数值计算方法复习ppt课件

1、 Review 复习1 PreliminariesThe Program for Solving Engineering ProblemEngineering Problem Academic ModelPractical ModelResolvable ModelComputer ProgramResultsNumerical MethodAnalysis MethodComputer LanguageTheory for EngineeringThe Concept of Numerical The Concept of Numerical analysis analysis Numeri

2、cal analysis is the study of algorithms for the problems of continuous mathematics -Lloyd N. Trefethen“计算数学就是研讨在计算机上处理数学问题的计算数学就是研讨在计算机上处理数学问题的实际和数值方法。实际和数值方法。 n数值计算方法是一门根据计算机特点，研讨数值计算方法是一门根据计算机特点，研讨经过计算机求工程问题满足精度要求的近似经过计算机求工程问题满足精度要求的近似解的学科。解的学科。The Way of Numerical Methods nDispersing (离散化离散化)n 只计

3、算定义域上有限个变量的值，而不是一切函只计算定义域上有限个变量的值，而不是一切函数变量的值数变量的值w Approach (逼近逼近)w 用简单函数用简单函数y(x)近似替代函数近似替代函数f(x),但误差但误差E(x)=f(x)-y(x)要满足精要满足精 度要求。度要求。wDeduce by degrees (递推递推)w 递推是将一个复杂的计算过程转化为简单过程的多次反复的数学方法。递推是将一个复杂的计算过程转化为简单过程的多次反复的数学方法。The Absolute Error &. Relative ErrornThe Absolute Error: Ep=|p-p|n 绝对误

4、差nThe Relative Error: Rp =|p-p|/|p|n相对误差Significant Digits有效数字|p-p|/|p|=1.0e-6x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endyn10*x1-x2 =9-x1+10*x2-2*x3=7-x2+10*x3=6 a=10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10; b=9;7;6; jacobi(a,b,0;0;0)y = 0.9958 0.9579 0.7916n = 11ans = 0.9958 0.9579 0.7916MATLABMATLAB实现：实现：Jacobi.mfunction y=jacobi(a, b

5、, x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a, 1);L= -tril(a, -1);B=D(L+U);f=Db;y=B*x0+f;n=1;while norm(y-x0) =1.0e-6x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endyn10*x1-x2 =9-x1+10*x2-2*x3=7-x2+10*x3=6 a=10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10; b=9;7;6; jacobi(a,b,0;0;0)y = 0.9958 0.9579 0.7916n = 11ans = 0.9958 0.9579 0.7916seidel.mfunction y=seidel

6、(a, b, x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a, 1);L= -tril(a, -1);G=(D-L)U;f=(D-L)b;y=G*x0+f; n=1;while norm(y-x0) =1.0e-6x0=y;y=G*x0+f;n=n+1;endyn10*x1-x2 =9-x1+10*x2-2*x3=7-x2+10*x3=6 a=10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10; b=9;7;6; seidel(a,b,0;0;0)y = 0.9958 0.9579 0.7916n = 7ans = 0.9958 0.9579 0.79164 Interpolation

7、and Polynomial Approximation插值法 Interpolationn插值概念与根底实际 Introduction n插值多项式的求法插值概念与根底实际插值概念与根底实际n概念n 在工程实际和科学实验中，经常需求从一组实验观测数据提示自变量x与因变量y之间的关系，普通可以用一个近似的函数关系式yf(x)来表示如何确定插值多项式？对t求导，k(x)看成常数11011)()()( nnnnxxxxxxxt0 x1x)(tF0)(F4.3 Lagrange Approximation当 n=1 时称线性插值当 n=2 时抛物线插值MATALAB实现Lagrange插值%lagr

8、ange insertfunction y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i) s=0.0 for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;endx=0.4:0.1:0.8;y=-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144;lagrange(x,y,0.54)ans = -0.616122 差商与牛顿根本括值多项式 前面构造

9、的拉格朗日插值多项式，其方式具有对称性，既便于记忆，又便于运用与编制程序但是，由于公式中的 都依赖于全部插值节点，在添加或减少节点时，必需全部重新计算为抑制这个缺陷，插值多项式可以如何构造？这种方式的插值多项式称为这种方式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式次牛顿插值多项式Newton Polynomials利用MATALAB进展插值计算一维插值一维插值分段线性插值分段抛物插值分段低次插值211xyRunge景象产景象产生生x=-5:1:5;y=1./(1+x.2);x0=-5:0.1:5;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.2);plot(x,y)plot(x0,y

10、0,-r)分段线性插值分段抛物插值MATALAB实现Lagrange插值%lagrange insertfunction y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i) s=0.0 for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;endx=0.4:0.1:0.8;y=-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144;lagrange(x

