湖北省襄阳市高一数学下学期期末试卷(含解析)

1、2015-2016学年湖北省襄阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题1 . 2sin15 ° cos15° =()A- Bl. -C.亨 D.-亨2 .不等式x2-3x-4>0的解集为()A. x|x < - 1 或 x>4 B. x|x < - 1 或 x>4 C. x| 1<x<4D. x| 1<x<43 .若b>a>0,则下列不等式中一定成立的是()A.b>l>a B- b>fab>J->a C b>a>>Vab D- bgb>a兀S7C4 .已知 t

2、an ( + +) =2, tan ( 3 ) = 3,则 tan ( a 3 )=()44A. 1 B. - -1-C.率 D. - 15.已知等差数列an的前n项和为Sn, a1=-11, as+a6=-4, S取得最小值时n的值为( )A. 6 B. 7C. 8D. 96 .棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是()A? B 4 C T a 37 .若不等式x2 - ax+a>0在（1, +8）上恒成立，则实数 a的取值范围是（）A. 0, 4B, 4 , +8）C.（-巴 4）D.（一巴 48 .某校运动会开幕式上举行升旗仪式

3、，旗杆正好处在坡度15。的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。和30。，且第一排和最后一排的距离为5米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，要使国歌结束时国旗正好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（）A.0.1米/秒B.0.3米/秒C.0.5米/秒D.0.7米/秒9 .已知数列an对任意的p, qCN*满足ap+q=ap+aq,且a?=-6,那么ai。等于()A.- 165B.- 33C.- 30D.- 2110 .已知a, b, c均为直线，”，3 为平面.下面关于直线与平面关系的命题：(1)任意给定一条直线 a与一个平

4、面”，则平面“内必存在与a垂直的直线；(2)任意给定的三条直线 a, b, c,必存在与a, b, c都相交的直线；(3) “/ 3, a? a , b? 3 ,必存在与 a, b都垂直的直线；(4) a ± 3 , a A 3 =c, a? a , b? 3 ,若 a 不垂直 c,则 a 不垂直 b. 其中真命题的个数为()A. 1B. 2 C. 3D. 4211 .若a>- 1,则2 +3升3的最小值是()ac+1A. 1B. 2 C. 3D. 412 .已知数列： y，y，j-, "I", y, y,母，(，依它的前 10项的规律，这 个数列的第201

5、6项a2016=()A.-r- B. C.吉 D.163316115二、填空题.13 .已知数列an是等比数列，a9是1和3的等差中项，则a2a16=.14 .将长、宽分别为 4和3的长方形ABCDg对角线AC折起，得到四面体 A- BCD则四面 体A- BCD勺外接球的体积为 .15 .已知函数 f (x) = S sinx+cosx ) cosx,贝U f (x)的最大值是 .16 .下列命题：设a, b是非零实数，若 avb,则ab2va2b;若a< b< 0,则也>目;a b函数y= /)的最小值是 2；4+2若x、y是正数，且g+：=1，则xy有最小值16.其中正确

6、命题的序号是 .三、解答题.17 .已知数列an是各项均为正的等比数列，ai=2, az+a3=24;数列bn是公差不为0的等差数列，bi, b2, b5成等比数列，bi+b2+b5=13.(1)求数列a n、b n的通项公式;求数列an-bn的前n项和S.18 .已知函数 f (x) =sin (x+-) +sin (x-) +cosx 1.(1)求使f (x) >0成立的x的取值集合；(2)在 ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c,已知A为锐角，a=3/j, c=6, f(A)是函数f (x)在0 ,4上的最大值，求 ABC的面积.Im19 .如图，四棱锥 V- ABCD4

7、3,底面ABC比边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为J百的等腰三角形，E、F分别为A® VC的中点.(1)求证：EF/平面VAR(2)求二面角 V- AB- C的大小.20 .在三棱锥 P-ABC中，PAL平面 ABC ABC是正三角形，D是BC的中点，M N分别为 线段PR PC上的点，MN/ BC(1)求证：平面 PADL平面PBC(2)若PA=AD当点A到直线MN的距离最小时，求三棱锥 P-AMNW三锥P- ABC的体 积之比.21 .已知数列an的各项均为正，a1=2, Sn是它的前n项和，且 S=pan2+2pan (neN)(1 )求数列a n的通项公式；求数列an

