北交大激光原理 第4章 高斯光束部分-final

1、第四章 高斯光束理论一、 学习要求与重点难点学习要求1 掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；2 理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律；3 掌握薄透镜对高斯光束的变换；4 了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；5 理解高斯光束的聚焦和准直条件；6 了解谐振腔的模式匹配方法。重点1. 高斯光束的传输特性；2. q参数的引入；3. q参数的ABCD定律；4. 薄透镜对高斯光束的变换；5. 高斯光束的聚焦和准直条件；6. 谐振腔的模式匹配方法。难点1. q参数，及其ABCD定律；2. 薄透镜对高斯光束的变换；3. 谐振腔的模式匹配。二、知识点总结三、典型问题的分析思路1高斯光束基

2、本性质和特征参数的问题。此类问题只涉及高斯光束在自由空间传输，不通过其它光学系统。解此类问题比较简单，根据已知特征参数，高斯光束的结构完全确定，就可以知道任意位置处的光斑尺寸、等相位面曲率半径、q参数及发散角等。光斑半径 等相位面曲率半径 高斯光束的q参数在自由空间中的传输规律基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角2高斯光束传输规律问题。这类问题主要讨论高斯光束经过某一光学系统的传输问题，包括高斯光束的聚焦，高斯光束的准直和高斯光束的模匹配。此类问题的实质是，通过任意光学系统追踪高斯光束的q参数值。首先要计算傍轴光线通过该系统的变换矩阵求出某位置处的q(z)光束的曲率半径R(z)和光斑大小w

3、(z)。1）高斯光束通过单个透镜的变换。已知入射高斯光束的腰斑半径和位置，求出射高斯光束的腰斑半径和位置。求解这类问题的方法是根据傍轴光线通过该系统（透镜）的变换矩阵，在透镜左端入射高斯光束的q参数，求出经过此光学系统变换后的q参数，然后得到出射高斯光束的腰斑半径和位置。出射高斯光束的腰斑半径和位置2）高斯光束通过双透镜的变换。首先求出高斯光束通过第一个透镜后，出射高斯光束的腰斑半径和位置，然后将第一个透镜的出射光束看成是第二个透镜的入射光束，再重复利用公式计算经过第二个透镜后，出射高斯光束的腰斑半径和位置。3）高斯光束的聚焦(1) F < f 透镜焦距足够小 无论 l 为何值, 均可使

4、若 F > f 要使 要求即才能聚焦如果 不能聚焦(2). F 一定时良好的聚焦效果：使用短焦距透镜；光腰远离透镜；双透镜聚焦4）高斯光束的准直a. 单透镜对高斯光束发散角的影响物高斯光束的发散角为 像高斯光束的发散角为 当时，达到极大值在时， 越大， 越小，像高斯光束的方向性越好。b. 利用望远镜将高斯光束准直方法：先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑，然后用一个长焦距的透镜来改善其方向性，可得到很好的准直效果。经过第二个透镜后高斯光束的发散角可以看出，所以要使 增大当 时, 最大。所以第二个透镜的焦距要尽可能的大,而且要尽可能的小，这就要求，这时光腰几乎落在焦平面上,

5、组成一倒装望远镜。准直倍率(发散角压缩比) 5）高斯光束的模式匹配模式匹配是使一个谐振腔的振荡模式经透镜变换后能在另一个谐振腔激发出相同的模式。 问题实质是透镜变换。分两种情况：一种是已知w0 ，w0 ，确定透镜焦距（F）及透镜的距离 l， l（即两腔的相对位置）。根据物方高斯光束和像方高斯光束腰斑尺寸和束腰到透镜的距离所满足的公式，其中当并确定时，可求得 第二种情况是两腔相对位置固定 (即两光腰之间的距离) 及w0, w0确定，为了实现模匹配, F 如何选择。 将上面两式相加，根据，得到其中，设，上面方程变为根据此式可求的焦距F。四、思考题1. 高斯光束最多需要几个独立参数来描写？2. 认为

