工程力学第三章力矩与平面力偶系

1、第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院31 力矩的概念和计算力矩的概念和计算32 力偶的概念力偶的概念33 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院3-1力矩的概念和计算力矩的概念和计算第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院3-13-1力矩的概念和计

2、算力矩的概念和计算 移动效应移动效应-取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向 转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方取决于力矩的大小、方向向力对物体可以产生力对物体可以产生OMF第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院（1 1）用扳手拧螺母；）用扳手拧螺母；（2 2）开门，关门。）开门，关门。（一）力对点之矩（一）力对点之矩lAdo由上图知，力由上图知，力 F F 使物体绕使物体绕 o o 点转动的效应，不仅与力点转动的效应，不仅与力F F 的大小，的大小，而且与而且与 o o 点到力的作用线的垂直距离点到力的作用线的垂直距离 d d 有

3、关，故用乘积有关，故用乘积 FdFd 来来度量力的转动效应。该乘积根据转动效应的转向取适当的正度量力的转动效应。该乘积根据转动效应的转向取适当的正负号称为力负号称为力 F F 对点对点 o o 之矩，简称力矩，以符号之矩，简称力矩，以符号 表示。表示。)(Fmo3-13-1力矩的概念和计算力矩的概念和计算FdFmo)(F第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院即力矩的正负号：力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。应注意应注意：力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向力对点之矩只取决于力

4、矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。（力矩的正负），因此它是一个代数量。FdFmo)( o o 点称为力矩的中心，简称点称为力矩的中心，简称矩心矩心； o o 点到力点到力 F F 作用线的垂直距离作用线的垂直距离 d d , ,称为称为力臂力臂。力矩的单位：力矩的单位：国际制国际制 ， 工程制工程制 公斤力米公斤力米mNmkNmkgf3-13-1力矩的概念和计算力矩的概念和计算第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院（1 1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动

5、而改变；（2 2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个力）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点；该点；（3 3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。力矩的性质：力矩的性质：3-13-1力矩的概念和计算力矩的概念和计算lAdoF第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院 简支刚架如图所示，荷载F=15kN，=45 ,尺寸如图。试分别计算F对A、B两点之矩。dABF

6、4m1m1m2mo解解: 1、力、力F对对A点的力矩点的力矩。 力臂力臂d = 4m sin = 4m sin45d = 22m-15kN2MA(F)= -F d=2m2= -30kN m2、力、力 F 对对B点的力矩点的力矩。 力臂d = 1m sin = 1m sin45 =221mMB(F)=+F d= +15kN0.52m= 7.5 +2kN m注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院（二）合力矩定理（二）合力矩定理表达式：表达式：)

7、()(FmRmoo证明：证明：由图得由图得)sin()(0FrFdFm)cossincos(sinFr)sincoscossinrFrF而而yrxrFFFFyxsin,cossin,cosrxydoxyFyF Fx xF FA A3-13-1力矩的概念和计算力矩的概念和计算则则( )xyoyFxFFm)(a第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院( )xyoyFxFFm)(a 若作用在若作用在 A A 点上的是一个汇交力系（点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），）， 则可将每个力对则可将每个力对 o o 点之矩相加，有点之矩相加，有nF2F1

8、F( b )xyoFyFxFm)( c )xyxyFyFxyRxRRm)(0 由式（由式（ a ），该汇交力系的合力），该汇交力系的合力 ， 它对矩心的矩它对矩心的矩FR比较（比较（ b b ）、（）、（ c c ）两式有）两式有)()(FMRmoo3-13-1力矩的概念和计算力矩的概念和计算rxydoxyFyF Fx xF FA A第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院)()(FMRmoo3-13-1力矩的概念和计算力矩的概念和计算rxydoxyFyF Fx xF FA平面汇交力系的合力矩定理：平面汇交力系的合力矩定理：平面汇交力系的合

9、力对作用面内任一点的矩平面汇交力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院12（三）、力矩的解析表达式（三）、力矩的解析表达式Mo(F)= xFy-yFx x、y是力是力F作用点作用点A的坐标，的坐标，而而Fx 、 Fy是力是力F在在x、y轴的投影，轴的投影，计算时用代数量代入。计算时用代数量代入。合力合力FR对坐标原点之矩的解析表达式对坐标原点之矩的解析表达式nixiiyiiRoFyFxM1)()(F第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面

10、力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院例例题题.图示图示F=5kN, sin =0.8试求力试求力F对对A点的矩点的矩.AB2015F第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院AB2015FhCD75.188 . 015BCCD =18.750.6 = 11.25AC = 20 -11.25 = 8.75h = 8.75 0.8 = 7mo(F) = hF = 7 5 = 35第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院AB2015FFxFyFx = Fcos = 5 0.6