8、?2n的前n项和Tn；(3)求证:>72n+l -al(q1 - 1)( a2- 1)i " 一 1)22 .为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园，中间有三 个完全一样的矩形花坛，每个花坛面积均为294平方米，花坛四周的过道均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为 x,宽为y,整个矩形花园面积为 S.(1)试用x, y表示S;(2)为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少， 占地多少平米？9 / 182015-2016学年湖北省襄阳市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1 . 2sin15 ° cos15

9、76; =()A- Bl. -C.券 D. 一 号【考点】二倍角的正弦.【分析】直接利用二倍角的正弦函数化简求值即可.【解答】 解：2sin15 ° cos15° =sin30 ° =.2故选：A.2 .不等式x2-3x-4>0的解集为()A. x|x < - 1 或 x>4 B. x|x < - 1 或 x>4 C. x| 1<x<4D. x| 1<x<4【考点】一元二次不等式的解法.【分析】根据二次函数y=x2-3x-4的图象开口方向朝上，故可得不等式解集应为函数y=x2 - 3x - 4两个零点的两侧，进

10、而得到答案.【解答】 解：解方程x2 - 3x - 4=0得：x= - 1,或 x=4,故不等式 x2 - 3x - 4> 0 的解集为：(-°0, -1) U (4, +°°),故选：A.3.若b>a>0,则下列不等式中一定成立的是()A. >b>Vb>a B. b>Vab>JyL>a C b>a>7>>/b D- b>JrL>-/ab >a【考点】不等式的基本性质.【分析】根据不等式的性质及基本不等式对进行判断，得出正确选项.【解答】解：由题意b>a>0

11、,可得b>*, a<邛，又由基本不等式可得 告员> itit：jVab，且7=a-XU 对比四个选项可得 b>>Vab>a,故选：D.冗3兀4.已知 tan ( + +-)=2，tan ( 3 - .)= 3,贝U tan ( a 3 ) =()55A. 1B. - 7 C. - - D. - 1【考点】两角和与差的正切函数.【分析】利用两角差的正切公式，求得tan (a-3)的值.【解答】解：.tan (a+-) =2, tan ( 3 - 43兀T)=-3,贝U tan(a 3 ) =tan ( a 3 ) + 兀=tan ( + +)-(33JLa !

12、广 n %3冗Jtan(q+丁) - tan(P "t一乙T。=, 小 n u 踪 3冗、1+2 X (-3)故选：D.5.已知等差数列an的前n项和为Sn, ai=-11, a5+a6=-4, S取得最小值时n的值为( )A. 6B. 7C. 8 D. 9【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性.【分析】【解法一】求出an的通项公式an,在anW0时，前n项和Sn取得最小值，可以 求出此时的n;【解法二】求出an的前n项和Sn的表达式，利用表达式是二次函数，有最小值时求对应n的值.【解答】 解：【解法一】在等差数列 an中，设公差为d," a1= 11, as+a6=

13、4,( a+4d) + (a+5d) =- 22+9d=-4;.d=2,1.an=a1+ (n-1) d= - 11+2 (n-1) =2nT3,由 2n T3W 0,得 nW -7-,，当n=6时，Sn取得最小值；【解法二】在等差数列a n中，设公差为d,- a1= 111, a5+a6= 4,( a+4d) + (a+5d) =- 22+9d=- 4, .d=2,“ic n&L-l)d| 一 方(n-1)2 _ .刖 n 项和 Sn=na1+= - 11n+=n - 12n, 当n=6时，Sn取得最小值；故选：A.6 .棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图

14、如 图所示，那么该几何体的体积是()A<. - B. 4 C. D. 333【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图知几何体是正方体的一半，已知正方体的棱长为 体积.【解答】 解：由三视图知：余下的几何体如图示：2,由此可得几何体的E、F都是侧棱的中点，上、下两部分的体积相等， ，几何体的体积 V卷X 23=4. 故选B.7 .若不等式x2-ax+a>0在（1, +8）上恒成立，则实数 a的取值范围是（）A. 0, 4B, 4 , +8） C.（-巴 4）D.（一巴 4【考点】二次函数的性质.,+00）上恒【分析】 将不等式x2- ax+a>0在（1, +8）上恒成立转

