圆地知识点总结材料及典型例题

1、圆的知识点总结知识归纳1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心 角、圆周角、圆内接四边形的外角。2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。4. 垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两

2、条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：过圆心；垂直于弦；平分弦（不是直径）；平分弦所对的优 弧；平分弦所对的劣弧。推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。此定理和推论可以理解成：在同圆

3、或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三 个：两个圆心角相等；两个圆心角所对的弧相等；两个圆心角或两条弧所对的弦 相等；两条弦的弦心距相等。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。探8.轨迹

4、 轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。（1）平面内，至V定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆;（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，至V已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 例题分析例1.已知：如图1，在。O中，半径0M丄弦AB于点N。 若AB =，ON = 1，求MN的长； 若半径 0M = R,/AOB = 120 °，求MN 的长。解：VAB = 2羽，半径0M丄AB，AN = BN =苗1VON = 1，由勾股定理得0A = 2 MIN = 0M O

5、N = 0A ON = 1V半径0M丄AB，且ZAOB = 120 zAOM = 60'ON = OA cos ZAON = OM cos60,0M 丄AB 于 N , AO = R, ON = h，贝U AB = 2Rsin n例2.£履-用、AIN-R-hi AM- JISO0=2hta n n2 2说明：如图1，一般地，若ZAOB = 2n °已知：如图2，在ABC中，ZACB = 90 °，Z = 25。，以点C为圆心、nD，求的度数分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关； 弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这

6、道题有很多解法，仅选几种供 参考。交AB于点解法一：（用垂径定理求）如图 2 - 1，过点C作CE丄AB于点E,交川口于点F。又 vZACB = 90 °，Z = 25 °，AFCA = 25 °n肿的度数为25解法二：（用圆周角求）如图2 2，延长AC交。C于点E,VAE 是直径，a/ADE = 90 ZXCB = 90 °，启=25nAD, -的度数为50 ° o,aZ=/B = 25 °nFD的度数为50 ° o解法三：（用圆心角求）如图2 3，连结CDOvZXCB = 90 °，启=25 °,aZ

7、 = 65 ° CA = CD , AZADC =ZA = 65 °cADazaCD = 50 °的度数为50 °AC为半径作O C,例3.已知：如图3 , ABC内接于。O且AB = AC ,O O的半径等于6cm , O点到BC的距离 OD等于2cm，求AB的长。析：因为不知道/ A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以 需分两种情况进行讨论。c略解：（1）假若/A是锐角，AABC是锐角三角形。如图3，由AB = AC，可知点A是优弧月匚的 中点，因为OD丄BC且AB = AC,根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A

8、，连结BOVBO = 6，OD = 2 二 JO沪-3?二肘- 二 4压在 Rt AADB 中，AD = DO + AO = 6 + 2 = 8.AE = J 加 + 血=+ (42 = A 宾的（2若/A是钝角，贝UAABC是钝角三角形，如图3 1添加辅助线及求出RD"忑，在 Rt KDB 中，AD = AO DO = 6 2 = 4 .Ab =十 曲=毕十（斗7空=4尽呛综上所述AB = 4点'滋或二弧民刪小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置 关系，防止丢解或多解。例4.已知：如图4， AB是。O的直径，弦CD丄AB，F是

9、CD延长线上一点，AF交。O于E。求证：AE EF= EC ED分析：求证的等积式 AE EF= EC ED中，有两条线段EF、ED在止DF中，另两条线段AE、EC没AC，设法证明AFEDs/ceA即可有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线 证明：连结AC四边形DEAC内接于圆 zFDE = /CAE，/FED = /DCA n n直径AB 丄CD zDCA =/CEA ,.ZFED=/CEA ED s/ceADS _胚 配,.AE EF= EC ED小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分 析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。例

10、5.已知：如图5，AM是。O的直径，过。O上一点B作BN丄AM，垂足 为N，其延长线交。O于点C，弦CD交AM于点E。（1）如果CD丄AB，求证：EN = NM ;（2）如果弦CD交AB于点F,且CD = AB，求证CE2 = EF ED;（3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F,且CD = AB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。证明：（1）连结BM （如图5 1）AM 是直径，/ABM = 90 CD 丄AB，ABM /CD zECN = /MBN，又 AM 丄 BC，.CN = BN Rt MEN 李t 注MN，AEN = NM点E是BC垂直

