抽象函数题的几种解题策略

1、抽象函数题的几种解题策略徐雅晶策略之一：定义法凡涉及函数的定义、函数的奇偶性、单调性等有关概念的抽象函数问题，其求解的一般思路是：紧扣有关概念，充分利用定义来解决问题。 例1： 已知f(x)的定义域为(0，)，且满足f(2)1，f(xy)f(x)f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；(2)若有f(x)f(x2)3成立，求x的取值范围 变式：设f(x)对任意x,y，都有，且时，f(x)<0，f(1)=2（1）求证：f(x)是奇函数；（2）试问在时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.策略之二：特

2、殊化思想根据抽象函数f(x)的性质和特征，从满足题设条件的特殊函数（或特殊值）入手分析、研究，寻求问题的解题思路或结论。例2、定义在区间（-，+）的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间（0，+）的图象与f(x)的图象重合。设a>b>0，给出下列不等式：f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是（ ）A、与B、与C、与D、与策略之三：整体思想运用整体思想进行求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使问题获解。例3、已

3、知f(x)、g(x)为奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+3（a,b为常数），若F(4)=-4，则F(-4)= 。策略之四：巧用性质合理利用抽象函数的性质及性质间的内在联系，经过推理或计算来解决问题。例4、如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间-7，-3上是（ ）A、增函数且最小值为-5B、增函数且最大值为-5C、减函数且最小值为-5D、减函数且最大值为-5策略之五：数形结合充分挖掘抽象函数的图象信息，运用数形结合思想方法来解决问题。例5、函数f(x)在（0，2）上是减函数，且关于x的函数y=f(x+2)是偶函数，那么（ ）A、B、C、D、课后作业：1(

4、20142015）若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是ABCD2（20122013）已知定义域为R的函数满足，且.若，则等于ABC3D93（20112012）如果f(ab)f(a)·f(b)，且f(1)2，则 .4（20102011）函数在定义域上的值域为，则函数在定义域上的值域为ABCD5（20102011）设是定义在上的偶函数，它在上为增函数，且，则不等式的解集为ABCD6（20092010）函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论中正确的是ABCD7（20082009）偶函数在区间上是单调函数，且f(0)·f(a)0，则方程在区间 内根的

5、个数是A3B2C1D08.（20142015）设是定义在上的奇函数，且对任意的，当时，都有0（1）判断函数的单调性，并说明理由；（2）解不等式；（3）如果和这两个函数的定义域的交集是空集，求的取值范围9函数对于任意的实数都有成立，且当时恒成立.（1）证明函数的奇偶性；（2）若，求函数在上的最大值；（3）解关于的不等式10.设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x-y)=f(x)-f(y),且f(2)=1,当x>0时，f(x)>0,(1)求f(0)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性；（3）如果f(x)+f(x+2)<2,求x取值范围。抽象函数题的几种解题策略答案例1：解

6、：（1）证明： 令，得，即；令，得；令，得（2）不等式化为f（x）>f（x2）+3f（8）=3,f（x）>f（x2）+f（8）=f（8x16）f（x）是（0，+）上的增函数 解得.变式：解：证明：令x=y=0，则有 令y=x，则有 即，是奇函数 任取，则 且 在R上为减函数 因此为函数的最小值，为函数的最大值 ， 函数最大值为6，最小值为例2、解：取满足条件的特殊函数f(x)=x，g(x)=|x|，取特殊值a=2，b=1，则f(b)-f(-a)=3>g(a)-g(-b)=1，则正确 f(a)-f(-b)=3>g(b)-g(-a)=-1，则正确综上知与正确，故选C例3、解

7、：设(x)=af(x)+bg(x)，则(x)=F(x)-3由题设可知，(x)为奇函数，故有(-4)=-(4)，即F(-4)-3=-F(4)-3，所以F(-4)=10例4、解：奇函数的图象关于原点对称，又奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为f(3)=5，f(x)在区间-7，-3上是增函数且最大值为f(-3)=-f(3)=-5，故选B。例5、解：由y=f(x+2)是偶函数知，f(-x+2)=f(x+2)，所以y=f(x)的图象关于直线x=2对称，结合图象及y=f(x)在（0，2）上是减函数，知y=f(x)在（2，4）上为增函数，所以故选D1 D 2D 3. 2012 4D 5C 6D 7B8解：设1，由奇函数的定义和题设条件，得0，在上是增函数 .4分（2）是上的增函数，不等式等价于 .9分原不等式的解集是 .10分（3）设函数的定义域分别是和，则， 12分于是当且仅当或解得的取值范围是， .14分9【解析】试题解析：（1）令得，再令，即得，所以是奇函数 设任意的，且，则，由已知得（1）又（2）由（1）（2）可知，由函数的单调性定义知在上是减函数 时，当时的最大值为. 由已知得：，所以，所以，所以，当时恒成立，所以恒大