15、化为成立，运用基本不等式求出的最小值即可.【解答】 解：二不等式x2- ax+a>0在（1, +8）上恒成立,2a<二在（1, +8）上恒成立，即 av （x - 1=(x 1 )+2 >2+2=4,Cx 1+1 ) 2- 1 ) -2(K - 1) + 1其一 1=4.当且仅当x=2时，取得最小值4.a<故选：D.8 .某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15。的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。和30。，且第一排和最后一排的距离为 5JI米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，要使

16、国歌结束时国旗正好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（）A. 0.1米/秒 B. 0.3米/秒 C. 0.5米/秒 D. 0.7米/秒【考点】 解三角形的实际应用.【分析】先画出示意图，根据题意可求得/AEC和/ ACE则/ EAC可求，然后利用正弦定理求得AG最后在 RtABC中禾lJ用 AB=AC?sin ACB求得答案.【解答】 解：如图所示，依题意可知/ AEC=45 , /ACE=180 - 60° -15° =105° ,，/EAC=180 45° - 105° =30° ,由正弦定理可知sinZEAC =31 nZ CE

17、ACR'.AC=iR薮3mNcEA=1aB米,在 RtMBC中,AB=AC?s此 ACB=10/X=15 米,国歌长度约为50秒，故答案为：0.3 .9.已知数列an对任意的p, qCN*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a1。等于（）A. - 165 B. - 33C. - 30 D. - 21【考点】 数列的概念及简单表示法.一一 一 .一 .一 , 一 一 . 、一 * 一 一 . 一 一【分析】根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq,给任意的p, qCN,我们可以先算出 a,再算出a8,最后算出a。，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的.【解答】 解：

18、= a4=a2+a2=- 12, " a8=a4+a,= 24, aio=as+a2= 30,故选C10.已知a, b, c均为直线，”，3 为平面.下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线 a与一个平面”，则平面“内必存在与a垂直的直线；（2）任意给定的三条直线 a, b, c,必存在与a, b, c都相交的直线；（3） “/ 3, a? a , b? 3 ,必存在与 a, b都垂直的直线；（4） a ± 3 , a A 3 =c, a? a , b? 3 ,若 a 不垂直 c,则 a 不垂直 b.其中真命题的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【

19、考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】利用空间线线关系和线面关系定理对四个命题分别分析解答.【解答】 解：对于（1）,任意给定一条直线 a与一个平面”，根据线面垂直的性质或者所以定理可以得到，平面”内必存在与a垂直的直线；（1）正确；对于（2）,当a/ b,且a, b? a , c/ a时，结论不成立；故（2）错误；对于（3） , a / 3 , a? a , b? 3 ,只要与平面垂直的直线，必与直线a, b垂直；所以必存在与a, b都垂直的直线；（3）正确；对于（4）,若 b1c? b±a ? b±a,故（4）错误.故真命题的个数为 2个；故选：B.11 .若a

20、> - 1,则且争曳的最小值是（）3+1A. 1B. 2 C. 3 D. 4【考点】基本不等式.【分析】利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解：; a>- 1,a+1 >0a*.,"；L=g+l）2+：3"）+）=1+2+1年1+2卜巴+）.2=3,当且仅当 aV2- a+1a+1a+1 v a+1取等号，故里椀警的最小值是3,a+1故选：C12 .已知数列： Y，:,年,y, Y，/，T,，依它的前10项的规律, 个数列的第2016项a2016=（）A.D.6115【考点】 数列的概念及简单表示法.【分析】 观察数列的特征，得出它的项数是1+2+3+k