11、 = 3Fy = Fsin = 5 0.8 = 4Dmo(Fx) = - BD Fx = -15 3 = -45mo(Fy) = AD Fy = 20 4 = 80mo(F) = mo(Fx) + mo(Fy) = -45 + 80 = 35第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院例题讲解例题讲解【例题【例题1】作用于扳手的力】作用于扳手的力F=200N，l=0.40m,=60o,试计算力试计算力F对对O点之矩。点之矩。解一：解一：mNlFdFFmo3 .6960sin40. 0200sin)(0绕着绕着O点顺时针转动，为负。点顺时针转动，

12、为负。第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院例题讲解例题讲解【例题】作用于扳手的力【例题】作用于扳手的力F=200N，l=0.40m,=60o,试计算力试计算力F对对O点之矩。点之矩。解二：解二：取坐标系取坐标系oxy如图所示，则如图所示，则 sinFFycosFFx由合力矩定理由合力矩定理 mNFFFmFmFmyxyoxoo9 .634 . 060sin2004 . 00)()()(0第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院18例题讲解例题讲解第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力

13、偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院19r第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院20 第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院 集中力或集中荷载：集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。例如，道路给轮子的力等。几种分布荷载几种分布荷载（1）体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。 例如，构件的自重等。（2）面分布荷载：分布在构件表面上的荷载（力）。例如， 风压力、压力等。（3）线分布荷载：荷载分布在狭长范围

14、内，如沿构件的轴线分布。荷载：荷载：施加在结构上的集中力或分布力施加在结构上的集中力或分布力 分布荷载分布荷载: 分布在较大范围内，不分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。能看作集中力的荷载称分布荷载。第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院（1）集中荷载的单位，即力的单位为（N,kN)。荷载的单位荷载的单位分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。（2）体分布荷载的单位：3/ mN（3）面分布荷载的单位：2/mN（4）线分布荷载的单位：mN /第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工

15、程学院平行分布线荷载平行分布线荷载 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为力，则称此力系为平行分布线荷载平行分布线荷载，简称，简称线荷载线荷载。qxCxQxy结论：结论： 1、合力的大小等、合力的大小等于线荷载所组成几何图形于线荷载所组成几何图形的面积。的面积。2、合力的方向与线荷载的方向相同。、合力的方向与线荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图的形心。、合力的作用线通过荷载图的形心。第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院平行分布线荷载的简化平行分布线荷载的简化Qq2l2

16、l1、均布荷载、均布荷载qlQ qQ32l3l2、三角形荷载、三角形荷载qlQ213、梯形荷载、梯形荷载1q2ql第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院如图4-13所示的均布荷载，其合力为：,6 .1741691.10kNlqF作用线则通过梁的中点。（1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。）均布荷载：集度为常数的分布荷载。分布荷载的计算方法分布荷载的计算方法Fq=10.91kN/m16 mAFBF第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院 如图3-11所示坝体所受的水压力为非均布荷载，其计

17、算方法见前。（2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。yABCyq第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院27第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院28第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院3-2力偶的概念力偶的概念第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院（一）力偶和力偶矩（一）力偶和力偶矩（1）方向盘；）方向盘；（2）丝锥；）丝锥；（3）

18、水龙头。）水龙头。力偶作用面力偶作用面力偶臂力偶臂dFF1. 1. 力偶的概念力偶的概念把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做叫做力偶。力偶。并记作（并记作（ ， ）。）。可用图表示：可用图表示：F F3-23-2力偶的概念力偶的概念举例举例第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院3. 力偶的性质力偶的性质（1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；（2）力偶不能合成为一力，

19、或者说力）力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合偶没有合 力，即它不能与一个力等效，力，即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；因而也不能被一个力平衡；（3）力偶对物体不产生移动效应，只）力偶对物体不产生移动效应，只产生转动产生转动 效应，既它可以也只能改变物效应，既它可以也只能改变物体的转动状体的转动状 态。态。3-23-2力偶的概念力偶的概念dFF-+xyo2. 力偶的三要素力偶的三要素（1）力偶矩的大小；）力偶矩的大小；（2）力偶的方向；）力偶的方向；（3）力偶的作用面。）力偶的作用面。第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院(4

20、) (4) 力偶对其所在平面内任一点力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶应用力偶 矩度量。矩度量。xFdxFFmFmOO)() ()(dFFFdOxAB4.力偶的表示方法 用力和力偶臂表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示力偶的转向，M表示力偶的大小。第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院5. 力偶矩力偶矩 其转动效应其转动效应力对点之矩，即用力偶中的两个力对其力对点之矩，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。作用

