正余弦定理专题训练

1、正余弦定理专题训练正余弦定理选择1. aabc中，角a,民c所对的边分别为a,b,c,若。=应寸=3, a = 60。，则边c= 2-在次中c =手，5, b = 45。，则伽的外接圆面积为3.在必中，j=60° , a=713,则a + b + c等于 sin a + sinb + sincc g4. 在敬?中，cos 2= 5，bc=, ac=5f 则如=15. 在敬7中，bc=2, 0=4, cos 牛一云，则，。的值为（） 边角互换1. 在敬?中，若a=2bsina,则角£等于2. 已知aabc的三个内角a,z?,c所对边长分别是ahc,若业吐山=垂任£,

2、则角b的大sinc a + b小为3. 在 aabc中，sin? a-sin2 c + sin2 b = sin a-sinb,贝！j角 c 的大小为4. 在abc中，内角a、b、c的对边长分别为。、b、c,已知a2-c2=2bf且sin acosc = 3cos asinc,则/? =ci _l_ c5. 在aabc中，a,b,c分别是角a, b.c的对边，若asin人- jzcosb = 0,且。则一-的b值为_j6. 巳知aabc的三个内角a,瓦c所对边长分别是a,b,c,若业吐山=垂任£,则角b的大sinc a + b小为三角形面积jr1.在abc中，内角afi,c对应的边分

3、别为me,己知。=2, c = 2y/2，且c=-，则abc 的面积为2.在aabc中，角a, b，c的对边分别为b , c,若人=扼，c=4,且acosb = 3bcosa, 则aabc的面积为,1.i3.在abc中，内角a, b, c的对边分别是a, b, c,若cos b=-,迎一=2,且saabc=,4 sin a4则b的值为4.在abc中，|应| = 2,|花| = 3, ab ac<0 且abc的面积为；，则zbac= 三角形形状判断1.在即（2中，己知a1 tanb = /?2 tan/a,则该a4bc的形状为 2.在aa8c中，角瓦b,。的对边分别为务b, c,满足8 =

4、 60。且三边a, b, c成等比数列，则这个三角形的形状是3.己知a/wc三内角a、b、 c的对边分别是。、b、c ,若（7 = z?cosc4-csinb ,且sin2 /l = sin2 b + sin2 c-v2 sin bsin c > 则abc 的形状为4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 5.对于abc,有如下命题:若sin2a = sin2b,则abc一定为等腰三角形.若sina = sinb,则abc一定为等腰三角形.若sin2/4 + sin2b + cos2c<l，则 abc一定为钝角三角形.则其中正确命题的序号是 .（把所有正

5、确的命题序号都填上）三角形个数1. 己知abc中，人= 45°，。= 1，若abc仅有一解，则de2. 在三角形abc中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是a. 8 = 10,人=45。，6 = 70。b. 。= 60, c = 48, 3 = 60。c. 。= 7, b = 5, a = 80°d. 。= 14, b = 16, a = 45°3. 在a48c中，角人b,。的对边分别为务b, c,则满足。=10,人=18, a = 30。的三角形解的个数是4. 若满足条件。=60。/6 =右,&?="的三角形abc有两个，那么a的取值范围是

6、 取值范围1. 在aabc中，角所对的边分别为gc, zabc = no°, zabc的平分线交ac于点d,且bd = l,则物+ c的最小值为 2. 2. aabc中，内角a , b, c所对的边分别为。,b , c.已知。= /?cosc+csinb ,且/?=扼,则aabc面积的最大值是3.在锐角abc中，a, b, c分别为三边。，b,。所对的角，若cosb + jsinb = 2,-国口工 ncosb cosc 2 sin asin b nd日且满足关系式+=八，则q + c的取值范围是b c 3sin c4.设。，b,。分别为aabc内角a, b, c的对边.已知2a 邓

7、b则 db w 的cos b cos cac取值范围为5.在锐角三角形abc中，己知2sin2a+sin2b = 2sin2c,则+的最小值为tan a tan b tan c解析几何中运用 1-如图即c'在'已知点。在边心，皿化，血4化=半伯=3吃"=3,则的长为2. aa8c的两边长分别为1, 0,第三边上的中线长为1,则其外接圆的直径为>>> >3. 在mbc中，abbc =时.c4 - c4.旭,贝jjsina:sin8:sinc=543厂瓯4 .如图，在做中，点在4c上，aba.bd,此3寸3, bd=5, sinzabc= 5 ，则

