Z变换及逆变换与 稳定性

1、数字信号处理课 程 设 计课程名称数字信号处理题目名称Z变换及逆变换与稳定性专业班级电子信息（12）学生姓名 学 号指导教师二××年××月××日Z变换-反变换求系统响应及稳定性判断引言1数字信号处理2MATLAB2GUI2课题相关2设计要求1理论知识1离散时间系统2Z变换2数字信号处理2离散时间系统的频域分析2系统函数6因果性和稳定在Z域的描述6系统函数的零极点位置6MATLAB仿真1M脚本涉及函数2GUI控件介绍2常用控件6控件的公共属性6程序实现1稳定系统I5稳定系统II5非稳定系统5致谢1参考文献4附录11 引 言1.1 数字信

2、号处理数字信号处理就是用数值计算的方式对信号进行加工的理论和技术，它的英文原名叫digital signal processing，简称DSP。另外DSP也是digital signal processor的简称，即数字信号处理器，它是集成专用计算机的一种芯片，只有一枚硬币那么大。有时人们也将DSP看作是一门应用技术，称为DSP技术与应用。数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。而数字信号处理的

3、输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。1.2 MATLABMATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有

4、效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。1.3 GUIGUI是提供人机交互的工具和方法。GUI是包含图形对象，如窗口、图标、菜单和文本的用户界面。以某种方式选择或激活这

5、些对象，通常引起动作或发生变化。最长常的激活方法是用鼠标或其他单击设备去选择或激活这些对象，通常引起动作或发生变化。最常见的激活方法是用鼠标或其他单击设备去控制屏幕上鼠标指针的运动。单击鼠标，标志着对象的选择或其他动作。一个设计优秀的GUI能够非常直观地让用户知道如何操作MATLAB界面，了解设计者开发意图。令人兴奋的是，对于绝大多数使用GUI的计算机用户都知道如何去应用GUIDE的标准控件，这也为GUI设计提供了广阔的前景。MATLAB的GUI为开发者提供了一个不脱离MATLAB的开发环境，有助于MATLAB程序的集成。1.4 课题相关利用MATLAB及其GUI功能通过z变换-反变换的方法求

6、取线性离散系统（LTI）的响应。2 设计要求利用z变换-反变换的方法求取系统的响应，判定系统的稳定性。具体要求：设计三个离散的线性定常系统（其中应包括稳定的和不稳定的），并利用Z变换和反变换的方法计算系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，并通过极点判定系统的稳定性。3 理论知识3.1 离散时间系统3.1.1 离散时间系统定义离散时间线性定常系统（也称线性时不变系统）（Linear time invariant，LTI）是指该离散系统既是线性系统又是时不变系统。离散时间系统的性质3.1.2 离散时间系统重要性质齐次性：若激励x(n）产生的响应为y(n），则激励A x(n）产生的响应即为A y(n），

7、此性质即为齐次性。其中A为任意常数。叠加性：若激励x1(n）与x2(n）产生的响应分别为y1(n）， y2(n），则激励x1(n)+x2(n）产生的响应即为y1(n)+y2(n），此性质称为叠加性。线性：若激励x1(n）与x2(n）产生的响应分别为y1(n）， y2(n），则激励A1x1(n)+A2x2(n）产的响应即为A1y1(n)+A2y2(n），此性质称为线性。时不变性：若激励x(n）产生的响应为y(n），则激励x(n-n0）产生的响应即为y(n-n0），此性质称为时不变性，也称定常性或延迟性。它说明，当激励x(n）延迟时间n0时，其响应y(n）也延迟时间n0，且波形不变。3.2 Z变换

8、3.2.1 Z变换的定义及性质Z变换（英文：z-transformation）可将时域信号（即：离散时间序列）变换为在复频域的表达式。单边Z变换：通常意义下的Z变换指单边Z变换，单边Z变换只对右边序列（n0部分）进行Z变换。表达式：XZ=n=0+xnZ-n单边Z变换可以看成是双边Z变换的一种特例，对于因果序列双边Z变换与单边Z变换相同。Z变换有线性性、序列移位、时域卷积、频移、频域微分等性质。3.2.2 收敛域Z变换的存在充分必要条件是：级数绝对可和。使级数绝对可和的成立的所有Z值称为Z变换域的收敛域。由Z变换的表达式及其对应的收敛域才能确定原始的离散序列。收敛域可用公式表示为：ROC=z:n

9、=-+xnz-n< Z变换收敛域的特点：(1) 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到，只有x(n)=(n)的收敛域是整个Z平面；(2)在收敛域内没有极点，X(Z)在收敛域内每一点上都是解析函数。3.2.3 逆Z变换定义已知Z变换X(Z)求对应的离散时间序列xn称为Z变换的逆变换。逆Z变换的定义式为：xn=12jcXzzn-1 dz c(Rx- ,Rx+)逆Z变换是一个对Z进行的围线积分，积分路径C是一条在X(Z)收敛环域（Rx-，Rx+）以内逆时针方向绕原点一周的单围线。3.2.4 解逆Z变换常用方法(1) 部分分式展开法部分分式展开法：部分分式法又称查表法，其基本思

