矩阵运算法则

1、矩阵的转置、乘法（初等变换）、逆内容提要 矩阵的下列运算的性质与应用 乘法 转置 初等变换 逆定义定义 ，那么，那么，设矩阵设矩阵nsijnmijbBaA 由定义，一个由定义，一个行矩阵与一个行矩阵与一个 列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数一个数： 并把此乘积记作并把此乘积记作），；，（，其中，其中.212112211njmibabababacckjiksjisjijiijnmij CnmB矩阵矩阵的乘积是一个的乘积是一个矩阵与矩阵矩阵与矩阵乘法 定义中矩阵定义中矩阵(=AB)的元素的元素cij是矩阵是矩阵A 的的 第第i 行行元素与矩阵元素与矩阵B的的

2、第第j 列列对应元素乘积之和对应元素乘积之和. 注意注意 只有当第一个矩阵只有当第一个矩阵(左左矩阵矩阵)的的列列数等数等 于第二个矩阵于第二个矩阵(右右矩阵矩阵)的的行行数时，数时，两个矩阵才两个矩阵才 能相乘能相乘. sjisjijisjjjisiibabababbbaaa 22112121, nkijkjikcba1矩阵的乘法满足下述运算规律矩阵的乘法满足下述运算规律结结合合律律)()(.BCACAB1 ACABCBA2 )(.).()()(.BABAAB3 分分配配律律CABAACB )(矩阵的幂矩阵的幂 A 是一个是一个n 阶矩阵阶矩阵, k 是一个正整数是一个正整数,规定规定 个个

3、kkAAAA 矩阵的幂满足规律矩阵的幂满足规律 .,lklklklkAAAAA 其中其中 k , l 为正整数为正整数.对于两个对于两个 n 阶矩阵阶矩阵 A与与 B，一般说，一般说.)(kkkBAAB kn21000000 knk2k1000000 例例 8矩阵的转置定义 把矩阵A的行列（按原顺序互换）互换所得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵，以AT表示。 即 A(aij)mn，AT(aji)nm 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa112111222212mmTnnmnaaaaaaAaaa1101,23A例若 TA则则 矩阵的转置满足下述运算规律矩阵的转置满足下述运算规律A

4、A1TT )(.TTTBABA2 )(.TTAA3 )(. 311201TAB4)(.TTAB (ABC)TCTBTAT对于多个矩阵相乘，有1221TTTTttA AAAAA证明：设 ,nsijsmijbBaA记.,mnijTTnmijdDABcCAB由矩阵的乘法定义，有,1skkijkjibac而BT的第i行为,1siibb AT的第j列为,1jsjaa因此skskkijkjkkiijbaabd11,所以,2, 1;,2, 1mjnicdjiij即D=CT，亦即BTAT=(AB)T.方阵的行列式运算满足下述规律方阵的行列式运算满足下述规律 : AA1T .AA2n .BAAB3 .定义定义

5、由由 n 阶矩阵阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）的元素（按原来的位置）.A记记作作称为方阵称为方阵 A 的行列式的行列式,为数）为数）阶矩阵，阶矩阵，是是其中其中 nBA,(构成的行列式，构成的行列式，方阵的行列式方阵的行列式TTAA .A ，设设 333231232221131211aaaaaaaaaA1.， 332313322212312111TaaaaaaaaaA332313322212312111TaaaaaaaaaA 333231232221131211aaaaaaaaaA 那么那么332313322212312111TaaaaaaaaaA 于是于是3332312322211312

6、113aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaaA 333231232221131211aaaaaaaaaA 2. 设设 A 为为 3 阶矩阵阶矩阵, 333231232221131211aaaaaaaaaA .A3 那么那么于是于是,为数为数 初等矩阵初等矩阵 & & 初等变换初等变换 Recall 练习 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk. 30. 2. 1三种初等变换三种初等变换1 设 a, 1 1a, 1 2a, 1 3a, 2

7、1a, 2 2a, 2 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3A=计算并总结规律。()100010001A()100010001AA100l10001A100001010AA100001010(3)(5)(4)(6)1000k0001100010001100l100011000010101000k0001100010001 a, 1 1a, 1 2a, 1 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3a, 2 1a, 2 2a, 2 3100001010AA a, 1 1a, 1 2a, 1 3a, 2 1a, 2 2a, 2 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3100l100011000k000