8、6p的长为 。5. 在宓中，匕依=90。, ab=4, bc=3,点力在线段血1上.若zbdc=45° ,则刃=,cos z.abd=.综合运用1. 在abc中，角 a,b,c所对的边分别为。,b,c, m = (y/3b-c9cosc), n = («,cos a), m/n,则cos a的值为2. 在aabc中，ac = 3,向量人w在ac上的投影的数量为一2,smbc = 3 ,则bc = _o_3. 设 a, b, c 分别是nabc的内角 a, b, c 的对边，己知(/? +(?)sin(a + c)= (z + c)(sina-sinc),设d是bc边的中点，

9、且abc的面积为jl则abda-db)等于4.要测量电视塔e的高度，在c点测得塔顶的仰角是45° ,在点测得塔顶的仰角是30° ,并测得水平面上的zbcd=120° , 6»=40m,则电视塔的高度是225.设%分别是双曲线 = 1即0）的左、右焦点.若双曲线上存在一点p,使得|捋|=4|p%|,且zfpf2=60q,则该双曲线的离心率是正余弦定理选择1. aa3c中，角arc所对的边分别为a,b,c.若。=而，人=3, a = 60。，则边。= 【答案】4【解析】= ? + z?2 - 2cz?cos a => 13 = c2 + 9 - 2cx

10、 3x cos 60°，即 c2-3c-4 = 0,解得 c=4 或c = -l （舍去）.2-在e，。线，a = 75。, 8 = 45。，贝5的外接圆面积为兀【答案】-4【解析】因为在abc中，人=75。，8 = 45。，所以c = 60。,v3xc = ,设三角形外接圆半径为,，则2 = =玉=1,因此 abc的外接圆面积为 2sin c j3tc 21s-7ir =7t.43.在做'中，j=60° , a= 而，则a + b + c等于sin a + sin 8 +sin c【答案】罕 【解析】由正弦定理土=专=哮sina sinb sinc sina 32

11、./迺 sina,比迺 sinb,c=h sinc 则一凹±£二零(血4 + mb + s*)sina + sinb + sinc sina + sinb + sinc2x/3934.在敬7中,cosc盅2= 5，bc=, ac=5,【答案】42c【解析】因为cos c=2cos221=2x31 = 5> 所以 c2=a2+l)2abcos 牛 1+252x1x55j=32, a c=ab=4y2o15. 在宓中，bc=2,泅 =4, cos c=- 则？!。的值为（）【答案】31【解析】做中，a=bc=2, c=ab=4, cos c=- ：.c=a+l)-2abc

12、os c,艮p 16=4+z?2-4/?化简得度+力一12=0,解得8=3或/?=4（不合题意，舍i）, :.b=ac=3.边角互换1.在中，若a=2bsina,则角月等于【答案】30°或150°【解析】由正弦定理有，因为q = 2/?sin a=>sina = 2sin3sin/l.因为sinay：o，故2sinb = l.即sinb=!，又8c(o,"),故b等于30。或 150° .2. 已知abc的三个内角a,b,c所对边长分别是a,b,c,若业二迥=姬尝，则角g的大sinc a + b小为0_5/r【答案】萼6【解析】由正弦定理得玄二&#

13、163; =虫土，化简得疽+凌_ =_j = cosb,故b = g.ca + b2ac 263. 在zxabc中，sin2 a-sin2 c + sin2 b = sina sinb,则角 c 的大小为。【答案】60°【解析】根据正弦定理得到：a2-c2+b2=ab,根据余弦定理得到a2-c2+b2=2abcosc.故 c osc = -,c = 60°.24. 在中，内角a、b、c的对边长分别为。、b、c,已知a2-c2 =2b.且sin acosc = 3cos asin c,则 b =.【答案】4【解析】v sin a cos c = 3 cos a sin c.根

14、据正弦定理与余弦定理可得：clx =3/ c 、xc,艮i2c2=2a2-h22ab2bca2-c2= 2b :. h2 = 4h v bo ；b = 4故答案为 45. 在 aa8c 中，a,b,c 分别是角 a, b.c 的对边，若 bsin a- 3a cos b = 0,且/?2=次，则“：。的h值为o【答案】2 【解析】在aabc中，因为。sin a -右"cos 5 = 0,且 =etc，由正弦定理得sin 5sin a-v3sin acosb = 0 ,因为 ac (0,m),则 sin a > 0,所以sinb-jcosb = 0，即tanb = j,解得b =