10、想是根据已知的 ，通过查Z变换表找出相应的 ，或者 ，采用部分分式法可以求出离散函数的闭合形式。其方法与求拉普拉斯反变换的部分分式法相似。稍有不同的是，由于 在分子中通常都含有z，因此先将 除以z然后再展开为部分分式，最后将所得结果的每一项都乘以z，即得 的部分分式展开式。(2)留数法对于有理的Z变换，围线积分通常可用留数定律计算，xn=ResXZZn-1,Zk，即为X(Z)Zn-1，在围线C内所有极点Zk上留数值得总和。3.3 离散时间系统的频域分析3.3.1 系统函数我们知道，用单位脉冲响应h(n)可以表示线性时不变离散系统，这时y（n）=x（n）*h（n）两边取z变换： Y(z)=X(z

11、) H(z) ,Hz=YZXZ则定义为系统函数。它是单位脉冲响应的z变换。单位圆上的系统函数z=e就是系统的频率响应。所以可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。3.3.2 因果性和稳定性在Z域的描述(1) 因果性 因果系统：因果系统：系统的输出y(n)只取决于此时，以及此时以前的输入，即x(n)，x(n-1)，x(n-2)等。相反，如果系统的输出y(n)不仅取决于现在和过去的输入，而且还取决于未来的输入，如x(n+1)，x(n+2)等，这在时间上就违背了因果规律，因而它是非因果系统，也就是不现实的系统。一个线性时不变系统具有因果性的充要条件为：时域：当n<0时，h(n)=0

12、Z域：当H(z)的收敛域包括点，即ROC:Rx-<|Z| (2) 稳定性稳定系统：只要输入序列是有界的，其输出必定是有界的，这样的系统称为稳定系统。一个线性时不变系统具有稳定性的充要条件为:时域：n=-h(n)<Z域：H(z)的收敛域包含单位圆(3) 因果稳定因果稳定系统：同时满足因果性、稳定性。因果稳定系统H(z)的收敛域为：r<|Z| (r<1)要点：对于因果稳定系统的系统函数，其全部极点必须在单位圆内。注：本课题研究的即为因果稳定系统。3.2.3 系统函数的零极点位置对系统特性的影响在 z 平面上，系统函数的极点可能位于单位圆内、单位圆上或者单位圆外。显然，对于一

13、个因果系统而言，如果极点位于单位圆内，则由于，冲激响应的包络将随 n 值的增大而衰减，此时系统稳定；如果极点在单位圆上，则由于，冲激响应的包络将不随 n 值的大小而改变，它是一个等幅的包络，系统不稳定；如果极点在单位圆外，则由于，冲激响应的包络将随n值的增大而增大，系统不稳定。4 MATLAB仿真4.1 m脚本涉及函数（m程序见附录）表4-1 函数介绍函数作用inputinput() ；提示键盘输入dispdisp() ;在command窗口显示disp括号中的字符内容subplotsubplot ; 是将多个图画到一个平面上grid on grid on ;为当前坐标轴添加网络线tftf(B

14、,A,Ts,x) ;分子向量为B，分母向量为A，采样间隔为x秒的系统函数 roots用来求多项式的根tf2zpz,p,k=tf2zp(num,den) ;将由tf(num,den)生成的tf对象转换为zpk对象，并这个传输函数的零点，极点，增益赋值给变量z,p,kzplanezplane(B,A) ;画出分子向量为B，分母向量为A的系统函数的零极点分布图detepdstep(B,A) ; 画出分子向量为B，分母向量为A的系统函数的单位阶跃响应dimpulsedimpulse(B,A) ; 画出分子向量为B，分母向量为A的系统函数的单位脉冲响应4.2 GUI控件介绍4.2.1 常用控件表4-2

15、控件列表名称功能图标按钮(Push Buttons)执行某种预定的功能或操作文本编辑器(Editable Texts)用来使用键盘输入字符串的值，可以对编辑框中的内容进行编辑、删除和替换等操作坐标轴(Axes)用于显示图形和图象静态文本框(Static Texts)仅用于显示单行的说明文字或计算结果4.2.2 控件的公共属性表4-3 控件公共属性名称属性Children取值为空矩阵，因为控件对象没有自己的子对象Parent取值为某个图形窗口对象的句柄，该句柄表明了控件对象所在的图形窗口Tag取值为字符串，定义了控件的标识值，在任何程序中都可以通过这个标识值控制该控件对象Type取值为uicon

