椭圆综合问题

1、新县高中高二年级数学学科导学案（19） 编、审：陶磊 使用：9、10班 学生姓名： 班级： 椭圆综合问题（一）1、已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆C上，且(0)，定点A(4，0)(1) 求证：当1时，；(2) 若当1时，有·，求椭圆C的方程(1) 证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(c，0)，则(cx1，y1)，(x2c，y2)当1时， y1y2，x1x22c. M、N两点在椭圆C上， xa2，xa2， xx.若x1x2，则x1x202c(舍去)， x1x2， (0，2y2)，(c4，0)， ·0， .(2) 解：当1时，由

2、(1)知x1x2c， M，N， ， ·(c4)2.(*) ， a2c2，b2，代入(*)式得c28c16， c2或c(舍去) a26，b22， 椭圆C的方程为1.2、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上(1) 解：由题意知b.因为离心率e，所以.所以a2.所以椭圆C的方程为1.(2) 证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，

3、则直线PM的方程为yx1，直线QN的方程为yx2.(证法1)联立解得x，y，即T.由1可得x84y.因为1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上(证法2)设T(x，y)联立解得x0，y0.因为1，所以1.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上3、在平面直角坐标系内，动圆C过定点F(1,0)，且与定直线x1相切(1)求动圆圆心C的轨迹C2的方程；(2)中心在O的椭圆C1的一个焦点为F，直线l过点M(4,0)若坐标原点O关于直线l的对称点P在曲线C2上，且直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长取得最小值时的椭圆方程解析：

4、(1)因为圆心C到定点F(1,0)的距离与到定直线x1的距离相等，所以由抛物线定义知，C的轨迹C2是以F(1,0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，所以动圆圆心C的轨迹C2的方程为y24x.(2)设P(m，n)，直线l方程为yk(x4)，则OP中点为，O、P两点关于直线yk(x4)对称，即解得将其代入抛物线方程，得：24×，解得k21.设椭圆C1的方程为1，联立消去y得：(a2b2)x28a2x16a2a2b20由(8a2)24(a2b2)(16a2a2b2)0，得a2b216，注意到b2a21，即2a217，可得a，即2a，因此，椭圆C1长轴长的最小值为，此时椭圆的方程为1.4、设A

5、、B分别为椭圆1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x4是它的右准线(1) 求椭圆的方程；(2) 设P为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线BP与椭圆相交于两点B、N，求证：NAP为锐角(1) 解：依题意，得解得从而b，故椭圆的方程为1 .(2) 证明：由(1)得A(2，0)，B(2，0)，设N(x0，y0)， N点在椭圆上， y(4x)又N点异于顶点A、B， 2<x0<2，y00.由P、B、N三点共线可得P，从而(x02，y0)，则·6x012 6x012(2x0)(x02) x02>0，y00， ·>

6、0，于是NAP为锐角5、已知曲线C：(5m)x2(m2)y28(mR)(1) 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2) 设m4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线ykx4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y1与直线BM交于点G.，求证：A，G，N三点共线解：(1) 曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当(3分)解得m5，所以m的取值范围是.(4分)(2) 当m4时，曲线C的方程为x22y28，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，2)(5分)由得(12k2)x216kx240.(6分)因为直线与曲线C交于不同的两点，所以(16k)24(12k2)×240

7、，即k2.(7分)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1kx14，y2kx24，x1x2，x1x2.(8分)直线BM的方程为y2x，点G的坐标为.(9分)因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN，kAG，(11分)所以kANkAGkk0.即kANkAG.(13分)故A，G，N三点共线(14分)错因分析： 易忽视焦点在x轴上，漏掉这一条件，从而失误联立消元后易忽视0这一前提条件新县高中高二年级数学学科导学案（20） 编、审：陶磊 使用：9、10班 学生姓名： 班级： 椭圆综合问题（二）1、已知椭圆C：1(a>b>0)经过点M(2，1)，离心率为.过点M作倾斜角互

8、补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.(1) 求椭圆C的方程；(2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论解：(1) 由题设，得1，且，由、解得a26，b23，故椭圆C的方程为1.(2) 设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为k，假设PMQ为直角，则k·(k)1，即k±1.若k1，则直线MQ的方程为y1(x2)，与椭圆C方程联立，得x24x40，该方程有两个相等的实数根2，不合题意；同理，若k1也不合题意故PMQ不可能为直角记P(x1，y1)、Q(x2，y2)设直线MP的方程为y1k(x2)，与椭圆C的方程联立，得(12k2)x2(8k24k)x8k

9、28k40，则2，x1是该方程的两根，则2x1，即x1.设直线MQ的方程为y1k(x2)，同理得x2.因y11k(x12)，y21k(x22)，故kPQ1，因此直线PQ的斜率为定值2、如图，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点A(0，1)(1) 求椭圆的方程；(2) 过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N，求证：直线MN恒过定点P.(1) 解：由题意知：e，b1，a2c21，解得a2，所以椭圆的标准方程为y21.(2) 证明：设直线AM的方程为ykx1(k0)，由方程组得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xM，yM.用代替上面的k，可得xN，yN.因为kMP，kNP，所

10、以kMPkNP，因为MP、NP共点于P，所以M、N、P三点共线，故直线MN恒过定点P.3、如图，正方形ABCD内接于椭圆1(ab0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上，顶点P、Q在正方形的边AB上，且A、M都在第一象限(1) 若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E、F两点，正方形MNPQ的边长为2. 求证：直线AM与ABE的外接圆相切； 求椭圆的标准方程；(2) 设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e2k是定值(1) 证明： 依题意：A(2，2)，M(4，1)，E(0，2)， (2，1)，(2，4)， ·0， AMAE. AE为RtABE外

11、接圆直径， 直线AM与ABE的外接圆相切 解：由解得椭圆标准方程为1.(2) 证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A(s，s)，M(s2t，t)，代入椭圆方程1，得即 e21. k， 2e2k2为定值4、如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程解(1) 如图，设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因AB1B2是直角三角形，又|

12、AB1|AB2|，故B1AB2为直角，因此|OA|OB2|，得b.结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2·|B1B2|·|OA|OB2|·|OA|·bb2.由题设条件SAB1B24得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为：1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1&

13、#183;y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以·(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得·0，即16m2640，解得m±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.5、(2014·兰州模拟)已知椭圆方程为x21，斜率为k(k0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m)(1)求m的取值范围；(2)求MPQ面积的最大值解：(1)设直线l的方程为ykx1，由可得(k22)x22kx10.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.可得y1y2k(x1x