15、 %由余弦定理得屏=。 + c? 2ac cos b = cr + c2 cic (。+ c)2 3ctc = (。+ c)2 3b,即4屏=(o + c)2,解得 = 2. b6. 已知aabc的三个内角a,b,c所对边长分别是a,b,c,若重二迥=匝任； 则角b的大 sinc小为 【答案】涔6【解析】由正弦定理得幺二£ = 匝丈£,化简得屏+疽屏=cosb,故b = . ablac 26三角形面积1. 在中，内角ab,c对应的边分别为a,b,c,已知。=2, c = 2皿，且普，则左abc 的面积为【答案】73 + 1【解析】因为。=2, c = 2& c= 所

16、以由正弦定理得二%.八4sin a sin c 所以面积 s = tzcsin b =上x 2x 2扼x " + " = 3 +12 _ 2v2bp sin a ."， sin 4得sna = 一因为ae 0,2tt'所以a 所以眼1。正2242.在aa8c中，角a，b, c的对边分别为。，h , c ,若力=皿 c = 4,且qcosb = 3z?cosa, 则即c的面积为.【答案】2【解析】由余弦定理得注+cf =3/*# ,即w+i6_2 = 3（2 + 16-。2）,解得 2ac2bca v10，.海人=胪+0=2 +籍-10=虫,.sina =

17、ji_cos以 ”2bc 2v2x42故 smbc=bcsina = x22 .故答案为"3.在aabc中，内角a, b, c的对边分别是a, b, c,若cos1b=4sin csin a=2,且 sabc4则b的值为【答案】3h cqin c'c【解析】根据正弦定理一土 =一壬可得 = £ = 2, .c = 2cz. sin a sin csin aa在 mbc 中，cos b =，. sin b = videos2 b = .11164$哑=如灵=乎疽=孥.*2=1,* =或=2.方 3* _2mcosb = l + 4-2xlx2x： = 4,展=2.4.

18、在c中,|xb| = 2, |ac| = 3, ab ac<0> 且 abc的面积为i，则zbac=【答案】150°1 i311【解析】s= |n刖人c|sinzr4c = x2x3xsinzr4c = ,= - , v afi.ac<0,2 22. abac > 90°,. abac = 150。.三角形形状判断1.在aa5c中，己知a2 tanb = b2 tan/i,则该aabc的形状为【答案】等腰或直角三角形, sil. 7sin2 a-sin b sin2 b-sin a【解析】cr tan b = b2 tan a化为=cos b cos

19、 a/ a, be （0,兀）,:.sin a > 0, sin 8 > 0 , sin a- cos a = sin 8 cos b, sin 2a = sin 2b,. a, b 至少有一个是锐角，sin 2a = sin 2b > 0,2a, 2b g （0/）,2a = 2b或2a+23 =a = b或a + b =,所以aa8c是等腰三角形或直角三角形.22.在aabc中，角4, b, c的对边分别为a, b, c,满足8 = 60。且三边为 b, c成等比数列，则这 个三角形的形状是【答案】等边三角形【解析】三边务b, c成等比数列，即b2=ac，根据余弦定理z?

20、2 =a2 +c2 - 2accosb = a2 +c2 -ac = ac ,即（。一c） =0 ,。= c.故为等边三角形.3 .已知aa5c三内角a、b c的对边分别是。、b、c ,若q = /?cosc+csinz?,且 sin2 a = sin2 b + sin2 c-v2sinbsinc，则 aabc的形状为s_【答案】等腰直角三角形 解析】由正弦定理得 sin a = sin 8 cos c+sin bsin c,即 sin ( 5 + c) = sin b cos c+sinb sin c, 所以 cos bsin c = sin bsin c, 4 = ?.又疽=屏 + c2

21、- 2bc-,由余弦定理得cosa =,所以422tttvcosb = sinb,b = -，所以c = ti-a-b = -9所以a48c为等腰直角三角形.424.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为【答案】锐角三角形【解析】不妨设aa8c为直角三角形，c = 90,，则w+屏=凌，设三边增加的长度为m（m>。）,则新三角形m!b'c的三边长度分别为a + m,b + m, c + m,贝ij(“ + m)2+(' +弑一(c +时 22(q + 7)(z? + z)(z + m)*" +(z? + m)2 -(c + m)2 =