6、描述激光束最重要的一个参数是什么，为什么？3. 何使单透镜对激光束的聚焦效果最好？4. 对激光束聚焦的单透镜应如何选取？5. 如何才能使激光束准直效果最好？6. 聚焦、打孔及准直是高斯光束常见的应用问题，如何取得最佳工作条件？7. 如何加入第二束共线共焦UV激光？(30分)8. 试说明发散角和球面光波束张角的区别。五、练习题1波长为的高斯光束入射到位于（图3.1）处的透镜上，为了使出射高斯光束的光腰刚好落在样品的表面上（样品表面距透镜L），透镜的焦距应为多少？画出解的简图。图3.12. 二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的曲率半径，腔长。求出它所产生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数及发散角

7、。3. 某高斯光束光腰大小为，波长。求与腰相距30，10，1处光斑的大小及波前曲率半径。4. 求出上题所给出的个高斯光束的发散角。用计算来回答下述问题：在什么条件下可以将高斯光束近似地看作曲率中心在光腰处的球面波？即在什么条件下可以用公式和公式来计算高斯光束的光斑大小的波前曲率半径？5. 某高斯光束的，。另用的凸透镜来聚焦。当光腰与透镜距离分别为、0时，出射高斯光束的光腰大小和位置各为多少？分析所得的结果。6. 已知高斯光束的，。试求：（1）光腰处；（2）与光腰相距30处；（3）无穷远处的复参数值。7. 两支氦氖激光器的结构及相对位置如图3.3所示，求在什么位置插入一焦距为多大的透镜才能实现两

8、个腔之间的模匹配？图3.38. 从腔长为1，反射镜曲率半径为2的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5，曲率半径为10的干涉仪中去，两腔长相距50，为得到模匹配，应把焦距为多大的透镜放置在何处？9. 某高斯光束的，今用一望远镜将其准直，如图3.4所示，主镜用镀金全反射镜：，口径为；副镜为一锗透镜：，口径为，高斯光束的束腰与副镜相距，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：（1）两镜的焦点重合；（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。图3.410. 月球距地球表面，使用波长的激光束照射月球表面。当（1）光束发散角为；（2）光束发散角为时，月球表面被照亮的面积为多少？两种情况下，光腰半径各

9、为多少？11. 一高斯光束的光腰半径，波长，从距离透镜为的地方垂直入射到焦距为的透镜上。求：（1），（2）时，出射光束的光腰位置和光束发散角。12一染料激光器输出激光器的波长，光腰半径为。使用焦距为的凸透镜对其聚焦，入射光腰到透镜的距离为。问：离透镜处的出射光斑为多大？ 13. 一高斯光束的光腰半径为，腰斑与焦距为的薄透镜相距为，经透镜变换后传输距离，又经一折射率为，长为的透明介质后输出，如图3.5所示。求：（1）高斯光束在介质出射面处的参数和光斑半径。（2）若介质移到薄透镜处，即（不考虑可能存在的间隙），求输出高斯光束的远场发散角。图3.514. 如图3.6所示，波长的钕玻璃激光器的全反射镜

10、的曲率半径，距全反射镜处放置长为的钕玻璃棒，其折射率为。棒的一端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。（1）进行腔的稳定性判别；（2）求输出光斑的大小；（3）若输出端刚好位于的透镜的焦平面上，求透镜聚焦后的光腰大小和位置。图3.613、某二氧化碳激光器，采用平-凹腔，凹面镜的R=2m，腔长L=1m。试给出它所产生的高斯光束的束腰斑半径的大小和位置、该高斯光束的及的大小。14、某高斯光束束腰斑大小为=1.14mm，。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径及波前曲率半径。15、若已知某高斯光束之=0.3mm，。求束腰处的q参数值，与束腰相距30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无穷远处q

11、的值。16、某高斯光束=1.2mm，。今用F=2cm的锗透镜聚焦，当束腰与透镜的距离为、0时，求焦斑大小和位置，并分析所得结果。17、二氧化碳激光器输出光，用一的凸透镜来聚焦，求欲得到及时透镜应放在什么位置。18、如图2.2光学系统，入射光，求及。图2.219、某高斯光束=1.2mm，。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1cm，口径为20cm；副镜为一锗透镜，口径为1.5cm；高斯光束束腰与透镜相距，如图2.3所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。20、激光器的谐振腔由两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦

