华东师大版八年级下册17.4.4求一次函数关系式的常见题型应用举例

1、1744求一次函数关系式的常见题型应用举例一次函数及其图像是初中数学的重要内容，是每年中考的重点必考内容其中求一次函数关系式就是一类常见题型 现以近年来中考题为例介绍几种求一次函数关系式的常见题型，供同学们参考 一.定义型2例1.函数y( m-3)xm 83是一次函数，求其关系式解：由一次函数定义知m28 1m 3 om 3m 3 m=-3，故一次函数的关系式为y=-3x+3评注：利用定义求一次函数 y=kx+b关系式时，要保证 k工0. .两点型例2.一次函数物图象经过A(-2,-3),B(1,3)两点.(1) 求这个一次函数的关系式；(2) 试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上

2、解：设所求关系式为y=kx+b ,由题意得2k bk b 33，解得kb-5 )、(6,-2)3k6kb 5解得k b 2k <0,那么图象经过-5 )、(-3,-2)6k3k解得_ 1y= 一 x-4 或 y=3评注：解决此题的关键是根据一次函数的增减性分故该函数的关系式式为1x-3.3k>0、 k <0两种情况确定图象所经所求关系式为y=2x+1.(2)因为当x=-1时，y=2 x( -1) +仁-1，所以点P (-1, 1 )不该函数图象上. 评注：这种求函数关系式的方法称为待定系数法，是确定函数关系式的最常用方法 例3.一次函数y = kx + b的自变量的取值范围是

3、一3<xw,6相应函数值的取值范围是5W yw 2那么这个函数的关系式为 解：设y与x的函数关系式y=kx+b k>0 ,那么图象经过(-3,过的两点的坐标，再用待定系数法来解决三.图像型例4.某中汽车油箱可储油 60升，加满油并开始行驶，油箱中的余油量y (升)与行驶里程x ( km)之间的关系是一次函数，如图：1 求y与x的函数关系式.2加满一箱油汽车可行驶多少千米? 解：设y与x的函数关系式 由图可知该函数的图像过点那么5550k b，解得5280k by=kx+b50， 55、 80， 5211060故这个函数的关系式为y=1x 60102令 y=0,可得 x=600.评注

4、：图象法求关系式的关键是确定图象上点的坐标 四交点型例5.一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5,那么k的值为解：该图象与坐标轴交点为0，3，早，0，根据勾股定理可得332=52，解得 k= ± -. k过点AA.2x-y+3=0C.2y-x+3=0解：由图象直线ABAB关系式为y=kx+b，3 ，解得kb 2b32+例6如图, 数的方程是4的一次函数与反比例函数B.x-y-3=0D.x+y-3=0经过 A0，3，B 1，y=2x的图象交于点2，设直线山b那么k3y=-x+3,应选 D能表示这"一次函B，故所求一次函数关系式为评注：一次函数 y=kx+b

5、的图象与坐标轴的交点是K-，0、 0，b 次函数图象的重要特征点，在解题中有着广泛的应用k五. 平移型例7.在平面直角坐标系中， 直线y=kx+bk,b为常数，k工0,b 0可以看成是将直线 y=kx 沿y轴向上平行移动 b个单位而得到的，那么将直线 y=kx沿x轴向右平行移动 mm 0个 单位得到的直线方程是 .解：y=kx m =kx-km评注：函数图象平移的实质是点的平移，对于直线y=kx，平移过程中k的大小不变，故只须在图象上再找一个特殊点，将该点按要求平移，再代入即可六. 对称型例8.假设正比例函数y = kx与y= 2x的图象关于x轴对称，那么k等于.解：y = 2x的图象经过1,

6、 2，该点关于x轴对称点为1，-2在y = kx 上,故k=-2 例9.直线y=2x+1，1求直线与y轴交点A的坐标；2假设直线y=kx+b与直线关于y轴对称，求k和b.解：1令x=0，y=2 x 0+1=1，直线与y轴交点A的坐标为0，1.2直线y=kx+b与直线y=2x+1关于y轴对称，两直线的交点为 A 0，1 b=1在直线y=2x+1上取一点 B 1, 3,那么点B关于y轴的对称点B '-1, 3在直线y=kx+b上， 3=-k=1/ k=-2.评注：直线对称有多种，可以是关于x轴对称、y轴对称、某点对称，也可以是关于某直线对称，无论哪一种，都可归结为点的对称，只要找出某特殊点