11、平分线AM上r n n n BE= ECCD = AB，.CD 二皿,；AD BC(2)连结 BD，BE，AC (如图 5 2) zACD =/BDC，又 AB = AC，AE = AE ZABE 也zACE，AZABE = /ACD =/BDC zBED 是公共角 BED s/FEBBE2 = EF ED，ACE2 = EF ED(3 )结论成立。如图5 3证明：仿(2)可证ZABE也ACEBE= CE,且 ZABE = ZACE又VAB = CD，广 厂 ZXCB = /DBC，ABD /AC Z3DE + ZACE = 180 °而/FBE+ZABE = 180AZ3DE =

12、/FBE，而ZBED是公共角'ED s/EBBE2 = EF ED，ACE2 = EF ED（二）直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系直线和圆的位置相离相切相交公共点的个数012公共点名称无切点交占八、直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系d > rd - r2. 切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3. 切线的性质（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（3）推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：垂直于切线；经过 切点；经过圆心

13、。4. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。5. 弦切角定理（1 ）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。6. 和圆有关的比例线段（1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；（3）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项；（4）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交

14、点的两条线段长的积相等。7. 三角形的内切圆（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切 多边形；（2 ）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。例题分析例6.已知：如图6，AB是。O的直径，C是AB延长线上一点，CG切。O于D，DE 丄 AB 于 E。求证：/CDB = /EDB。分析：由ab是。o的直径，联想到直径的三个性质：(1 )直径上的圆周角是直角。若连结 AD，则得Rt KBD ;(2) 垂径定理。如图6 2，若延长DE交。O于F,则可得DE = EF,(3) 过直径外端的切线与直径垂直。如图 6 3，若过B点作。O的切线BM，则AB

15、丄BM由CD是。O的切线，联想到切线的三个性质:(1) 过切点的半径垂直于切线。如图 6 1，若连结0D，贝U OD丄CD ;(2) 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结 AD，则ZCDB = /A;(3) 切割线定理。如图6，CD2 = CB CA。由DE丄AB于E,联想到以下一些性质：(1) Rt ADEB 中两锐角互余，即/ EDB + /EBD = 90 ° ;(2) 垂径定理。如图6 2，只要延长DE交。0于F,则可得到相等的线段，相等的弧；(3) 构造与射影定理相关的基本图形。即连结 AD，贝U可得到 ADB是直角三角形，DE是斜边上 的高，又可得到两对相等的锐角，三个

16、相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。证明：连结 AD，如图6，VAB是直径，：/ADB = 90DE 丄 AB，a/EDB = ZACD 是O 0 的切线，：/CDB = ZA，aJCDB =/EDB此例题还有许多证法，比如连结 OD，如图6 1，禾I用切线的定义；又比如延长 DE交。O于F，连结BF，如图6 2，利用垂径定理；还可以过点 B作。O的切线交CD于点M，如图6 3，利用切 线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。小结：此例题证明/CDB =/EDB，即证明BD 是ZCDE的平分线，由此证明可以联想到 AD也是/CD AC AD一，虫DDE 沖ECCr=AC

17、-迟CSIjCDCE . oc文档疋 0£ - £CTft/)r=fiE AE*OE EC二HE ' 样GDE的平分线。另外，通过对 此例题的分析和4中隐含着很多图形的性质，如相等的锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图6-4分解成三个基本图形。如图6 - 5，以利于进一步理解线段之间的比例关系。例7.已知：如图7,点P是半圆0的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CD丄AB于D点，若 PA: PC = 1 : 2，DB = 4，求 tan ZPCA 及 PC 的长证明：连结CBPC切半圆0于C点，：ZPCA = /B vzP = /P，aZPA