22、2(z + z?-c)m + m2 >0,所以 cos cf >0 9 因此新三角形为锐角三 角形.5.对于abc,有如下命题:若sin2a = sin2b,则mbc一定为等腰三角形. 若sina = sinb,则abc一定为等腰三角形.若sin2a + sin2b + cos2c< 1，则abc一定为钝角三角形.（4）若tana + taab+tanc > 0,贝!| aabc 一定为锐角三角形则其中正确命题的序号是 .（把所有正确的命题序号都填上）【答案】（2）,（3）,（4）【解析】（1）2a = 28或2a + 2b = ，.abc为等腰或直角三角形（2）正确；

23、由 sin2 a + sin2b + cos2c v 1 可得 sin2 a + sin2b < sin2c 由正弦定理可得 cf +/?2 < c2 再由余弦定理可得cosc<09。为钝角，命题（3）正确（4）taiia + tanb = tan（a + b）（l - tanatanb = -tanc （1 - tanatanb）/. tana+tanb+tanc = tanatanbtanc >0 /. abc 全为锐角，命题（4）正确故其中正确命题的序号是（2）,（3）,（4）三角形个数1. 己知abc中，a = 45。，。= 1,若ziabc仅有一解，贝!。【答

24、案】扼【解析】由题中已知a8c中，a = 45°，。= 1，则角a所对的高线长可表示为尽45。=鸟,2因为三角形形状唯一，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，则。=豆力或。z/7>0,所以2h = v2tz=>/2 或ov/?<12. 在三角形abc中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是a. z? = 10, a = 45°, b = 70°b. 。= 60, c = 48, 3 = 60。c. 。= 7, 5 = 5, a=80。d. 。= 14,/? = 16, a = 45。【答案】d【解析】a已知两角一边，三角形确定的，只有一解，b已

25、知两边及夹角用余弦定理，只有一解，c 中己知两边及一边对角，但己知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解，d中, bsin a = 16sin 45° = 8a/2 <a<b> 有两解.故选：d.3. 在aabc中，角瓦b,。的对边分别为a, b, c,则满足。=10,人=18, a = 30°的三角形解的个数是【答案】2d b99【解析】根据正弦定理得到：繇=诙故她节»sinb = ->sin.故满足条件的三角形共有2个.故答案为：2.4.若满足条件c = 60°,ab = h,bc = a的三角形abc有两个，那

26、么a的取值范围是 【答案】（右,2）【解析】根据正弦定理可知答=籍，代入可求得sina = f因为c = 60。，所以 sin c sin a2ac（60”, 120。）若满足有两个三角形abc则头*所以*（屁 取值范1. 在mibc中，角人民c所对的边分别为a,b,c, zabc = 120°, zabc的平分线交ac于点d,且位）=1,则4a + c的最小值为【答案】9【解析】由题意可知，sc = smn + sg,由角平分线性质和三角形面积公式得acsin 120° = tzxlxsin60° + cxlxsin60°,化简得ac = a + c,

27、 + = 1,因此222a c4i + c = （4。+ c）（i） = 51z 5 + 2 j = 9,a c a c x a c2. aa5c中，内角a, b, c所对的边分别为。，b , c.已知a = bcosc+csmb ,且。= j,则mbc面积的最大值是【答案】v2 + 1【解析】由a = bcosccsinb及正弦定理得,sina = sinbcosc+sincsinb,即 sin (8 + c) = sinbcosc+sincsinb,又 sin (b+c) = sinbcosc+cosbsinc,于是可得 sinb = cosb,即 tanb = 1, 3 = 45

28、6;.在aa5c中，由余弦定理得屏+决_2qccos45° = 2,即疽+&-屈c = 2,又因为 a2 +c2 > 2ac, .， 2 = a2 +c2 yf2ac >(2 ,由此可得。ev 三万= 2 + j5,当且仅当a = c时等号成立，1 /?/. aabc 面积 s = acsinb22 +t，故m区面积s最大值为号1.故答案为1=v2 + 123.在锐角3bc中,a, b，c分别为3bc三边。，b,。所对的角，若cosb + 0sinb = 2,且满足关系式岑殳+b ccosc 2sin asin b口禾厂，则a+c的取值范围是【答案】【解析】cos

29、8 + 0sinb = 2得sin b + 171 c 兀 2"八 71所以眼耳7ttt在锐角 abc中，一<4式，由正弦定理得：62cos3 cosc _ ccosb + bcosc _ sin ceosb +sin bcosc _ sin a _ 2sin asin b b cbebsincbsinc 3sinc所以人=32sin b(sin a + sin c) = 2sin a + 2sin因为:"咔号,所以手71、<sin a + <1,所以。+。£(3,2右.4.设。，b,。分别为m3。内角a，b, c的对边.已知则"w/厂