21、=''段内是k个分数(kC N*, k>3),且它们的分子分母和为【解答】解：观察数列:2k+1；2进而求出第2016项即可.,，得出:得，k>3);16；又第n组是由分子、2016项位于倒数第分母之和为 n+1知:1个数，该数列的第 2016项为a20i6=.63故选：A.二、填空题.13 .已知数列an是等比数列，a9是1和3的等差中项，则 a2a16= 4 .【考点】 等比数列的通项公式.【分析】利用等差数列的性质可得：2a9=1+3,解得a9,又a2a化和：，即可得出.【解答】 解：设等比数列an的公比为q, .a9是1和3的等差中项，2a9=1+3,解得

22、a9=2.2 由等比数列的性质可得：a2a16=3g =4,故答案为：4.14.将长、宽分别为 4和3的长方形ABCDg对角线AC折起，得到四面体 A- BCD则四面 体A - BCD勺外接球的体积为1J 冗.【考点】 球的体积和表面积.【分析】折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCDg对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积.【解答】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，长宽分别为3和4的长方形ABC曲对角线AC折起二面角，得到四面体 A- BCD15则四面体A- BCD的夕卜接球的半径，是-AC=- Z £所求球的体积为: 故答案为:15.已知函数 f

23、 (x) = (sinx+cosx ) cosx,贝U f (x)的最大值是.2【考点】 三角函数的最值.【分析】利用三角恒等变换化简f (x)的解析式，再根据正弦函数的最值求得f (x)的最大值.【解答】 解：函数f (x) = (sinx+cosx )cosx=sinxcosx+cos 2x=sin2x+=Zj-sin(2x+) 工，2222故当sin (2x+；) =1时，函数f (x)取得最大值为 返口，4213 / 1816 .下列命题：设a, b是非零实数，若 avb,则ab2va2b;若a< b< 0,则工>工；a b函数y= j的最小值是 2；若x、y是正数，

24、且 十+，1,则xy有最小值16.其中正确命题的序号是.【考点】命题的真假判断与应用.【分析】的结论不成立，举出反例即可；由同号不等式取倒数法则，知，知成立;由力% >2,知函数的最小值不是2;由x、【解答】y是正数，且H=1，知言冷引故xy*数解：设a, b是非零实数，若avb,则ab2va2b,此结论不成立,反例：令 a=- 10, b= - 1,则 ab2=- 10>a2b=- 100,故不成立;若avbv0,由同号不等式取倒数法则，知 故成立； a b.，： =1xy >16,故正确.故答案为：.三、解答题.17 .已知数列an是各项均为正的等比数列，ai=2, a2

25、+a=24;数列bn是公差不为0的等差数列，bi, b2, b5成等比数列，bi+b2+b5=13.(1)求数列a n、b n的通项公式；(2)求数列an-bn的前n项和S.【考点】 数列的求和；数列递推式.【分析】(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；(2)利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】 解：(1)设数列an的公比为q (q>0),由a2+a3=24得：2q+2q2=24,解得：q=3或q=- 4 (舍去)，%二23戎一1(bj+a)% W.+4由设数列bn的公差为d (dw0),由已知，、3纽5卡13解得：d=0 (舍去)或d=2,这时b1=1,bn

26、=2n 1,2(1 - 3n)(2):设数列an的前n项和为Tn,则T =匕上二门-1 ,冷 1 - 3Yi(l+2n. - 1)?设数列bn的前n项和为Ln,贝ULn=, "二 ” 一，= 3 - n - 1 .另解： S= (a+a2+an)bbn)型-也匹j - /1-32。 n冗7T18 .已知函数 f (x) =sin (x+-+sin (x ) +cosx 1.(1)求使f (x) >0成立的x的取值集合;(2)在 ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c,已知A为锐角，a=3/j, c=6, f (A)是函数f (x)在0 ,2-上的最大值，求 ABC的面积

27、.【考点】 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f (x)+l=2sin(丹卫一)1,由*in(冥十飞)券,根据正弦函数的图象和性质即可解得满足条件的 x的取值集合.(2)由已知可求A,利用余弦定二Lw哆，亭，利用正弦函数的图象和性质可求 663理可求b,进而利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】(本题满分为12分) 解：(1) f Cx) =n7-sinxfyccisx+'sin:< -cosx+cosx - 1,兀 /sinJc + 3耳-1=- 1,由 f (x) >0 得：-(kEz),即2k文戈42k元上

