第四章随机变量的数字特征

1、LOGO第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.1 随机变量的数学期望 Department of Mathematics, Tianjin University内内 容容 提提 要要离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望1连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望2随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望3Department of Mathematics, Tianjin Universityu设X是离散型随机变量，其分布律为 P(X=xi)=pi, i=1,2,.若|x1|p1+|x2|p2+|xi|pi+存在，则称 x1p1+x2p2+xipi+为随机变

2、量X的数学期望或均值，记为EX, 即EX=ixipi.离散型随机变量数学期望离散型随机变量数学期望1注:(1)绝对收敛. (2)数学期望是一种加权平均. (3)随机变量的数学期望可能不存在.Department of Mathematics, Tianjin Universityu举例例1：设X的分布律为 P(X=k)=1/2k,(k=1,2,).求EX. Department of Mathematics, Tianjin University例2:设某团体有N个人，为普查某种疾病都去验血.验血可分两种方式： (I)每个人分别验，共需N次； (II)按每k个人一组进行分组检验. 对每一组，将

3、该组每个人所抽的血取出一半混合在一起验，若呈阴性，则该组均为阴性,且k个人只需化验一次；若呈阳性，则再对这k个人分别验，此时k个人需要k+1次检验.假定对所有人，验血的结果呈阳性的概率为p,且这些人的化验结果是相互独立的.试求：(1)k个人的血混合后呈阳性的概率;(2)在方案(II)中，检验N个人所需的化验次数X的数学期望；(3)k取什么值时，(2)的数学期望最小.Department of Mathematics, Tianjin University解:(1)1-(1-p)k; (2) EX=N1-(1-p)k+1/k; (3)k应满足：k2(1-p)kln(1-p)+1=0.特别，当p=

4、0.05时，可解得k=5.若N=1000,则用方案(II)需化验 1000（1-0.955+1/5）= 426(次).(3)类似离散型随机变量，对乘积求和并取极限得期望.记T=maxxi:i=1,2,n,则 EX=limT-0ixi f(xi)xi=Department of Mathematics, Tianjin University连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望2u设X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x).要求X的数学期望：-( )dxf xx(2)概率离散化： 设在(xi-1,xi上，P(xi-1Xxi)f(xi)xi(1)取值离散化：设在区间(xi-1,xi上

5、，Xxi;Department of Mathematics, Tianjin University连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望2u定义：设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x).若积分 收敛，则称X的数学期望存在，并将 称为X的数学期望或均值.即 EX=-| | ( )dxf xx-( )dxf xx-( )dxf xx注：若 发散，则称连续型随机变量的数学期望不存在.-| | ( )dxf xxDepartment of Mathematics, Tianjin University例3.设连续型随机变量X的分布函数为求(1)a,b;（2）EX.例4.设连续型随机变量

6、X的概率密度f(x)满足 f(c+x)=f(c-x), -x+.其中c为常数，且X的数学期望存在，证明EX=c.0, 1,( )arcsin ,11,1,1.xF xabxxx Department of Mathematics, Tianjin University注：函数在计算期望时经常用到2+12100( )d2d(0)xxxexxex且( +1)( );( +1)!;1(1)1; ( ).2nn Department of Mathematics, Tianjin Universityu已知X的数学期望，求Y=g(X)的数学期望.方法1. 先求Y的分布，再求Y的期望.方法2. 不求Y的

7、分布而直接计算其期望.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望3例5.设随机变量X的分布律为求Y=X2+X-1的数学期望.X-101PX0.20.30.5例6.设随机变量XU(0,/2),求Y=sinX的期望.Department of Mathematics, Tianjin Universityu定理：设随机变量Y是随机变量X的函数Y=g(X), y=g(x)是连续函数，(1)若X是离散型的，且分布律为 P(X=xi)=pi,i=1,2,.且 收敛，则有(2)若X是连续型的，其概率密度为f(x),且 收敛，则有| ()|iiig xp ()( ) .iiiEYE g Xg x p-|g

8、( )| ( )dx f xx- ()g( ) ( )dEYE g Xx f xxDepartment of Mathematics, Tianjin University例7.国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量X（吨），它服从区间2,4（单位：吨）上的均匀分布.设每售出商品一吨，可挣外汇3千元；每积压一吨，则损失1千元.问需要组织多少货源，才能使收益的期望最大？Department of Mathematics, Tianjin Universityu已知(X,Y)是二维随机变量，g(x,y)是二元连续函数.(1).若(X,Y)是离散型的，且联合分布律为 P(X=xi,Y=yj)=

