阿基米德折弦定理

1、-作者xxxx-日期xxxx阿基米德折弦定理【精品文档】射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 在RtABC中，ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下BD²=AD·CDAB²=AC·ADBC²=CD·AC 在圆内接四边形ABCD中，ACBD,自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边 由PDC+ACD=90°,PDC+HPD=90°推出ACD=HPD推出ABD=MPB推出BM=PM 由ABD+B

2、AC=90°及推出BAC+MPB=90° 由MPA+MPB=90°及推出BAC=MPA推出AM=PM 联即得AM=BM推广过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线，必过以其对边为一边，以交点为顶点的三角形的外心。“过圆O上弧AB的中点，作弦AB的垂线，则垂足必将弦AB平分。”【精品文档】方法1：补短法如图，延长DB至F，使BF=BA M是弧ABC的中点MCA=MAC=MBCMBAC四点共圆MCA+MBA=180°MBC+MBF=180°MBA=MBFMB=MB,BF=BAMBFMBAF=MAB=MCBMF=MCMDCFCD=DF=DB+BF=A

3、B+BD阿基米德折弦定理方法2：截长法如图，在CD上截取DG=DBMDBGMB=MG，MGB=MBC=MACM是弧ABC的中点MAC=MCA=MGB即MGB=MCB+BCA=MCB+BMA又MGB=MCB+GMCBMA=GMCMA=MCMBAMGCAB=GCCD=CG+GD=AB+BD阿基米德折弦定理方法3：垂线法如图，作MH射线AB，垂足为H。M是弧ABC的中点MA=MCMDBCMDC=90°=HMAB=MCBMHAMDCAH=CD，MH=MD又MB=MBRtMHBRtMDBHB=BDCD=AH=AB+BH=AB+BD推论1：设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、

4、MC、BC，那么MC²-MB²=BC*AB证明：如图，作MDBC，由勾股定理得MC²=CD²+MD²MB²=BD²+MD²MC²-MB²=CD²-BD²=（CD+BD）（CD-BD）=BC*AB推论2：设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外。连接AB、AC、MB、MC，那么MB²-MC²=AB*BC证明：如图，取弧ABC的中点N，连接MN由推论1可知AB*BC=NC²-NB²M是弧AC的中点，易得弧CN=弧ABC/2，弧CM=弧A

5、C/2且弧ABC+弧AMC=圆周360°弧CN+弧CM=弧MN=180°MN是直径C、B在圆上MCN=MBN=90°勾股定理得NC²+MC²=NB²+MB²=MN²NC²-NB²=MB²-MC²=AB*BC设D是ABC边BC上一点，且AB+BD=CD。作ABC的外接圆，有如下逆定理：取弧ABC的中点M，连接MD，则MDBC。证明：不妨作MDBC于D，根据定理有AB+BD=CDAB+BD=CDCD'-BD'=CD-BD=ABD与D'重合MDBC作DMBC交弧A