8、1AA a, 1 1a, 1 2a, 1 3k a, 2 1k a, 2 2k a, 2 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3 a, 1 1a, 1 2a, 1 3l a, 1 1a, 2 1l a, 1 2a, 2 2l a, 1 3a, 2 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3 a, 1 1a, 1 2a, 1 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3a, 2 1a, 2 2a, 2 3100001010AA100001010 a, 1 1a, 1 3a, 1 2a, 2 1a, 2 3a, 2 2a, 3 1a, 3 3a, 3 2 定义定义 由单位由单位 矩阵经过一次初等变换得矩阵经

9、过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵到的方阵称为初等矩阵. .E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.初等矩阵的概念初等矩阵的概念 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk. 30. 2. 1，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE对调两行或两列对调两行或两列、1行行第第 i行行第第 j第i列第j列 10111101),(jiE，得，得左乘左乘阶初等矩阵阶初等矩阵用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaa

10、aaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).( jirrjiAA行对调行对调行与第行与第的第的第：把：把施行第一种初等行变换施行第一种初等行变换相当于对矩阵相当于对矩阵，右乘矩阵右乘矩阵阶初等矩阵阶初等矩阵以以类似地，类似地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列对调列对调列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵i列列j列列 02乘某行或某列乘某行或某列、以数、以数 k).()(0 kiEkriki矩阵矩阵，得初

11、等，得初等行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数 1111)(kkiE行行第第 i第第i 列列；行行的第的第乘乘相当于以数相当于以数)(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第 i，左乘矩阵左乘矩阵以以AkiEm)( ).).( (列列的第的第A A乘乘数数A，其结果相当于以A，其结果相当于以右乘矩阵右乘矩阵E E以以k kc ci ik ki in n(i(k)(i(k)上去上去(列)(列)加到另一行加到另一行(列)(列)0乘某行0乘某行3、以数k3、以数k ) )，( (列列上上列列加加到到第第的的第第E E乘乘k k或或以以) )

12、( (行行上上行行加加到到第第的的第第E E乘乘k k以以i ij jj ji ik kc cc cj ji ik kr rr ri ij j 1111)(kkijE行行第第i行行第第j，左乘矩阵左乘矩阵以以AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(jikrrikjA 行上行上加到第加到第行乘行乘的第的第相当于把相当于把 ).()(ijnkccjkiAAkijE 列上列上加到第加到第列乘列乘的第的第把把，其结果相当于，其结果相当于右乘矩阵右乘矩阵类似地，以类似地，以 mnmjmjmimnjjinjjin

13、aakaaaaakaaaaakaaakijAE1222221111111)(Inverse Matrix .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa按照矩阵的乘法，线性方程组按照矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵的乘积可表示为矩阵的乘积 Ax = b 的形式，其中的形式，其中 mnmnmmnnbbbbxxxxaaaaaaaaaA2121212222111211,如果 m=n, 可考虑 x=b/A, 111 aaaa一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a有有aa11 a其中其中 为为 的倒数，的倒数，a

14、（或称（或称 的逆）；的逆）； 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，E单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1。 因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩阵的概念。阵的概念。二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果存在，如果存在 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵A是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵B称为称为A的一个的一个逆矩阵逆矩阵.B,EBAAB n使得使得nA例例 设设,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯

15、一唯一的的.AA事实上若设事实上若设 和和 是是 的逆矩阵，的逆矩阵，BCA则有则有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC .CCE 所以所以 的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。AA的逆记为的逆记为 ，即，即 AA-1=A-1A=E。1A例例 设设,0112 A.的逆阵的逆阵求求A解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵, dcbaBA则则 dcbaAB0112 1001 100122badbca 利用待定系数法利用待定系数法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因为又因为 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101

16、 AABAB矩阵可逆的充要条件与逆矩阵的求法矩阵可逆的充要条件与逆矩阵的求法1121n11222n21n2nnn.ijijAAAAAAAAAAAAa为行列式中元素的代数余子式A矩阵 的伴随矩阵112131122232132333AAAAAAAAA a, 1 1a, 1 2a, 1 3a, 2 1a, 2 2a, 2 3a, 3 1a, 3 2a, 3 3的伴随矩阵EAAA .EAAA 先就先就 3 阶矩阵给出证明阶矩阵给出证明.证证 设设 333231232221131211332313322212312111333231232221131211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaa

17、aaaAA于是有于是有13131212111111AaAaAab 23132212211112AaAaAab 33133212311113AaAaAab 13231222112121AaAaAab 23232222212122AaAaAab 0AaAaAab33233222312123 .,Ab0b0b333231 因此因此 A000A000AAA同理可证，同理可证，.EAAA A = 0= 0= 0A .EA EAAA .EAAA 证证 设设 A = ( a i j )nn , ),(ijbAA 记记 nn2n1nn22221n11211nnn2n12n22121n2111nn2n1nn22

18、221n11211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaa也就是也就是于是有于是有 jnin2j2i1j1iijAaAaAab因此因此EAAA 同理可证同理可证，.EAAA .时时当当时时当当ji0jiA定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A证明证明若若 可逆，可逆，A.EAAA 11使使即有即有, 11 EAA故故. 0 A所所以以.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA ,0时时当当 A,0时时当当 A nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211A

19、AaAaAann 1112121111AAaAaAannnnnnnn 2211, AAAAOOEAAAAA ,EAAAAAA .1AAA 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕.,0,0非非奇奇异异矩矩阵阵称称为为时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.为为非非奇奇异异矩矩阵阵是是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是由由此此可可得得AA, 1 EBA, 0 A故故,1存存在在因因而而 A于是于是EBB BAA1 ABA1 EA1 .1 A证毕证毕 .,1 ABEBAEAB则则或或若若推论推论证明证明 .,1111AAAA 且且亦

20、可逆亦可逆则则可逆可逆若若逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,3ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明证明 1ABB1 1 A .111 AA TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA .,0,10kkAAEAA 定义定义时时当当另外另外证明证明 为正整数为正整数k .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 .AA,A115 则有则有可逆可逆若若证明证明EAA 111 A

21、A.AA11 因此因此有有为整数时为整数时当当, 0 A, AAA . AA 例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 343122321A解解343122321 A, 0 .1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A三、逆矩阵的求法同理可得同理可得, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 332313322212312111AAAAAAAAAA1, 0! 5 A因因由由伴伴随随矩矩阵阵法法得得,1AAA 解解.1存在存在故故 A.

22、50000040000030000020000011 AA求求已已知知 例例2 2 432100000532100000542100000543100000543251!.51000004100000310000021000001 另一种常用的求矩阵逆的方法 伴随矩阵的方法理论上完善，但计算量大 下面用矩阵的初等（行）变换来求 先讲方法，后介绍其中的道理（也可课后思考）逆矩阵的求法 若矩阵A可逆，则矩阵A总可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵。 如果把同样的变换施加在单位矩阵上，得到的就是A的逆矩阵。 因此，我们通常把矩阵A与单位矩阵I并列，构成一个n2n矩阵，记作A E，再经过初等行变换化为

23、E A-1，这样就得到了A-1。 . ,343122321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r利用矩阵求解方程 .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa按照矩

24、阵的乘法，线性方程组按照矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵的乘积可表示为矩阵的乘积 Ax = b 的形式，其中的形式，其中 mnmnmmnnbbbbxxxxaaaaaaaaaA2121212222111211,如果 m=n, 可考虑 x=b/A 1111A AxA bExA bxA b例: 求解线性方程组1231231232322213430 xxxxxxxxx1231232 221 , = , 1.3430 xAXxBx设11 .AXA B先求得， 则 1 XA 210101反 思 理论分析 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行

25、变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵二、初等矩阵的应用 ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换. )()()(1kijEkijErkrkrrjiji 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换 定理定理2 2

26、设设A A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵.,2121llPPPAPPP 使使证证 , EA使使即存在有限个初等方阵即存在有限个初等方阵,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵存在存在的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论,AE 经经有有限限次次初初等等变变换换可可变变故故利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：，有，有时，由时，由当当lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPP

27、Pllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对 . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换例例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr .1 CAY即可得即可得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA , 1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如果要求如果要求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换),)( ,(),1TTTTCAECA （列变换列变换TT1C)( AYT即可