30、的 cos b cos cac取值范围为.【答案】（-右,。）顷。,2）【解析】因为 2"_ 血=屈' ,所以(2a- v3z?)cosc = cosb(cosbcosc0),cosb cosc '7所以(2sin a-jsin8)cosc = jsinccosb ,即 2sin acosc = 73sin(c+ b) = v3 sin >4,又sin a >0,所以 cosc =号,u71 5勿'1 2ju 6 )it则c =,因为cosb。，所以6而 a-+c-b- =2cosfi> 故+ c -e（右,0）顷0,2）故答案为：（一右,0

31、）顷。,2）5.在锐角三角形abc中，已知zsiya+si/bsiyc,则一!一 + ! + !的最小值为 tan a tan b tan c【答案】寸12【解析】由正弦定理，得：2屏+。2=2己如图，作 bd±ac 于 d,设 ad=x, cd=y, bd=h,因为2/+屏=2凌，所以,2(/+/?) + (x+y)2=2(x2 + /r),化简，得:x2 -2xy-3y2 = 0 ,解得：x=3ytan(a + c) = - tan b,tan a + tan c =-tan b , 1 一 tan a tan c1 - tan a tan c _1tan a + tan c t

32、an b1111111=1tan a tanb tanc tan a tancjtan /i tan c -1 _ x y xy+ + +tan a + tan c h h h hi广=也+丑2近,当且仅当h=应时取得最小值晅. h 4" 4h 4y 2'2故答案为：匝.2解析几何中运用1-如图即c,在,已知点。在边昵上,皿心ind心半ab = 3& " = 3,则的长为【解析】由题意 sin(zbad + y) = cos abad,. bd2 = ab2 + ad2 - 2 ab- ad cos abad = (32)2 +3?2x3 扼 x3x- =

33、3 , bd = g 32. aabc的两边长分别为1, j5,第三边上的中线长为1,则其外接圆的直径为【答案】2【解析】ab = ,ac = y/3,ad = 9 设 bd = cd = x,在 aabz)中，ab1 = ad2 + bd2 -2ad-bdcoszadb，艮p1 = 1 + x2-2xcoszadb，在a4cd中，同理可得3 = 1 + x2_2xcos£4dc，zadb + zadc =兀,cos zadb + cos zadc = 0+得，4 = 2 + 2j,x = i,aa8q为等边三角形，bc =也 b=-9 aabc的外接圆直径为；i藉一苫一.o2t &

34、gt;> >> >3.在a43c中，a&bc = mc4 一 c4.",贝ijsin a:sinb:sinc=543，皿血我 bc-ca ca-ab【解析】设=6543所以 ab bc = 5t. bc ca = 4t,ca ab = 3tf所以-accos b = 5t,-abcos c = 4" 一阮 cos a = 3t 9所以 c2 +(72 -b1 =-10r,/?2+a2-c2 = -8z,c2 +b2-a2 =-6t,得。=y/9ty b = y/lt,c = y/st所以 sin a: sin b: sin c = tz: z

35、?: c = >/9 : v7: >/8广瓯4.如图，在败中，点在水7上，ablbd, bc=339 bd=5, sinzabc= 5，则少的长为一【答案】4r 公 瓯【解析】利用余弦定理求解.因为sin/敬=sin(n庭c+2 j=cosn敬=5，在4dbc中,由余 弦定理可得 ci=b4*bc-2bd应bosz婉=25+27-2x5x3*x誓=16,所以 cd=4.5.在敬7中，zabc=90° , ab=4, bc=3,点力在线段 ac上.若zbdc= 45° ,则及?=,cosz abd=.12/ 72【答案】5 ， 10ab bd3 ji 【解析】在

36、a abd 中，有：sinzadb= sinzbao 而曲=4, z.adb=9 ac=yja+b=59 sin bc 3ab 412 吏jizbac=9 coszbac=9 所以刃=5 . coszabd= cos (z8dc = ba= = c。侦coszbac a72+ sin 4 sinz.bac= iq .综合运用1.在既c中，角 4, &。所对的边分别为。,b,c, m = (>/3/?-c,cos c), n = (a,cos a), ml in 则cos a的值为o_【解析】因为;/云，所以(y/3b - c) cos a = a cos c /. (5/3 sin b - sin c) cos a = sin a cos c:.y/i sin bcos a = sin a cos c + sin c cos a v3 sin bcos a = sin(a + c) = sin b :. cos