1，定点A(3, 1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP： PA=1： 2,当B点在抛物线上变动时，求点 P的轨迹方程.例4.垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x -)分别交于点A和点P

5、,点B在y轴上且点 A分0B的比为1:2,求线段PB中点的轨迹方程.4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求.例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两 个公共点，又直线y=2x被双曲线截得线段长等于2 5，求此双曲线方程.三、课堂练习1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为 26,求点M的轨迹 方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3, 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2, 0)，过定点A作弦AB并延长到点P,使 3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.24.

6、求抛物线y =2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程.一、点、直线与圆锥曲线的位置关系1点P(x°, y°)和圆锥曲线C: f(x , y)=0的位置关系有：点P在曲线C上、点P 在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)2. 直线I: Ax+By+C=0和圆锥曲线C： f(x，y)=0的位置关系可分为：相交、相 切、相离这三种位置关系的条件是：设直线 I:Ax+By+C=0,圆锥曲线 C： f(x,y)=0 ;由 Ax By C 一 0 消去 y (或 x) 得:F(x, y)=0ax2+bx+c=0 (a0);令 =b2-4 ac,

7、贝U(1) >0?相交；(2) =0?相切(3) <0?相离.注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要 条件，但不是充分条件.二、例题2 2例1若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 - 1总有公共点，求m的取值5 m范围.提示：分别从曲线和方程与数形结合思想两个角度分析、解题例2椭圆C:2 243 =1上有相异两点关系直线l： y=4x+m对称，求m的取值范围.1点拨1：对称点在直线l ' y = -x+ n上，且I'与椭圆C有两个不同的交点,4可用“判别式法” 点拨2：两对称点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)连线的中点M(

8、x0，y°)在椭圆C内，可用“内点法”.说明：判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方 法例3已知抛物线C： y=x2+mx-1,点A(3,0),B(0,3)，若抛物线C与线段AB有两个交 点，求m的取值范围.提示：转化为一元二次方程根的分布.例4.过椭圆C:2 2x ya2 b2=1(a>b>0)上一动点P向圆O: x2+y2=b2引两条切线PA、PB,切点分别是 A、B，直线AB与x轴，y轴分别交于 M , N两点，求 MON面 积的最小值点拨：充分利用平几知识解题.三、练习1. 设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为3,5，求k的值

9、.2. (1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2,0)的直线I与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条?3. 求曲线C： x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C'的方程.一、与圆锥曲线有关的几种典型题1圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C： f(x , y)=0与直线I ： y=kx+b相交于A(x1 , yl)、B(X2, y2)两点, 则弦长|AB|为：(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF| .例1过抛物线y n-x2的焦点作倾斜角为a的直线I交抛物线于A、B两点，且4

10、|AB|=8，求倾斜角a2与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x, y)的取值范围.例 2已知 x2+4(y-1) 2=4，求：(1) x?+y2的最大值与最小值；(2) x+y的最大值与最小值.3与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题 的判断方法.2 | ,例3 在抛物线x= 4y上有两点A(xi，yi)和B(X2，y 且满足|AB|=yi+y2+2，求 证：(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；4圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题

11、直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用厶0来处理但用>0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的解决这类问题：方法1,由“0”与直观图形相结合；方法2，由“0”与根与系数关系相结合；方法 3,转换 参数法.例4.已知曲线C1：xT=1及C2：y=x2 7有公共点，求实数a的取值范围.、练习21求椭圆y y2胡到点a(1,0)的距离为最小的点p的坐标.22.已知圆(x-1) +y2=1与抛物线y2=2px有三个公共点，求P的取值范围.22 2 23. 证明：椭圆=1与双曲线-1 1的交点是一个矩形的顶点.20 512 3一、例题例1已知抛物线C:y2=4x,若椭圆的左焦点及相应准线与

12、 C的焦点F和准线I分别重合(如图所示)(1)求椭圆短轴端点B与焦点F的连线中点P的轨迹方程(2)若M(m,O)是x轴上一点，Q是(1)所求曲线上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求其值，若无，说明其理由例2已知直线I: y=mx-4和抛物线C: y =8x, m是何实数时，I与C有仅有一个公共点？若I与C有两个公共点, 求I的倾斜角a的取值范围.例3如图，已知直线I过坐标原点，抛物线C的顶点在 原点，焦点在x轴的正半轴上，若点A(-1,0)和点B(0,8) 关于I的对称点都在C 上,求直线I和抛物线C的方 程2例4已知椭圆 y2 =1的焦点为 Fi、F2，抛物线4y2=px(p>0

13、)与椭圆在第一象限内的交点为Q，若/ F1QF2=60°.(1) 求 F1QF2的面积；(2) 求此抛物线的方程.、练习1 已知曲线C: y=-x2+x+2关于点(a，2a)对称的曲线是C',若C与C'有两 个不同的公共点，求a的取值范围.(-2 v av 1)2.过圆O: x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作这圆的切线I， M为I上任一点，过 M作圆O的另一条切线，切点为Q，求点M在直线I上移动时， MAQ垂心的轨迹 方程.2 21 椭圆 务-芯=1(a>b>0)的左焦点到左准线的距离是a bb2c2(A) a c(B) a b(C)( D)-ca2 2

14、2.双曲线 -y =1的离心率e (1,2)，则k的取值范围是4 k(A) (0, 6)( B) (3,12)(C) (1,3)( D) (0, 12)3抛物线y=x2上的点到直线2x-y=4的最短距离是3323(A)(B)5(C)5(D)1055552 24双曲线1上的点P到点(5, 0)的距离是15,则点P到点(-5, 0)的距离是1695.(A) 7( B) 23 (C) 5 或 252 2椭圆-1上的点M到焦点259(D) 7或23F1的距离是2，N是MF1的中点，贝U |ON|为(A) 4( B) 2(C) 8(D)6. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，连接它的四个顶点得到的四边形的面积是4 一2，分别连接椭圆上一点(顶点除外)和椭圆的四个顶点，连得线段所在四条直 线的斜率的乘积为1，求