第2章单自由度振动1

1、 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESDynamics of StructuresProf. Lanhe WuShijiazhuang Tiedao Univ. STDU DYNAMICS OF STRUCTURESv第二章 单自由度体系的振动本章重点：v建立结构振动微分方程的几种方法v无阻尼单自由度系统自由振动特性及规律v有阻尼单自由度系统自由振动特性及规律v等效刚度和等效质量的概念v单自由度系统受迫振动的特性本章难点：v建立结构振动微分方程的几种方法v求解固有频率的能量法 v结构动位移和动内力的计算 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES2.1运动方程的建

2、立一、利用DAlembert原理1.刚度法( )F t)(ty ( )( )my tF t( )( )IF tmy t ( )( )0F tmy t ( )F t)(tym 11( )0myk yF t3113lEIk33( )EImyyF tly(t)mF(t)11k111k( )my t 11( )k y t( )F t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求系统发生位移y时的恢复力；3.令惯性力、恢复力和体系外力之和为零。2.柔度法mF(t)y(t)将系统的位移y看作是由惯性力和系统外力共同产生的。实质是弹性元件的协调方程

3、。( )IF tmy F(t)y(t)1111( )( )( )( )( )Iy tF tF tmy tF t 3113lEI STDU DYNAMICS OF STRUCTURES二、Lagrange方程mF(t)y(t)11k212Tmy21112Uk y22111122LTUmyk y代入Lagrange方程d()( )diiiLLF ttqq同样可得11( )myk yF t三、Hamilton原理212122110()d11( )d d22tDFttytHTUWWtmyk yF tyt STDU DYNAMICS OF STRUCTURES0H21212122110221101111

4、( )d d2211( )d d22( )dtyttytttHmyk yF tytmyk yF tytmy yk y yF tyt 2222211111ddd()dtttttttttttmy y tmyymy yy mymy y 2111( )dttHmyk yF ty t11( )0myk yF t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例.列出运动微分方程)(tym 311/24lEIkEIl( )F tEIl1EI)(ty( )F t11k13/12lEI11k3/12lEI11( )( )( )0my tk y tF t324( )( )( )EImy ty tF tl

5、解.用刚度法例 建立图示体系的运动方程 0AMEI2mllly(t)2y(t)3y(t)(2tym yk2)(3tym 033222lymlyklym 0)(4)(11tkytym STDU DYNAMICS OF STRUCTURESEIl/2( )F tEI1EIl/2)(ty( )F t)(tym ( )F t)(tym )(ty)(tR0)(tR311/24lEIk例.列出运动微分方程解.仍用刚度法11( )( )/2R tmyk yF t所以有11( )/20myk yF t此时干扰力与惯性力不在同一直线上,不能直接列出动平衡方程.可采用附加链杆并令其反力为零的办法其中实际上是把荷载

6、等效到了质体上 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例、列运动微分方程EIl3231133( )( )( )2EImy ty tF tl解.EIl( )F tEIl)(ty)(ty)(tym ( )F t11=1l用柔度法11( )( )ymy tF t整理得 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESEIl32311332( )( )( )316lly tmy tF tEIEI)(ty)(ty)(tym ( )F t11=1lEIl( )F tEIl/2l/212131216lEIl/4例、列运动微分方程解.用柔度法1112( )( )ymy tF t代入得整理

7、333( )232EImyyF tl STDU DYNAMICS OF STRUCTURES31148lEI解:用柔度法111( )( )( )2gym y ty tF t整理得gyEI( )F tl/2l/2y例、设简支梁支座有竖向位移 ,列运动微分方程( )gyt质点处除有刚体位移 之外,还会12gy产生变形位移设变形位移为y用刚度法111( )( )( )02gm y ty tk yF t111( )( )( )2gmy tk yF tmy t STDU DYNAMICS OF STRUCTURESl1EIlEI)(tP例 建立图示体系的运动方程)(t)(tlm )(tlm )(tP)(

