高中数学复习专题讲座导数的运算法则及基本公式应用

1、高中数学复习专题讲座导数的运算法则及基本公式应用高考要求导数是中学限选内容中较为重要的知识， 本节内容主要是在导数的定义， 常用求等公式四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导重难点归纳1 深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数y 表示函数的平均改变量，它是x 的函数，而f (x0) 表示一个数值，即f x(x)= limy ，知道导数的等价形式x0xlimf ( x0x)f ( x0 )f ( x)f ( x0 )f ( x0 )xlimxxx0x x002 求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求

2、导的关键3 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用， 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时， 首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误4复合函数求导法则，像链条一样， 必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系典型题例示范讲解例 1 求函数的导数(1) y1 x( 2) y (axbsin 2x )3(3) y f ( x 21)(1x 2 ) cosx命题意图本题 3 个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法， 以及抽象函数求导的思想方

3、法这是导数中比较典型的求导类型知识依托解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件， 将问题转化为基本函数的导数错解分析本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错技巧与方法先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导(1)解 : y(1 x) (1x2 ) cos x(1 x)(1x2 ) cos x(1 x2 )2cos2x(1x2 )cos x(1x)(1 x2 ) cos x(1x2 )(cos x) (1 x2 ) 2 cos2 x(1x2 )cos x(1x)2 xcos x (1x2 )sinx(1x2 ) 2 cos2 x

4、(x22x1)cos x(1 x)(1 x2 )sinx(1x2 ) 2 cos2 x(2)解y= 3, =ax bsin2x, =av byv=x,y=sin= x322y =( ) =3 · =3 (av by)22=3 (av by )=3 (av by )22=3(ax bsin x) (ab sin2 x)(3)解法一设 y=f( ),=v ,v=x2+1,则y x=y v·v x=f1· 2x2( )· 1 v2=f (x 21)·11· 2x2x 21=xf ( x21),x 21解法二y = f(x 21 ) =f (

5、x21 )·( x21 )1)·11=f (x 2(x2+1)2 · (x2+1)2x 21)·11=f (x2+1)2 · 2x2=xf ( x21 )x 21例 2 利用导数求和(1)Sn =1+2x+3x2+ +nxn1(x 0,n N* )(2)Sn =C 1n +2C n2 +3C n3 +nC nn ,(n N *)命题意图培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力知识依托通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维nn 1由求导公式 (x ) =nx,可联想到它们是另外一个和式的导数关键要抓住数列通项的形式结构错

6、解分析本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想技巧与方法第 (1)题要分 x=1 和 x 1 讨论，等式两边都求导解 (1)当 x=1 时Sn=1+2+3+ +n=1n(n+1);2当 x 1 时，23nxxn 1 x+x+x + +x =,1x两边都是关于x 的函数，求导得(x+x2+x3+xn)=( xxn 1 )1x即 Sn=1+2x+3x2+ +nxn 1=1 ( n 1) xnnxn 1(1 x) 2(2) (1+ x) n=1+C 1n x+C 2n x2+ +C nn xn,两边都是关于x 的可导函数，求导得n(1+ x)n 1=C 1n +2C 2n x+3C 3

7、n x2+ +nC nn xn 1,令 x=1 得， n· 2n 1=C 1n +2C 2n +3C 3n + +nC nn ,即 Sn=C1n +2C2n + +nCnn =n· 2n 1例 3 已知曲线 C y=x3 3x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点 (x0,y0)(x0 0)，求直线 l 的方程及切点坐标解 由 l 过原点，知 k= y0 (x0 0),点 (x0,y0)在曲线 C 上， y0=x03 3x02 +2x0 , x0 y0 =x02 3x0+2x 0y =3x2 6x+2,k=3x02 6x0+2又 k= y0 , 3x02 6x

8、0+2= x02 3x0+2 x02x02 3x0=0, x0=0 或 x0= 323由 x 0,知 x0=2 y0=( 3 )3 3( 3 )2+2· 3 = 32228 k= y0 = 1x04 l 方程 y= 1 x 切点 ( 3 ， 3 )428学生巩固练习1y=esinxcos(sinx)，则 y (0) 等于 ()A0B1C 1D 22经过原点且与曲线y= x9 相切的方程是 ()x5Ax+y=0 或xBx y=0 或x+y=0+y=02525Cx+y=0 或 x y=0D x y=0 或 x y=025253f ( x0k ) f ( x0 )若 f (x0)=2, l

9、im=_k 02k4设 f(x)=x(x+1)( x+2) (x+n),则 f(0)=_5已知曲线 C1:y=x2 与 C2:y= (x 2)2,直线 l 与 C1 、C2 都相切，求直线l 的方程6 求函数的导数(1)y=( x2 2x+3) e2x;(2)y= 3xx17 有一个长度为 5m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚14 m 时，梯子上端下滑的速度8 求和22222n 1*)Sn=1 +2 x+3x +n x,(x0,n N参考答案1 解析y =esinx cosxcos(sinx) cosxsin(sinx) ,y (0)= e

10、0(1 0)=1答案 B2 解析设切点为 (x0 ,y0),则切线的斜率为y0,k=x0另一方面， y =( x9) = ( x4,x 55) 2故 y (x0)=k,即4y0x092( x05) 2x0x0 (x0或 x0 +18x0+45=05)(1)(2)(1)(2)1593,得 x0 = 3, x0= 15,对应有 y0 =3,y0=5515因此得两个切点A( 3， 3)或 B( 15, 3),5从而得 y (A)=4= 1及 y ( B)=415) 35) 2,( 3( 1525x由于切线过原点，故得切线lA:y= x 或 l B:y=25答案A3解析根据导数的定义f (x0)= l

11、imf ( x0 ( k)f ( x0 )kk 0limf ( x0k ) f (x0 )lim12kk 0k 021f ( x0 k) f (x0 )1limk22 k0(这时xk )f ( x0k )f ( x0 ) kf (x0 )1答案 14解析设 g(x)=(x+1)( x+2) (x+n),则 f(x)= xg(x),于是 f (x)=g(x)+xg (x),f (0)= g(0)+0 · g (0)= g(0)=1 · 2· n=n！答案n!5解2),与 C2 相切于 Q(x2, (x2 2)2)设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x1对于 C1y

12、 =2x,则与 C1 相切于点P 的切线方程为y x12=2x1(x x1 ),即 y=2 x1x x12对于 C2y = 2(x 2),与 C2 相切于点 Q 的切线方程为y+(x22)2=2(x22)( xx2),即 y= 2(x2 2)x+x22 4两切线重合， 2x1= 2(x2 2)且 x12=x22 4,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0直线 l 方程为 y=0 或 y=4x 46解(1) 注意到 y 0,两端取对数，得lny=ln( x2 2x+3)+ln e2x=ln( x2 2x+3)+2 x1( x 22 x 3)22x 22( x2x 2)yx 22x 3x

13、22x22x 3y2 x 3y2( x 2x 2) y2( x 2x 2) ( x 22x 3) e2 xx22x3x22 x32( x2x2)e2 x(2)两端取对数，得1(ln|x|ln|1 x|),ln|y|=3两边解 x 求导，得1y1 ( 111 )11x)y3xx3 x(1y11y13x3x(13x(1x)1xx)7解设经时间 t 秒梯子上端下滑s 米 ,则 s=5 25 9t 2,当下端移开 11 474 m 时， t0=3,151211又 s =2 ·( 9· 2t)=9 t,(25 9t )2259t 271=0 875(m/s)所以 s(t0)=9×15259( 7 )2158 解 (1) 当 x=1 时， Sn =1