刚体绕定轴转动 力矩

1、5.1 刚体和自由度的概念刚体和自由度的概念一一. 刚体刚体特殊的质点系，特殊的质点系， 理想化模型理想化模型形状形状和和体积体积不变化。不变化。在力作用下，组成在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变物体的所有质点间的距离始终保持不变二二. 自由度自由度确定物体的位置所需要的独立坐标数确定物体的位置所需要的独立坐标数 物体的自由度数物体的自由度数sOi = 1xyzO( x , y , z )i = 3i = 2xyzOi = 3+2+1= 6 当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制 自由度减少自由度减少 力的作用下形状和大小不变的物体力的作用下形状和大小不变的物体5.2 刚体的平动

2、刚体的平动刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行身平行 刚体平动刚体平动ABABA B 平动的特点平动的特点(1) 刚体中各质点的刚体中各质点的运动情况相同运动情况相同BArrBABArrBAvvBAaa(2) 刚体的平动可归结为质点运动刚体的平动可归结为质点运动xyzOArBr一大型回转类一大型回转类“观览圆盘观览圆盘”如图所示。圆盘的半径如图所示。圆盘的半径R=25 m，供人乘坐的吊箱高度供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动，。若大圆盘绕水平轴均速转动，转速为转速为0.1 r/min。 例例30060

3、1022T)cos(0tRxxBALtRLyyBA)sin(0222)(RLyxAA解解求求 吊箱底部吊箱底部A点的轨迹及点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。点的速度和加速度的大小。吊箱平动吊箱平动3002522RAyAxAvvvsm 260/.)cos(dd02tRtaAxAxv2322222sm 107230025/.RaaaAyAxA)sin(dd02tRtaAyAyv)sin(dd0tRtxAAxv)cos(dd0tRtyAAyv)(tf)( ddtft)( dddd22tftt5.3 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动zMIIIII P角坐标角坐标角速度角速度角加速度角加速度一一. 描述描

4、述 刚体绕定轴转动的角量刚体绕定轴转动的角量刚体的刚体的平动平动和和绕定轴转动绕定轴转动是刚体的是刚体的两种最简单最基本运动两种最简单最基本运动刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线( (转轴转轴) )作作圆周圆周运动运动_刚体转动刚体转动转转轴轴固定不动固定不动 定轴转动定轴转动 二二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度定轴转动刚体上各点的速度和加速度 rv2ran rtaddvc )(tt)(t02022002 21 当当与质点的匀加速直线运动公式相像与质点的匀加速直线运动公式相像P,刚体刚体 zOrO任意点都绕同一轴作圆周运动任意点都绕同一轴作圆周运动, 且且 ， 都相同都相同rv

5、l 角角速度与角加速度的矢量表示速度与角加速度的矢量表示角加速度矢量角加速度矢量dtd对于对于角速度矢量，规定：角速度矢量的大小就是角速度的角速度矢量，规定：角速度矢量的大小就是角速度的大小，方向沿转轴方向，其指向由右手螺旋法则确定：右大小，方向沿转轴方向，其指向由右手螺旋法则确定：右手四指指向刚体转动方向，拇指指向为手四指指向刚体转动方向，拇指指向为 方向。方向。k00的方向的方向直角坐标系中，设刚体绕直角坐标系中，设刚体绕 轴作定轴转动，则角速度矢量为轴作定轴转动，则角速度矢量为z沿沿 正向正向z沿沿 负向负向z角加速度矢量为角加速度矢量为kdtdravnatrrttrtadddd d)d

6、(ddvvr定轴定轴P,刚体刚体 zOrOrv 加速度与角加速度的矢量关系式加速度与角加速度的矢量关系式定义了角速度矢量后，就可以用它表示出刚体上任意点的定义了角速度矢量后，就可以用它表示出刚体上任意点的速度速度rtrddv例例解解求求 p点的速度点的速度刚体绕刚体绕 z 轴正向转动，轴正向转动， ，某时刻，某时刻 p点位矢点位矢min/60rn )(543mkjirsradn/2602kk2rv)543(2kjik)/(68smji（ 沿沿 z 轴正向转）轴正向转）6.1 力矩力矩 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程一一. 力矩力矩力力改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得

7、角加速度刚体获得角加速度 力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩sin)(FrFhFMz“”的确定的确定：（右螺旋）：（右螺旋）从从z z轴正端向负端看，轴正端向负端看，质点获得加速度质点获得加速度改变质点的运动状态改变质点的运动状态rhFAzo若若 使刚体逆时针转使刚体逆时针转 为正为正若若 使刚体顺时针转使刚体顺时针转 为负为负zMzMFF例如例如rF/FhFAzTRTTRMiTRTTrMiTT讨论讨论 不能改变刚体绕不能改变刚体绕z z轴的转动状态轴的转动状态/F/F对对z z轴的力矩为零轴的力矩为零o1)1)力平行于转轴或通过转轴时，对该轴力矩为零。力平行于转轴或通过转轴时，对该轴力矩为零

8、。2)2)若若 不在垂直于不在垂直于z z轴的平面内轴的平面内F/FFFhFFMFMzz)()(也可将力也可将力 ( (位于垂直于位于垂直于z z轴的面内轴的面内) )对对z z轴的力矩视为轴的力矩视为矢量，定义矢量，定义矢量力矩矢量力矩FFrMZr大小：大小：方向：右螺旋法则方向：右螺旋法则 sinrF：转动中心到力的作用点的位矢：转动中心到力的作用点的位矢FrMZ当当 不在不在垂直于垂直于z z轴的平面内轴的平面内F： 和和 的夹角的夹角rFO .FrMO说明：说明：可以证明：可以证明：力对任意点的力矩，在通过该点的任一力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴的力矩。轴

9、上的投影，等于该力对该轴的力矩。力对定点力对定点o o的力矩的力矩FroM大小：大小：sinrFMMoo方向：垂直于方向：垂直于 和和 所确定所确定的平面，且指向由的平面，且指向由右右螺旋法则螺旋法则给出。给出。 rFxLOmy例例 已知棒长已知棒长 L ,质量质量 m，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的桌面转动的桌面转动 (如图如图)解解xLMmddgmfdd根据力矩根据力矩xgxLmxdfMddmgLxgxLmML21d0 xdx求求 摩擦力对摩擦力对y轴的力矩轴的力矩练习练习：质量为：质量为 ，长为，长为 的细杆在水平粗糙桌面上绕过其的细杆在水平粗糙桌面上绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正比，杆与桌面一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距