8、4tiAB 0BM043221)(illlmltP ltPilm)(4313 )(tP)(t J)(tlm )(tP)(4ti J 0BM04)(iJltP 231llmJ用刚度法思考：请你用柔度法建立该结构动力学方程。 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.3.5 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.3.7 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.3.8 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESmgmx ()k x以质量块的静力平衡位置为坐标原点建立坐标系, 为振动时的位移参量, 为弹簧的静变形。x重力的影

9、响所有的无阻尼单自由度系统均可以简化为下图所示的弹簧质量系统 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES考虑质量块的平衡，利用动静法或Newton第二定律有于是，系统的动力平衡方程为可以看到：如果以静力平衡位置为坐标原点,所建立的动力平衡方程与重力没有任何关系。系统的位移实际上只是有一个平移而已。mgmx ()k x STDU DYNAMICS OF STRUCTURES2.2无阻尼系统的自由振动静平衡位置静平衡位置m获得初位移获得初位移ym获得初速度获得初速度 y自由振动产生原因：体系在初始时刻受到外界的激励。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1.它代表了许多实际工程问题，如

10、水塔、单层厂房等。2.它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。要解决的问题包括：求解运动方程、计算自振频率、周期 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES一.运动方程及其解系统的动力平衡方程为引入参数上述微分方程可以写成如下的标准形式其通解为0/k m1020cossinxCtCt其中， 和 为待定常数。设在初始时刻，质点的初始位移和速度分别为1C2C000:(0),(0)txxxx将初始条件代入系统位移和速度表达式,可以确定有关系数 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES于是方程满足上面初始条件的解为其中10Cx020

11、xC在得到位移之后,便可以轻松得到系统的速度和加速度等其它物理量,此处略去.振幅初相位可以看到,系统的运动规律为简谐振动.其位移时程曲线为 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES二.周期和频率由式0( )sin()y tAt及上面的曲线可见:位移方程是一个周期函数。 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES工程中常使用工程频率 ，它与固有周期 和固有频率 的关系为fT00122kfm012mTfk0km周期为002T其中圆频率(角频率)频率和周期的讨论:1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；2.与m的平方根成正比，与k成反比；3.是结构动力特性的重要数量标

12、志。 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES1111111stkggmmW三.自振频率和周期的计算(1)利用计算公式(2)利用机械能守恒常数)()(tUtT)(cos21)(21)(2222tmAtymtT)(sin21)(21)(2211211tAktyktUmaxmaxUT便可求得11km利用能量法可以求出复杂系统的等效质量和等效刚度.即选定广义坐标之后写出系统的动能和势能,整理之后必然可以写为21( )( )2eT tm y t2111( )( )2eU tk y t其中 和 即为系统的等效质量和等效刚度。em11ek STDU DYNAMICS OF STRUCTURE

13、S等效质量等效刚度11/eekm有时也可以直接利用这个定义求出等效质量和等效刚度再利用公式求固有频率(3)利用振动规律)sin()(tAty)sin()(2tAty )sin()()(2tmAtymtI 位移与惯性力同频同步211mAAk幅值方程mk112 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例.求图示体系的自振频率和周期.3117121mlEIm311112117()2322212lll lll l lllEIEI EImlT127223EIlEIl=111=1ll/2l解: STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例.求图示体系的自振频率.3332231ml

14、EIEIlmEIl31132=1解:23lEIEIllm/2EIEIll例.质点重W,求体系的频率. .3113lEIkk解:EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIk33 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.4.5 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.4.6 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.4.7 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESIIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI26hEI例.计算图示刚架的频率。 312hEI312hEI由截面平衡324hEIk 324mhEI