18、Cs/pcbAC : BC = PA : PCAC PA tsnan E PC 2AB是半圆0的直径，/ACB = 90又VCD丄ABAC2 ADAB AD 仆/“d-=一 ,AD = - 劝=一 X 4 二 1曲 BD AB BDBC24'AB = AD + DB = 5 + - - .:- : - - It -PA = -t 2啓二凹 33例8.已知：如图8，在Rt ZABC中，/B = 90 °，A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE = DC,以D为圆心，DB长为半径作O D。求证：（1） AC是。D的切线；(2 ) AB + EB = AC分析：（1 ）欲证

19、AC与。D相切，只要证圆心D到AC的距离等于。D的半径BD。因此要作DF丄AC于F（2）只要证 AC = AF + FC = AB + EB，证明的关键是证 BE= FC，这又转化为证 EBD也ZFD 证明：（1）如图8，过D作DF丄AC，F为垂足AD 是/BAC 的平分线，DB 丄AB ,：DB = DF点D到AC的距离等于圆D的半径AC是。D的切线(2) VAB丄BD , O D的半径等于 BD ,AB 是O D 的切线， AB = AF在Rt 经ED 和 Rt 舉CD 中，ED = CD , BD = FD ED =/ECD ,.°.BE= FCAB + BE = AF + F

20、C = AC小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半 径”的方法。此例题属于后一类例9.已知：如图9 , AB为O O的弦，P为BA延长线上一点，PE与O O c相切于点E, C为卫月中点，连CE交AB于点F。求证:-分析：由已知可得 PE2 = PA PB，因此要证PF2 = PA PB ,只要证 PE= PF。即证ZPFEZPEFo证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G,连结ED, zCED = 90 °n点C为丘的中点，：CD丄AB , aZ

21、CFGZDPE为O O切线，E为切点 zPEFZD, azPEFZCFGVzCFG=ZPFE,a/PFE=ZPEF,aPE= PFPE2 = PA PB, APF2 = PA PB证明二：如图9 1，连结AC、AEnn n点C是呂的中点,必，A/CAB = /aecPE 切O O 于点 E,AZPEA = /C zPFEZCAB +ZC,ZPEF=ZPEA + ZAECzPFE=/PEF,：PE= PFPE2 = PA PB, APF2 = PA PB例10.(1)如图10,已知直线AB过圆心O,交O O于A、B，直线AF交O O于F (不与B重合)，直线I交O O于C、D，交BA延长线于E,

22、且与AF垂直，垂足为G,连结AC、AD图10求证：/ BAD =/CAG ;（2）在问题（1 ）中，当直线I向上平行移动，与。O相切时，其它条件不变。请你在图10 - 1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 证明：（1）连结BDVAB 是O O 的直径，：ZADB = 90zAGC = ZADB = 90 °又VACDB是。O内接四边形zACG = /B，A/BAD =/CAG连结CFvzBAD =/CAG，/EAG = /FAB/DAE = /FAC 又 v/ADC =/F,azaDE s/afc，：

23、AC AD = AE AF(2)见图10 1两个结论都成立，证明如下: 连结BC ,VAB 是直径，a/ACB = 90 JACB = /AGC = 90 GC 切O O 于 C,azGCA = /ABC zBAC = /CAG (即/BAD =/CAG )连结CFVzCAG = /BAC , ZGCFZGAC , zGCF=/CAE,/ACF = ZACG ZGFC ,ZE=ZACG /CAEAC _ AF JXCF = /E,azaCF s/aec.AC2 = AE AF (即 AC AD = AE AF)说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学

24、生 证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。例11.如图11，AB是。O的直径O过AC的中点D , DE丄BC,垂足为E。(1) 由这些条件，你能推出哪些正确结论？(要求，不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅 助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出 4个结论即可)。(2) 若/ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图 形。分析：(1)若连结DO，可证得DE是O O的切线。若连结DB，由直径AB和点D是AC的中点，可得AB = BC，ZA = /C等。而且DE丄BC于点E， CT2 = CS * BC 澎=时又由双垂图形，可得(2)连结DO