7、，确定符合条件的对称点， 进而用待定系数法解决.七. 开放型例10.写一个一次函数关系式，使它的图象与x轴夹角为45°，这个一次函数关系式为.解：y= ± x+b b可取任意实数评注：这类问题答案不唯一.例11.某一次函数的图象经过点一 1, 2,且函数y的值随自变量的增大而减小，请 写出一个满足上述条件的函数关系式： .解：根据题意，所求的函数是一次函数，由于函数y的值随自变量的增大而减小，可得kv 0.设一次函数的关系式是 y= kx+ b,因为函数图象经过一1, 2,所以2=- k+ b.设 k =- 1,贝U b= 3.得 y= x+ 3;设 k = 2,贝U b=

8、 4.得 y= 2 x+ 4.评注：在此题中，一次函数关系式中的k是不确定的，我们只要根据条件赋予k一个负值，就可以确定一个一次函数关系式.八. 探索型例12.下面的图形是由边长为I的正方形按照某种规律排列而组成的.门i-1观察图形，填写下表:图形正方形的个数8图形的周长18推测第n个图形中，正方形的个数为 ,周长为都用含n的代数式表示.3这些图形中，任意一个图形的周长，与它所含正方形个数石之间的函数关系式为 .解：1正方形的个数为：13, 18 图形的周长为28, 382正方形的个数为 5n+3,图形的周长为10n+83 所含正方形个数之间的函数关系式为y=2n+2评注：此题可从特殊到一般进

9、行探究，这是一种重要的数学思想方法九. 猜测型例13.某衡器厂的RGN120型体重秤，最大称重 120千克，你在体检时可看到如图 显示盘.，指针顺时针旋转角x 度与体重y 千克有如下关系：根据表格的数据在平面直角坐标系中描出相应 的点，顺次连结各点后，你发现这些点在哪一种图象上？ 合情猜测符合这个图形的函数关系式；X 度°41442厲y 千克025丸75x的取值范验证这些点的坐标是否满足函数关系式，归纳你的结论写出自变量围;当指针旋转到158.4度的位置时，显示盘上的体重读数模糊不清, 时的体重.解：1根据表格中数据描点，连线可得图象如图用关系式求出此猜测符合这个图形的函数关系式为：

10、y = kxk> o.将x= 72 , y= 25代入，得25 = 72k，即 k = 25 ,7225y=x72验证：将其他两对分别代入式,均满足.25y= 25 x由题意知，72OW x< 345.6，即自变量 x的取值范围是 OW xw 345.6 .25度时，y=x 158.4 = 55千克，即此时的体重为72符合要求的函数关系式是(3)当 x= 158.47255千克.评注：通过列表、描点，猜测函数关系式，是在实际生产生活中常用的一种方法十、以形助数例14如图1, L1、L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y 费用=灯的售价+电费，单位：元与照明时间x小时的函数图象，

11、假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样.1根据图象分别求出 L1、L2的函数关系式；2当照明时间为多少时，两灯的费用相等；3小亮房间方案照明2500小时，他买了一 个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法直接给出答案，不必写出解题过程.分析：1用待定系数法可求出 L1、L2的函数关系式；2需解方程；3需观察图象并加以分析.解: 1设L1、L2的函数关系式分别为:%b1, y2k?xbb，将 x 0 , y 2 ；x 500 , y 17分别代入y1b 1，得:b1 2500k1b117k.解得1b131002L1的函数关系式为:1002 (0 wx w 2000.)将 x

12、 0 , y 20 ； x500, y 26 分别代入y1 k2x b2，得:b2 2500k2 b23250 .20的函数关系式为：yx 20(0 wx w 2000.)250332令 x 2 = 2x 20,得x 1000 .当照明时间为 1000小时，两种灯的费100250用相等.3由和观察图象可看出节能灯使用2000小时，白炽灯使用 500小时最省钱.点评：这是一道紧密联系实际生活的一次函数图象信息题，解决这类问题，要从图象提供的条件出发，运用函数知识与解方程组等知识，找出解题途径.十一、借数求形2与两坐标轴围成的三角形面积为 4.求直线的表达式.例15假设直线y kx分析：令x 0

13、,得y2 ;令y 0 ,得x别是0, 2,由题意可求出解：结合图12,由题意可得：21丄故所求表达式是2点评：注意此题没有指明解得：k1x2k的正、负性，不要误认为2 .2 kk为正数，造成漏解.例16 一次函数y xb与x轴，y轴的交点分别为A, B，假设 OAB的周长为2. 2( O为坐标原点，求b的值.分析：针对此题，首先根据题意画出符合要求的图形，然后根据图形进行求解，注意到 绝对值问题的分类.解：根据题意可知，点 A的坐标为b , 0,点B的坐标为0, b而一次函数的图 象经过哪些象限又不知道，只能根据它和两坐标轴围成的三角形的周长去确定取值.由图象 知，OA |b|, OB |b|，由勾股定理可得 AB .2|b|.图3于是，我们有：|b| |