15、mk例.求图示体系的自振频率.222222max29)2(21)(21)2(21mllmlmlmT解:mk95lmEImlllkk)(t1.能量法2222max25)2(21)(21kllklkUmaxmaxUT STDU DYNAMICS OF STRUCTURES222221119(2)()(2)2222Tmlm lmlml2222115()(2)222Uk lklkl也可以求等效质量和等效刚度29emml25eKkl59eeKkmm求等效质量和等效刚度时,还可以利用定义1A2mlml2mlem令角加速度等于1,各质点会产生如图所示的惯性力,由平衡条件得222(2 )(2 )0emlmlm

16、lm29emml STDU DYNAMICS OF STRUCTURES令角位移等于1,各弹簧会产生如图所示的弹性力,由平衡条件得22(2 )0eklklK25eKkl1AkleK2kl2.列幅值方程ml22ml22ml2lklk2A 0AM0222222222lklllmlmllkllml059222klmlmk95 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESlkml例题：图示一质量均匀分布、长度为 、弹性系数为 的弹簧带有质量为 的质点，弹簧材料的线密度为 ，试求该系统自由振动的基频，并计算弹簧的等效质量。整个系统的总动能为12123mTmx1m 为弹簧的总质量解：假定弹簧的变

17、形与离固定点的距离成正比 设弹簧端点处的位移为 x则振动时 点处的位移为 /x l得到弹簧的总动能为2121011d223llmTxxlld STDU DYNAMICS OF STRUCTURES212Ukx弹簧的势能与弹簧的质量无关，仍为导出考虑弹簧质量的系统固有频率为 0113kmm1例、求图示结构的自振圆频率。解法1：求刚度klhmIEIBAClhEIlEI33lmhEImk2323lhEIk 1h解法2：求柔度EIlhhlhEI33221221131mlhEIm1/hBABCMkhM STDU DYNAMICS OF STRUCTURES对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系

18、沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为刚架)计算刚度系数方便.2.3有阻尼系统的自由振动一.阻尼与阻尼力 阻尼:产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力.c-阻尼系数 )()(tyctR粘滞阻尼理论 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES各项除以 ，写成标准形式2020 xxx0km2cm其中0其中 为无阻尼系统的固有频率二.计阻尼自由振动 振幅衰减系数02ckm令称为阻尼比动力学方程可写为标准形式 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES代入动力学方程，导出本征方程为 220020 21,20(1) (1

19、) 欠阻尼状态 12d01方程的通解为01d2d(cossin)txeCtCt阻尼振动的固有频率其中， 和 为待定常数 ，由初始条件确定1C2C102000,()/dCx Cxx STDU DYNAMICS OF STRUCTURES0dsin()txAet0020dxxAxd000arctanxxx或其中则有0d22d02211TT阻尼振动的周期其中， 为无阻尼振动的周期，显然有0T00000cossintdddxxxextt2d001 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES由于阻尼作用引起的能量消耗，系统转变为振幅不断递减的衰减振动。系统响应的位移时程曲线见右图相邻两个振幅

20、的比值为常数，称作缩减系数，记为 ty低阻尼低阻尼y- t曲线曲线0tAedd1()2tTt TAAeeAAed02d22ln21T 实际计算时常利用对数减缩代替减缩系数或阻尼比 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESd1121231jjj TjjAAAAeAAAA111lnjAjA 过若干个周期后的振幅减缩系数为 测得若干周期后的振幅,然后用上式可求得系数,并进而求得阻尼比和阻尼系数EI=m例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s

21、及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。9.8kN STDU DYNAMICS OF STRUCTURES解：1110.5lnln0.0335220.4kkyymNAPk/10196005. 0108 . 94301189. 45 . 122sTk2mc 2m22cmsNmsN/2 .332/33220189. 4101960355. 024例: 对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.kN4 .16求:阻尼比,刚度系数,无阻尼周期,重量,阻尼系数,若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES3.无阻尼周期2 / 40.5(s)dT 210.4998(s)dTT4.重量)s/1 (57.122T)kg(5190/211km)kN(86.50 mgW5.阻尼系数)s/mN(36012mc6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比为多少)s/1 (89.1368005190102 .8252)