9、pij, i,j=1,2,且级数ijg(xi,yj)pij绝对收敛，则随机变量g(X,Y)的数学期望为 Eg(X,Y)=ijg(xi,yj)pij(2).若(X,Y)是连续型的，且联合概率密度为f(x,y), 且积分 绝对收敛，随机变量g(X,Y)的数学期望为 Eg(X,Y)=( , ) ( , )d dg x y f x yx y ( , ) ( , )d dg x y f x yx y Department of Mathematics, Tianjin University例8.已知联合概率分布律为求EX,EY,E(XY),E(X2+Y2).求EX,EY,E(Y/X),E(X-Y)2.Y

10、 X123-10.20.1000.100.310.10.10.1例9.已知联合概率密度为212,01,f( , )0,. .yyxx yo wDepartment of Mathematics, Tianjin University例10.已知随机变量X1,X2均服从区间(0,1)上的均匀分布，且相互独立. 若X=maxX1,X2,Y=minX1,X2.求(1)EX,EY; (2)E(X+Y).Department of Mathematics, Tianjin University1. E(c)=c.(c为常数)3. E(X+Y)=EX+EY.4.若X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

11、. 推广：若X1,X2,Xn相互独立，则 E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn)2. a,b为常数，则E(aX+b)=aEX+b. 特别：E(aX)=aE(X).由2和3可得：E(aX+bY)=aEX+bEY;E(a1X1+a2X2+anXn+b)= a1EX1+a2EX2+anEXn+bDepartment of Mathematics, Tianjin University例11.已知随机变量XN(50,1), YN(60,4). Z=3X-2Y-10. 求EZ.LOGO第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.2 随机变量的方差 Department of Math

12、ematics, Tianjin University内内 容容 提提 要要方差的定义方差的定义1方差的性质方差的性质2常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差3Department of Mathematics, Tianjin Universityu设X是一个随机变量.若EX-E(X)2存在，则称之为随机变量X的方差，记为D(X)或Var(X),即 D(X)=EX-E(X)2.并称 为X的标准差. 随机变量的方差随机变量的方差1()()XD X注: (1)方差的计算: (2) 常用公式： D(X)=E(X2)-(EX)2.Department of Mathematics, Tianjin

13、 University例1.设X的分布律为P(X=k)=1/2k, k=1,2,.求DX.例2.设XN(,2).求D(X)和(X).Department of Mathematics, Tianjin University1. D(c)=0.(c为常数)3. D(X)=0P(X=c)=1,(c=EX为常数). 4.若X,Y独立，则D(X+Y)=DX+DY. 注: (1) 若X1，X2，Xn相互独立，则 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+E(Xn). (2) 若X,Y相互独立，则D(X-Y)=D(X)+D(Y); D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y).2. a,b为常数，则

14、D(aX+b)=a2DX.特别：D(aX)=a2D(X),D(-X)=DX, D(X+b)=DX.5. 对任意的xR, D(X)E(X-x)2. Department of Mathematics, Tianjin University常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差3分布期望方差0-1分布B(1,p)pp(1-p)二项分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P()几何分布g(p)1/p(1-p)/p2均匀分布U(a,b)(a+b)/2(b-a)2/12指数分布EXP()1/1/2正态分布N(,2)2Department of Mathematics, Tianjin Univers

15、ity例3.(分解变量法)设X服从二项分布B(n,p),再求EX,DX.例4.一套仪器有n个独立元件组成，第i个发生故障的概率为pi,(i=1,2,n).问整套仪器平均有多少个元件发生故障？LOGO第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.3 随机变量的协方差与相关系数 Department of Mathematics, Tianjin University内内 容容 提提 要要随机变量的协方差随机变量的协方差1随机变量的相关系数随机变量的相关系数2Department of Mathematics, Tianjin Universityu定义：设二维随机变量(X,Y)的函数(X-

16、EX)(Y-EY)的数学期望E(X-EX)(Y-EY)存在,则称之为随机变量X与Y的协方差.记为Cov(X,Y).即 Cov(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY).随机变量的协方差随机变量的协方差1注:(1)协方差的求法: (2)常用公式： Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY. (3) Cov(X,X)=E(X2)-(EX)2=DX.Department of Mathematics, Tianjin Universityu协方差的性质：(1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2) Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(3) Cov(aX+b,cY+d)=ac

17、Cov(X,Y);(4) D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y). u定义：设(X,Y)是二维随机变量，若DX0,DY0，则称Department of Mathematics, Tianjin University随机变量的相关系数随机变量的相关系数2为X与Y的相关系数，记为XY.Cov(, )X YDXDY注：XY与Cov(X,Y)的关系:u当XY=0时，称X与Y不(线性)相关.XY0时，称X与Y正相关，XY0时，称X与Y负相关.Department of Mathematics, Tianjin Universityu相关系数的性质:(1)|XY|1.(2) |XY|=1的充分必要条件是存在常数a0,b,使得P(Y=aX+b)=1.u不相关的等价条件: XY=0Cov(X,Y)=0 E(XY)=EXEY D(X Y)=DX+DY.u独立一定不相关，不相关不一定独立. 但对二维正态分布，独立与不相关等价.