21、面内任一点之矩的代数和来度量。或或FdFFm) ,(Fdm3-23-2力偶的概念力偶的概念 逆时针转动，力逆时针转动，力偶矩为正偶矩为正力偶矩的单位：力偶矩的单位：N m 、kN m第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院（二）平面力偶等效定理（二）平面力偶等效定理定理：定理：在同一平面内的两个力偶，如它们的力在同一平面内的两个力偶，如它们的力 偶矩的大小相等，而且转向相同，则此偶矩的大小相等，而且转向相同，则此 两力偶等效。两力偶等效。例如：方向盘例如：方向盘) ,() ,(PPFFmFFmPFPFFFABCD3-23-2力偶的概念力偶的

22、概念第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院推论推论1 1 力偶可以在其作用面内任意转移力偶可以在其作用面内任意转移 而不改变它对刚体的转动效应而不改变它对刚体的转动效应两个重要推论：两个重要推论：如下图如下图( (a) )、( (b) )所示。所示。( )ABaM( )ABCbM3-23-2力偶的概念力偶的概念第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院推论推论2 2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件在保持力偶矩的大小和转向不变的条件 下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的下，可以任意改变力

23、偶中力和力偶臂的 大小而不改变力偶对刚体的转动效应。大小而不改变力偶对刚体的转动效应。如下图如下图( (a) )、( (b) )所示。所示。B( )Aad2F1F( )BAbD1F2F其中其中DFdF213-23-2力偶的概念力偶的概念上述所有的结论都只适用于刚体上述所有的结论都只适用于刚体第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院关于力偶性质的推论关于力偶性质的推论 FF FF 第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院关于力偶性质的推论关于力偶性质的推论 FF FF 第三章力矩与平面力偶

24、系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院 关于力偶性质的推论关于力偶性质的推论 FF F / 2F / 2第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院关于力偶性质的推论关于力偶性质的推论 M=Fdk第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院3-3平面力偶系平面力偶系的合成与平衡的合成与平衡第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院;111dFm 222dFmdPm11又dPm2221PPRA21PPRB212

25、121)( mmdPdPdPPdRMA 合力矩平面力偶系平面力偶系: :作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系1 1、两个力偶的合成、两个力偶的合成dd3-33-3平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡（一）合（一）合 成成第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院niinmmmmM121结论结论: : 平面力偶系合成结果还是一个力偶平面力偶系合成结果还是一个力偶, ,其力偶矩为各力偶矩其力偶矩为各力偶矩的代数和的代数和。3-33-3平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2. 2. 任意个

26、力偶的情况任意个力偶的情况1M2M3M第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是: : 所有各力偶矩的代数和等于零。所有各力偶矩的代数和等于零。 即01niim3-33-3平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。（二）平衡条件（二）平衡条件 0M第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院180803F4F1F2Fmmmm负号表明转向为负号表明转向为顺时针。顺时

27、针。 由式21MMM则18. 03FM08. 01 FmN 300【解【解】例题讲解例题讲解 两力偶作用在板上，尺寸如图，已知两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 = = 1.5KN1.5KN = 1KN, = 1KN,求作用在板上的合力偶矩。求作用在板上的合力偶矩。43FF 21FF 【例题【例题2】第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院【例题【例题3】简支梁简支梁AB作用一力偶，其力偶矩的大小为作用一力偶，其力偶矩的大小为m，梁长为梁长为L，不计自重，求支座，不计自重，求支座A、B的反力。的反力。解：解： mB = 0 -RAL+ m =

28、 0 RA = RB = m/L 例题讲解例题讲解RARBLm B A 第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院长为4m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二个力偶力偶矩矩，各为 。求 A 、B 支座的约束反力。mNM161mNM 42。A( )604Bm1M2Ma( )BR1M2MARdABb例题讲解例题讲解 作作 ABAB 梁的受力图，如图（梁的受力图，如图（ b b ）所示。）所示。ABAB梁上作用梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在有二个力偶组成的平面力偶系，在 A A 、B B 处的约束处的约束 反力也必须组成一个同平面的力偶反

29、力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ）与与之平衡之平衡。ARBR【解【解】【例题【例题4】第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院060cos021lRMMBRA 、RB为正值，说明图中所示为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确的指向正确。由平衡方程由平衡方程0M例题讲解例题讲解( )BR1M2MARdABb 作作 ABAB 梁的受力图，如图（梁的受力图，如图（ b b ）所示。）所示。ABAB梁上作用梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在有二个力偶组成的平面力偶系，在 A A 、B B 处的约束处的约束 反力也必须组成一个同平面

30、的力偶反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ）ARBR与之平衡。【解【解】NRB6:解NRRBA6故第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院【例题【例题5 5】在一钻床上水平放置工件】在一钻床上水平放置工件, ,在工件上同时钻四个等在工件上同时钻四个等直径的孔直径的孔, ,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? ? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: : 各力偶的合力偶距为各力