12、参数f的实验原理及步骤。21、已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜组成，。如何选择高斯束腰斑的大小和位置才能使它成为该谐振腔中的自在现光束？22、（1）用焦距为F的薄透镜对波长为、束腰半径为的高斯光束进行变换，并使变换后的高斯光束的束腰半径（此称为高斯光束的聚焦），在和两种情况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离？（2）在聚焦过程中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离不能改变，如何选择透镜的焦距F？23、试由自在现变换的定义式（2.12.2）用参数法来推导出自在现变换条件式（2.12.3）。24、试证明在一般稳定腔（，）中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径必分别等于各该镜面的曲率半径

13、。25、试从式（2.14.12）导出式（2.14.13），并证明对双凸腔。26、试计算，的虚共焦腔的。若想保持不变并从凹面镜端单端输出，应如何选择？反之，若想保持不变并从凸面镜端单端输出，应如何选择？在这两种单端输出的条件下，各为多大？题中为镜的横截面半径，为其曲率半径，、的意义类似。六、部分答案1. 高斯光束最多需要几个独立参数来描写？解答：两个。2. 认为描述激光束最重要的一个参数是什么，为什么？解答：激光束最重要的一个参数是q参数，因为它主要决定了高斯光束的场分布和传输特点。3. 何使单透镜对激光束的聚焦效果最好？解答：(1) F < f 透镜焦距足够小 无论 l 为何值, 均可使

14、(2). 若 F > f 要使 要求即才能聚焦如果 不能聚焦F 一定时4. 对激光束聚焦的单透镜应如何选取？解答：使用短焦距透镜；光腰远离透镜。5. 如何才能使激光束准直效果最好？解答：先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑，然后用一个长焦距的透镜来改善其方向性，经过短透镜的出射光束聚在长焦距透镜的焦点上。这样可获得很好的准直效果。6. 聚焦、打孔及准直是高斯光束常见的应用问题，如何取得最佳工作条件？解答：7. 如何加入第二束共线共焦UV激光？(30分)解答：8. 试说明发散角和球面光波束张角的区别。9. 波长为的高斯光束入射到位于（图3.1）处的透镜上，为了使出射高斯光束的

15、光腰刚好落在样品的表面上（样品表面距透镜L），透镜的焦距应为多少？画出解的简图。图3.1解答：如图由 得：将代入上式得：让实部和虚部对应相等得到：进而得到：将代入上式可求出2. 二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的曲率半径，腔长。求出它所产生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数及发散角。解：由，可得由，可得3. 某高斯光束光腰大小为，波长。求与腰相距30，10，1处光斑的大小及波前曲率半径。解答：当z=30 cm时，当z=10 m时，当z=1000 m时，4. 求出上题所给出的个高斯光束的发散角。用计算来回答下述问题：在什么条件下可以将高斯光束近似地看作曲率中心在光腰处的球面波？即在什么条件下

16、可以用公式和公式来计算高斯光束的光斑大小的波前曲率半径？解答：当时5. 某高斯光束的，。另用的凸透镜来聚焦。当光腰与透镜距离分别为、0时，出射高斯光束的光腰大小和位置各为多少？分析所得的结果。解答：根据 当z=10 m时， 当z=1 m时，当z=0 m时，6. 已知高斯光束的，。试求：（1）光腰处；（2）与光腰相距30处；（3）无穷远处的复参数值。解答：由公式，代入数值得7. 两支氦氖激光器的结构及相对位置如图3.3所示，求在什么位置插入一焦距为多大的透镜才能实现两个腔之间的模匹配？图3.3解答：根据等相位面曲率半径为当时，等相位面曲率半径，由上式得利用得到同理, 根据高斯光束得模匹配公式有解