25、、OB。方法同上。 答：下列结论可供选择，如图(1 DE是。O的切线CD2(2 )® CE= BE=CE CBDE=BE等。11 1 AB = BC /A = /C DE2 = BE CE©ZC+ZCDE = 90 ° DE = CE DE/AB CB是OO的切线CCD _ CE _ DECD _ CECACB=AB(11)十 BC2 二 AC2(12)DA EB®/A = /CDE = 45®ZC=ZCDE = 45ooOCB2 = CD CA寻找结论的关键是抓住命题的条件及其特点(尤说明：本题是结论开放的探索性问题，答案不唯其是利用特殊几何

26、图形的判定和性质)，在几何中诸如：相等关系、特殊图形、两图形的关系等。(三)圆和圆的位置关系知识归纳1. 基本概念(1 )两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。(2) 两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义(3) 两圆的连心线、圆心距、公共弦。2.圆和圆的位置关系两圆的位置1圆心距d与两圆的外公切线条数内公切线条数公切线条数半径R、r的关系外离224外切213相交R-r <d < 尺十尸(RNr)202内切d = R-r(R >r)101内含d cR-r(R >r)0003. 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4. 相切两圆的性质：如果两圆

27、相切，那么切点一定在连心线上例题分析例12.已知两圆外切时，圆心距为10cm，两圆内切时，圆心距为 4cm，求两圆半径的长。 解：设两圆的半径分别为 Rcm和r cm。依题意，得R * F = 10._R = 1r=3答：大圆的半径为7cm，小圆的半径为3cm。例13.已知：如图12，两圆相交于A、B，过点A的直线交两圆于C、D，过点B的直线交两圆于E、 F。求证：CE/FD。分析：要证CE/FD，可通过角的关系证平行，即只要证/ E=/BFD或证ZECD + /D = 180。，若 证ZEZBFD，只需将ZBFD转化成与。01有关的圆周角，或圆内接四边形的外角，只要连结AB即可； 若要证ZE

28、CD + ZD = 180。，也需连结AB，得ZEBA = ZD，ZEBA + /ECD= 180。，则也可得证。证明一：（用同位角证）连结 AB四边形 EBAC 内接于O 01，a/BAD =/E又 v/BFD =/BAD，a/BFD =/ECE/FD证明二：（用同旁内角证）连结 AB四边形EBAC内接于。01，z.zC+ZB = 180。，又tb =ZD， z.zC+ZD = 180 °，EC/FD 小结：两圆相交时，常添的辅助线是作两圆的公共弦（四）正多边形和圆知识归纳1. 基本概念正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角以及平面镶嵌等2.

29、正多边形的判定与性质(1 )把圆分成"lv ' 等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切 正n边形。(2 )任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。3. 正多边形的有关计算正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。如图16所示，设正n边形的中心角为氐，半径为R,边长为去，边心距为rn，周长为Pn，面积为Sn，则由有关图形的性质可以推得:厂130°rK -渥込(1)(3)“；(4)4；7b11D(5) *=叫；(6)4. 与圆有关的计算圆的面积弓形面

30、积"，L''；(4 )扇形面积(1)圆的周长 门；(如图16)5. 与圆有关的作图(1) 过不在同一条直线上的三点作圆；(2) 作三角形的内切圆；(3) 等分圆周(三、六、十二、四、八、五等分)，作正三角形、正四边形、正六边形6. 圆柱和圆锥的侧面展开图(1 )圆柱的侧面积:(r :底面半径，h :圆柱高)(2 )圆锥的侧面积:(L = 2冗R，R是圆锥母线长，r是底面半径)。(n为侧面展开图扇形的圆心角的度数，R为母线长)。例题分析例14.已知：如图17，在两个同心圆中，大圆的弦 求两个圆所围成的环形面积。解：连结OC、OBAB与小圆相切于点 C，AB的长为12cm，设大圆半径OB = R，小圆半径OC = rAB与小圆相切于点 C,：OC丄AB，且AC = BCAB = 12 , ABC = 6.J - J - 卅 -.-/。4-例15.在正五边形 ABCDE中，AC、BE相交于F,若AB = a,略解：如图18