16、trol，表明图形对象的类型UserDate取值为空矩阵，用于保存与该控件对象相关的重要数据和信息BackgroundColor取值为颜色的预定义字符或RGB数值；缺省值为浅灰色Callback取值为字符串，可以是某个M文件名或一小段Matlab语句，当用户激活某个控件对象时，应用程序就运行该属性定义的子程序Extend取值为四元素矢量0, 0, width, height，记录控件对象标题字符的位置和尺寸ForegroundColor取值为颜色的预定义字符或RGB数值，该属性定义控件对象标题字符的颜色；缺省值为黑色String取值为字符串矩阵或块数组，定义控件对象标题或选项内容Style取值

17、可以是pushbutton(缺省值), radiobutton, checkbox, edit, text, slider, frame, popupmenu 或listboxUnits取值可以是pixels (缺省值), normalized（相对单位）, inches, centimeters（厘米）或points（磅）FontAngle取值为normal（正体，缺省值）, italic（斜体）, oblique（方头）FontName取值为控件标题等字体的字库名FontWeight取值为normal（缺省值）, light，demi和bold，定义字符的粗细HorizontalAligm

18、ent取值为left，center （缺省值） 或 right，定义控件对象标题等的对齐方式5 程序实现5.1 稳定系统I系统函数:HZ=z2+6z+77z2+5z+4(1) 通过m程序实现请输入分子向量B:1 6 7请输入分母向量A:7 5 4H = z2 + 6 z + 7- 7 z2 + 5 z + 4 Sample time: 1 secondsDiscrete-time transfer function.Z = -4.4142 -1.5858P = -0.3571 + 0.6662i -0.3571 - 0.6662i系统极点模的最大值为：PM = 0.7559系统稳定图5-1 F

19、igure显示(2) 通过GUI实现图5-2 GUI显示5.2 稳定系统II系统函数HZ=2z3+z+44z3+2z2+z(1) 通过m程序实现请输入分子向量B:2 0 1 4请输入分母向量A:4 2 1 0H = 2 z3 + z + 4 - 4 z3 + 2 z2 + z Sample time: 1 secondsDiscrete-time transfer function.Z = 0.5641 + 1.2061i 0.5641 - 1.2061i -1.1282 P = 0 -0.2500 + 0.4330i -0.2500 - 0.4330i系统极点模的最大值为：PM = 0.50

20、00系统稳定图5-3 Figure显示(2) 通过GUI程序实现图5-4 GUI显示5.3 非稳定系统系统函数：Hz=1.25z4+3.847z3+53z2+14z+42z4+z2+4z+100(1) 通过m程序实现请输入分子向量B:1.25 3.847 53 14 4请输入分母向量A:2 0 1 4 100H = 1.25 z4 + 3.847 z3 + 53 z2 + 14 z + 4 - 2 z4 + z2 + 4 z + 100 Sample time: 1 secondsDiscrete-time transfer function.Z = -1.4067 + 6.2929i -1.

21、4067 - 6.2929i -0.1321 + 0.2440i -0.1321 - 0.2440iP = 1.8475 + 1.9834i 1.8475 - 1.9834i -1.8475 + 1.8419i -1.8475 - 1.8419i系统极点模的最大值为：PM = 2.7105系统不稳定图5-5 Figure显示(2) 通过GUI程序实现图5-6 GUI显示6 问题与结论在使用MATLAB编写程序时，对于好多函数命令不是很熟，必须查看帮助。对于数字信号专业知识，深深地认识到理解和掌握的不是很牢固。分析系统的稳定性：系统函数的极点在零极点分布图上的位置分布来判断系统的稳定性,如果全部

22、的极点都在单位圆内，则该系统为稳定系统,如果极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。系统输入为单位阶跃信号时，系统的响应可作为验证系统稳定性的一种方法。如果系统为稳定的则系统的单位阶跃响应为有界的，反之则系统为不稳定的。致 谢这次简单的综合实践，拓宽了我们的知识面，提升了我们解决简单实际问题的能力。同时深深地认识到，综合能力和创新意识的提高必须基于对专业知识的深刻理解和把握，以及对MATLAB的运行原理和操作的认识和熟练。这是个坚持学习、树立信心的过程，我们会继续努力。本次数字信号课程设计算是一次简单的对专业知识的回顾与总结，同时也是对MATLAB软件的粗略学习和应用。虽然只是短短的为期几天，真

23、的感受到MATLAB的强大与广博，涉及声音、图像、信号的采集、处理分析、存储、人机界面交互，等等，通过这次对几个课程设计题目的尝试，从题目的分析、研究方向与方法的选择、相关资料的查阅、简单程序的编写、调试与修改、波形图像的分析、结论的得出这些经历，我们更加深刻了解了自己对专业知识的把握程度与不足之处，今后会向实际运用方面着重下功夫。参 考 文 献1 高西全，丁美玉数字信号处理（第三版）M.西安：西安电子科技大学出版社，2008. 2 丁玉美等.数字信号处理M.西安：西安电子科技大学出版社，2001. 3 陈怀琛等.MATLAB及在电子信息课程中的应用M.北京：电子工业出版社，2003. 4 程佩青.数字信号处理教程M.北京：清华大学出版社，2008. 5 李建新等