17、得 8. 从腔长为1，反射镜曲率半径为2的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5，曲率半径为10的干涉仪中去，两腔长相距50，为得到模匹配，应把焦距为多大的透镜放置在何处？解答： 9. 某高斯光束的，今用一望远镜将其准直，如图3.4所示，主镜用镀金全反射镜：，口径为；副镜为一锗透镜：，口径为，高斯光束的束腰与副镜相距，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：（1）两镜的焦点重合；（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。图3.4解答：，主镜上的光斑尺寸超过镜面尺寸，考虑衍射，10. 月球距地球表面，使用波长的激光束照射月球表面。当（1）光束发散角为；（2）光束发散角为时，月球表面被照亮的

18、面积为多少？两种情况下，光腰半径各为多少？解答：根据光斑尺寸为 光束发散角为得到，将其代入光斑尺寸公式得于是有（1）当时光腰半径为月球表面被照亮的面积为（2）当时光腰半径为月球表面被照亮的面积为11. 一高斯光束的光腰半径，波长，从距离透镜为的地方垂直入射到焦距为的透镜上。求：（1），（2）时，出射光束的光腰位置和光束发散角。解答：出射高斯光束束腰处光斑半径为 12一染料激光器输出激光器的波长，光腰半径为。使用焦距为的凸透镜对其聚焦，入射光腰到透镜的距离为。问：离透镜处的出射光斑为多大？ 解答：出射高斯光束束腰处光斑半径和光腰距透镜的距离为 出射高斯光束距束腰距离为z处的光斑尺寸为计算得到 1

19、3. 一高斯光束的光腰半径为，腰斑与焦距为的薄透镜相距为，经透镜变换后传输距离，又经一折射率为，长为的透明介质后输出，如图3.5所示。求：（1）高斯光束在介质出射面处的参数和光斑半径。（2）若介质移到薄透镜处，即（不考虑可能存在的间隙），求输出高斯光束的远场发散角。图3.5解：(1) 高斯光束束腰所经历的光器件矩阵：由ABCD定律得高斯光束在介质出射面处的参数：光斑半径：(2) 高斯光束束腰所经历的光器件矩阵：由ABCD定律得高斯光束在介质出射面处的参数：新束腰处参数：新束腰：输出高斯光束的远场发散角：14. 如图3.6所示，波长的钕玻璃激光器的全反射镜的曲率半径，距全反射镜处放置长为的钕玻璃

20、棒，其折射率为。棒的一端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。（1）进行腔的稳定性判别；（2）求输出光斑的大小；（3）若输出端刚好位于的透镜的焦平面上，求透镜聚焦后的光腰大小和位置。图3.6解： 13、某二氧化碳激光器，采用平-凹腔，凹面镜的R=2m，腔长L=1m。试给出它所产生的高斯光束的束腰斑半径的大小和位置、该高斯光束的及的大小。解： ，则，可见束腰的位置在平面镜上。，14、某高斯光束束腰斑大小为=1.14mm，。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径及波前曲率半径。解：， 把z=30cm、10m、1000m分别代入上面两式中，得到分别为，分别为， ，15、若已知某高斯光束之=

21、0.3mm，。求束腰处的q参数值，与束腰相距30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无穷远处q的值。解：，把，代入上式中得到束腰处z=0，无穷远处，处，16、某高斯光束=1.2mm，。今用F=2cm的锗透镜聚焦，当束腰与透镜的距离为、0时，求焦斑大小和位置，并分析所得结果。解：高斯光束束腰变换关系，当、0时，可分别得到17、二氧化碳激光器输出光，用一的凸透镜来聚焦，求欲得到及时透镜应放在什么位置。解：由公式，可得到当及时，透镜与束腰之间的距离分别为1.96cm及-3.85mm。18、如图2.2光学系统，入射光，求及。图2.2解：由以及可分别得到经透镜之后高斯光束的束腰半径及其到的距离到透镜的距离再由，即可得到19、某高斯光束=1.2mm，。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1cm，口径为20cm；副镜为一锗透镜，口径为1.5cm；高斯光束束腰与透镜相距，如图2.3所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。解：准直倍率其中，代回式中得到20、激光器的谐振腔由两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及步骤。21、已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面