28、故满足条件的x的取值集合是x 12kn<x< 2knkEZ).Ji n 2 n二七L丁，-YJT 兀兀又A为锐角，当A+-=-,即Ah二厂时，函数f (x)取最大值, & Z3由余弦定理得：27二b36 12bG。=b2 6b+9=0, J.b=3,11 VS /3%疵室.吟X 3 X 6亭芳19 .如图，四棱锥 V- ABCD43,底面ABC比边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长 为旄的等腰三角形，E、F分别为A® VC的中点.(1)求证：EF/平面VAR(2)求二面角 V- AB- C的大小.a e a【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定.【

29、分析】（1）取VD中点M,连结AMMF,推导出四边形AEFM是平行四边形，从而 EF/AM由此能证明 EF/平面VAD（2）取 CD中点 N,贝U ENAB,连结 VE VN,贝U VE!AB, / VEN是二面角 V AB C的平 面角，由此能求出二面角V- AB- C的大小.【解答】 证明：（1）取VD中点M连结AM MFM F分别是VQ VC中点， MF/ AB,且 MF冬般舞,.四边形AEFM平行四边形，EF/ AM又AM?平面VAD EF?平面 VAD .EF/平面 VAD解：（2）取CD中点N,则ENL AB,连结 VE, VN - VA=VB E 是 AB中点， VEX AB,

30、/ VEN是二面角 V- AB- C的平面角，.VE=VN=2 EN=AD=2/ VEN=60即二面角 V- AB- C的大小为60° .17 /1820 .在三棱锥 P-ABC中，PAL平面 ABC ABC是正三角形，D是BC的中点，M N分别为 线段PR PC上的点，MN/ BC(1)求证：平面 PADL平面PBCP- ABC的体(2)若PA=AD当点A到直线MN的距离最小时，求三棱锥 P-AMNW三棱锥 积之比.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定.【分析】(1)根据面面垂直的判定定理进行证明即可.(2)根据三棱锥的体积关系进行转化求解即可.【解答】(1)解：.

31、 ABC是正三角形，且 D是BC中点 .-.AD± BC,又 PA1平面 ABC - PA± BC, ,PA、AD在平面 PAD内且相交于 A BC，平面 PAD又BC在平面PBC内，平面PADL平面PBC(2)解： MN/ BG BCL平面 PAD .MNL平面 PAR设MN PD于R,连结 AR贝U ARL MN .AR是点A到直线MN勺距离在RtPAD中，当 ARL PD时，AR最小.MN PD者B在平面 PBC内，人丑平面 ABC . PA=ADR是 PD中点Pp-庇 Fa-pbc 段x sAF0c xar-421 / 18* .(nC N)21 .已知数列an的各

32、项均为正，ai=2, Sn是它的前n项和，且 S=pan2+2pan (1 )求数列a n的通项公式；(2)求数列an?2n的前n项和Tn；(3)求证:息 I"：'%力- D(七-1),一(/ - 1)【考点】 数列的应用；数列的求和.【分析】近1廿1 (1)当n=1时，求得p的值，当n>2时，Si=aniOan i ( nC N*),与an (nCN)两式相减，整理得(an+an-i) (anan-12) =0,由 3+an-iW0,an-an i=2,数列a n是以2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式求得数列an的通项公式；(2)写出an?2n的通项公

33、式，利用乘以公比错位相减法，即可求得Tn；(3)采用数学归纳法证明，根据数学归纳法步骤，当 n=i时，,=2 >V5,成立，假设当2X4 乂M2k _I n=k时成立，整理得乂 3然(zk,当n=k+i时，化简整理即可得到' 河”班1(力-1)(七-1),"(ak_ 1)- 1)【解答】 解：(i)当 n=i 时，ai=pai2+2pai,即 2=4p+4p, p尚 . Sn=_an +4(nC N*),当n>2时，S!2 Ii=7ran-i +84两式相减整理得：(an+an-i) (an- an-i- 2) =0,数列an的各项均为正，an + an-iW0, an