概率论与数理统计【第一到四章】公式

1、概率论公式！一、随机事件与概率德摩根公式AB=AB，AB=AB加法公式PAB=PA+PB-PAB 加法公式Pi=1nAi=r=1n-1r+1P任r事件交 减法公式PA-B=PA-PAB 条件概率PA|B=PABPB 乘法公式PAB= PA|B PB 全概率公式PA=i=1nPA|Bi PBi 全概率公式PA= PA|B PB+PA|B PB 贝叶斯公式PBi|A=PA|Bi PBij=1nPA|Bj PBj nn独立Pk=1nAk= k=1nPAk 相互独立从1n的所有nn独立都成立。二、随机变量及其分布分布函数Fx=PXx，记作XFx、FXx单调性Fx单调递增有界性0Fx1，F-=-1，F+

2、=1右连续性Fx+0=Fx 概率密度函数Fx=-xptdt，px=F'x数学期望EX=-+xpxdx，EfX=-+fxpxdx数学期望性质EaX+b=aEX+b 方差VarX=EX-EX2 标准差X=VarX，和数学期望用相同量纲方差性质VarX= EX2-E2X，VaraX+b=a2VarX切比雪夫不等式PX-EXVarX2，PX-EX1-VarX2常用分布分布分布列或密度期望方差二项分布 b(n,p)pk=Cnkpk1-pn-k np p1-p 泊松分布P()pk=kk!e- 超几何分布h(n,N,M)pk=CMkCN-Mn-kCNn nM/NnM(N-M)(N-n)/(N

3、8;(N-1)几何分布Ge(p)pk=1-pk-1p 1/p(1-p)/p²负二项分布(巴斯卡分布)Nb(r,p)pk=Ck-1r-1pr1-pk-r r/pr(1-r)/p²正态分布N(, ²)px=12e-x-222 ²均匀分布U(a,b）px=1b-a (a+b)/2(b-a)²/12指数分布Exp()px=e-x 1/1/²分布的其他特征数K阶原点矩k=EXk，1阶原点矩即期望K阶中心矩vk=EX-EXk，2阶中心矩即方差变异系数CvX=VarXEX=XEX，消除量纲对波动影响下侧p分位数满足Fxp=-xpptdt=p的xp上

4、侧p分位数满足1-Fxp=-xpptdt=p的xp中位数满足Fx0.5=-x0.5ptdt=0.5的x0.5偏度系数S=v3v23/2=EX-EX3Var3/2X 峰度系数k=v4v22-3=EX-EX4Var2X-3 三、多维随机变量及其分布联合分布函数：对任意的n个实数x1，xn，n个事件X1x1Xnxn同时发生的概率Fx1，xn=PX1x1，Xnxn。联合分布函数Fx，y性质：单调性：对x，y单调非减。有界性：0F1，F-，y=Fx，-=0，F，=1右连续性：对每个变量右连续。非负性：对任意a<b，c<d，有Pa<X1b，c<Xnd= Fb，d+Fa，c-Fa，d

5、-Fb，c0。二维离散随机变量：X,Y只取有限个或可列个数对。联合分布列：pij= PX=xi，Y=yj，i，j=1,2联合分布列性质：非负性、正则性。联合密度函数： px，y，使Fx，y=-x-ypu，vdudv，px，y=2Fxy。联合密度函数性质：非负性、正则性、PX,YG=px，ydxdy常用多维分布：分布记法公式适用范围多项分布Mn，p1，prPX1=x1，Xr=xr=n!i=1rni!i=1rpini，n=ni有放回取物多维超几何分布PX1=x1，Xr=xr=i=1rNiniNn，n=ni，N=Ni无放回取物多维均匀分布X1，XnUDpx1，xn=1SD，x1，xnD0，其他只与度

6、量有关的随机投点二维正态分布X,YN1,2,12,22,px,y=e-121-2x-1212-2x-1y-212+y-22222121-2边际分布：X的边际分布：FXx=Fx，=limyFx，y=PXx。Y的边际分布：FYy=F，y=limxFx，y=PYy。二维指数分布：Fx，y=1-e-x-e-y+e-x-y-xy，x>0，y>00，其他，>0是参数其边际分布是一维指数分布。边际分布列：二维离散随机变量对单个变量求和：j=1PX=xi，Y=yj=PX=xi ，i=1PX=xi，Y=yj=PY=yj 边际密度函数：FXx=Fx，=-x-pu，vdvdu=-xpXudu，pX

7、x=-px，ydy为X的边际密度函数。FYx=F，y=-y-pu，vdudv=-xpYvdv，pYy=-px，ydx为Y的边际密度函数。一维边际分布：多维分布其一维边际分布备注多项分布二项分布二维正态分布一维正态分布边际分布和无关随机变量间的独立性：相互独立：多维随机变量的分布函数为Fx1，xn，边际分布为Fixi，对任意n个实数x1，xn：Fx1，xn=i=1nFixi称X1，Xn相互独立。可分离：px，y=pXxpYy，x，yDx×DY=x，y|xDx，yDY。相互独立非零区域可分解为两个一维区间乘积。多维离散随机变量函数：X1，Xn为n维离散随机变量，则Y=gx1，xn为一维离