11、,y,0.54)ans = -0.6161利用MATALAB进展插值计算一维插值一维插值利用MATLAB软件进展插值高维插值高维插值气旋变化情况可视化气旋变化情况可视化5 Curve Fitting曲线拟合的根本概念曲线拟合的根本概念5.1 Least-squares Line 最小二乘拟合曲线实验数据带有误差实验数据带有误差实验数据很多实验数据很多 在曲线拟合时，假设所选择的拟合函数在一切数据在曲线拟合时，假设所选择的拟合函数在一切数据点处的偏向的平方和最小，那么称这种拟合方法为最小点处的偏向的平方和最小，那么称这种拟合方法为最小二乘法。二乘法。Theorem 定理 5.1 (Least-s

12、quares Line) The Power Fit y=AxMy=AxM5.2 Curve FittingnData Linearization Method for y=CeAxNonlinear Least-squares Method for y=CeAxInterpolation by Spline Function分段低次插值211xyRunge景象产景象产生生x=-5:1:5;y=1./(1+x.2);x0=-5:0.1:5;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.2);plot(x,y)plot(x0,y0,-r)分段线性插值分段抛物插值 三次样条插值

13、三次样条插值函数求法边境条件：边境条件：三次样条插值函数简化计算方法三次样条插值函数简化计算方法由由确定两个积分常数确定两个积分常数6 Numerical Differentiation6.1 导数的近似值6.1.2 中心差分公式6.1.4 Richardson 外推法6.2 数值差分6.2.1更多的中心差分公式6.2.2 误差分析n利用插值多项式构造微分公式利用插值多项式构造微分公式6.2.3 拉格朗日多项式微分6.2.3 牛顿多项式微分6.2.4 利用三次样条插值函数构造微分公式利用三次样条插值函数构造微分公式Related ExampleExample 6.2 (P315); Exerc

14、ises 4 (P325); Algrorithms and Programs 2 (P328);Example 6.5 (P332); Exercises 3,8 (P339,340); Algrorithms and Programs 1 (P341);7 Numerical Integration构造数值积分公式的根本方法与有关概念构造数值积分公式的根本方法与有关概念7.1 Introduction to Quadrature数值积分余项数值积分余项E(Pi)=Rif数值积分公式的精度数值积分公式的精度例题例题The trapezoidal rule n=1Simpsons rule (

15、n=2)Simpsons 3/8 rule n=3n=4babaxfxfxfxfabdxxf)()(3)(3)(8)()(3210牛顿科茨公式余项牛顿科茨公式余项n梯形公式余项：l辛普森公式余项：l科茨公式余项：代数精度？ 当积分区间比较大时，精度？当积分区间比较大时，精度？7.2 Composite Trapezoidal and Simpsons Ruleab1kxkx=Composite Trapezoidal Rule=ab1kxkxComposite Simpson Ruleab1kxkxComposite Bools Ruleab1kxkx复合牛顿科茨公式余项复合牛顿科茨公式余项例

16、题例题7.3 Recursive Rules and Romberg IntegrationRecursive Trapezoidal Ruleab1kxkx)()2(1802)4(4fhabSIn)()4(1802)4(42fhabSIn)(162nnSISI15162SnSInRomberg Integration)()4(945)(24)6(6fhabCIn)()8(1804)6(62fhabCIn)(642nnCICI63642CnCIn数值积分在MATLAB中的运用nquad 采用递推自顺应Simpson法计算积分;精度较高，较常用nquadl采用递推自顺应Lobatto法计算积分;

17、精度高，最常用ntrapz 采用梯形法计算积分;速度快，精度差ncumtrapz 采用梯形法计算一个区间上的积分曲线;速度快，精度差nFnint 利用样条函数求不定积分；与spline、ppval配合运用；主要对付“表格函数的积分【例 题】1符号解析法syms x;IS=int(exp(-x*x),x,0,1)vpa(IS) IS =1/2*erf(1)*pi(1/2)ans =.74682413281242702539946743613185 102Idxex2MATLAB指令quad和quadl求积fun=inline(exp(-x.*x),x);Isim=quad(fun,0,1),IL

18、=quadl(fun,0,1)Isim =0.7468IL =0.7468 310参数Gauss法Ig=gauss10(fun,0,1) Ig = 0.7463 xx=0:0.1:1.5;ff=exp(-xx.2);pp=spline(xx,ff);int_pp=fnint(pp);Ssp=ppval(int_pp,0,1)*-1;1 Ssp = 0.7468 3样条函数积分法4SIMULINK 积分法9 Solution of Differential Equations简单的一阶常微分方程初值问题简单的一阶常微分方程初值问题ab欧拉方法欧拉公式的截断误差与精度分析后退隐式欧拉法后退隐式欧拉法改良欧拉法改良欧拉法(休恩方法休恩方法9.4 Taylor Series Method龙格龙格-库塔方法库塔方法这就是欧拉公式经典龙格经典龙格-库塔法库塔法经过MATLAB解常微分方程nRunge-Kutta 法:n ODE解函数: ode23、 ode45、 ode113、 ode15s、 ode23sn 参数选择函数： odeset、 odegetn 输出函数： odeplot、odephas2 、 odephas3、 odeprint例 y=-2y+2x2+x其中0X0.5