8、散随机变量。可加性：同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布。泊松分布的可加性：XP1，YP2，则Z=X+YP1+2.二项分布的可加性：Xbn，p，Ybm，p，则Z=X+YPm+n，p。连续场合的卷积公式：X和Y独立，密度函数分别为pXx和pYy，则Z=X+Y的密度函数为：pZz=-pXz-ypYydy=-pXxpYz-ydx正态分布的可加性：XN1,12，YN2,22，则Z=X+Y N1+2,12+22。变量变换法：即数分中求二重积分的变量变换法：X,Y的联合密度函数是px，y，若u=g1x，yv=g2x，y有连续偏导数，且存在唯一反函数x=xu，vy=yu，v，其雅可比行列式Ju，v

9、=x，yu，v0，二维随机变量U=g1X，YV=g2X，Y，则X,Y的联合密度函数是：pu，v=pxu，v，yu，vJ增补变量法：若U=g1X，Y，则可令V=X或Y。多维随机变量特征数：数学期望：Z=gX，Y的数学期望为EZ=ijgxi，yiPX=xi，Y=yj，在离散场合-gx，ypx，ydxdy，在连续场合当gX，Y=X，得X的期望EX=-xpXxdx。当gX，Y=X-EX2，的X的方差VarX=-x-EX2pXxdx。期望和方差的性质：和的期望得期望的和：EX+Y=EX+EY积的期望得期望的积：X和Y独立，则EXY=EXEY和差的方差得方差的和差：X和Y独立，VarX±Y=Va

10、rX±VarY协方差（相关（中心）矩）：CovX,Y=EX-EXY-EY，特别的，CovX,X=VarXCovX,Y>0：正相关；CovX,Y<0：负相关。CovX,Y=0：不相关：X，Y取值毫无关联存在某种非线性关系。性质：若X和Y独立，则不相关，反之不然。和差的方差：VarX±Y=VarX±VarY-CovX,Y交换律：CovX,Y=CovY,X若X或Y为常数a，则CovX,a=0倍数的协方差：CovaX,bY=abCovX,Y分配率：CovX+Y，Z=CovX,Z+CovX,Z相关系数：CorrX,Y=CovX,YVarXVarY，消除量纲，或解

11、释为“相应标准化变量的协方差”。二维正态分布的相关系数是。施瓦茨不等式：CovX,Y2VarXVarY相关系数性质：有界：CovX,Y1线性相关的充要条件：CovX,Y=±1，即X和Y存在线性相关关系，即存在a0和b，PY=aX+b=1其他：在二维正态分布中，不相关和独立等价。条件分布：离散场合的条件分布：联合分布列为pij= PX=xi，Y=yj，则称pi|j= PX=xi|Y=yj= PX=xi，Y=yj PY=yj=pijp·j为给定Y=yj条件下X的条件分布列。离散场合的条件分布函数：给定Y=yj条件下X的条件分布函数：Fx|yj=xixPX=xi|Y=yj=xix

12、pi|j连续场合的条件分布：联合密度函数为px，y，边际密度函数为pXx和pYy，则称Fx|y=PXx|Y=y=-xpu，ypYydupx|y=px，ypYy为给定Y=y条件下X的条件分布函数和条件密度函数。注：二维正态分布的边际分布和条件分布都是一维正态分布。连续场合的全概率公式和贝叶斯公式：乘法公式：px，y= px|ypYy=py|xpXx。全概率公式：pYy=-py|xpXxdx，pXx=-px|ypYydy贝叶斯公式：px|y=py|xpXx-py|xpXxdx，py|x=px|ypYy-px|ypYydy条件数学期望：EX|Y=y=ixiPX=xi|Y=yj，离散场合-xpx|yd

13、x，连续场合重期望公式：EX=EEX|Y离散场合：EX=jEX|Y=yiPY=yi连续场合：EX=-EX|Y=ypYydy三、大数定律和中心极限定理依概率收敛：设Xn为一随机变量序列，X为一随机变量，若对任意>0有：PXn-X0n0则称Xn依概率收敛于X，记作Xn P X。若X为常数，则四则运算成立。依分布收敛：设随机变量Xn的分布函数为Fnx，若对Fx的任一连续点x，有：limnFnx=Fx则称Fnx弱收敛于Fx，记作Fnx W Fx，或Xn按分布收敛于X，记作Xn L X。一般情况下：Xn P XXn L X若c为常数：Xn P cXn L c复随机变量：Z=Zw=Xw+iYw，其中Xw和Yw是实随机变量。Zw=Xw-iYw称为 Zw的共轭随机变量，其余同复数类似，其余同随机变量类似。特征函数：t=EeitX称为X的特征函数，其总是存在。常用分布特征函数分布公式特征函数单点分布PX=a=1t=eita0-1分布PX=x=px1-p1-x，x=0,1t=peit+1-p泊松分布PPX=k=kk!e-，k=0,1,t=k=0eitXkk!e-=eeit-1均匀分布U