高中数学公式总结(均值不等式)

1、均值不等式归纳总结1. (1) 若a,b R，则a2 b 2ab (2)若a,b R，则22 b 2aab （当且仅当 a b2时取“=”）2. (1) 若a ，则 a b ab,b R*2(2)若*a,b R ，则a b 2 ab （当且仅当 a b时取“=）”(3)若a ，则,b R*2a bab (当且仅当 a b 时取“=”）23.若x 0 ，则x1x2(当且仅当 x 1时取“=”）若x 0 ，则x1x2(当且仅当 x 1时取“=”）若x 0 ，则 x 1 2 x 1 2 x 1 -2即 或 (当且仅当 a b 时取“=”）x x xa (当且仅当 a b时取“=”）b4.若ab 0，

2、则 2b aa b a b a b若ab 0 ，则 2即 2或 -2 (当且仅当 a b 时取“=”）b a b a b a5.若a,b R，则(2 2a b 2 a b （当且仅当 a b 时取“=”）)2 2ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求下列函数的值域1（1）y3x 22x 2（2）yx1x1解：(1)y3x 22x 212 3

3、x 2·2x 2 6 值域为 6 ，+）(2)当 x0 时，yx1x12 x·x2；1 x当 x0 时， yx1x= （ x1）2 x·x=2值域为（，22，+）解题技巧技巧一：凑项例 已知 5x ，求函数 4 2 1y x44x 5的最大值。解：因 4x 5 0，所以首先要“调整”符号，又(4 2) 1x4x 5不是常数，所以对4x 2 要进行拆、凑项，x x ， 4 2 1 5 4 1 35, 5 4 0 y x x4 4x 5 5 4x2 3 1当且仅当5 4x15 4x，即 x 1时，上式等号成立，故当 x 1时，ymax 1。评注：本题需要调整项的符号，

4、又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1. 当 时，求 y x(8 2x) 的最大值。解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。 注意到 2x (8 2x) 8为定值，故只需将 y x(8 2x) 凑上一个系数即可。当 ，即 x2 时取等号 当 x2 时， y x(8 2x) 的最大值为 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设30 x ，求函数 y 4x (3 2x) 的最大值。23解：0 x 3 2x 0 y24x(3 2x) 2 2 x(3 2x)

5、 22x322x292当且仅当 2x 3 2x, 即3 3x 时等号成立。0,4 2技巧三： 分离例 3. 求2 7 10x xy (x 1)x 1的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（ x1）的项，再将其分离。当 ,即 时, 2 1) 4 5 9y x（ （当且仅当 x1 时取“”号）。x 1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。2 2(t 1) 7(t 1 +10 t 5t 4 4）y = t 5t t t当 ,即 t= 时,4y 2 t 5 9（当 t=2 即 x1 时取“”号）。t评注：分式函数求最值

6、，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将A式子分开再利用不等式求最值。即化为 ( ) ( 0, 0)y mg x B A Bg(x)，g(x) 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：在应用最值定理求最值时， 若遇等号取不到的情况， 结合函数 ( )f x xax的单调性。例：求函数y2x2x54的值域。解：令2 4 ( 2)x t t ，则y2x2x5421 1x 4 t (t 2)2tx 4因1t 0,t 1t，但t1t解得t 1不在区间 2, ，故等号不成立，考虑单调性。因为y t5y 。21t在区间 1, 单调递增，所以在其子区间 2, 为单调递增函数，故所以，所

7、求函数的值域为52,。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时， x 的值.（1）2 3 1x xy ,( x 0)x（2）1y 2x ,x 3x 3(3) 1y 2sin x , x (0, ) sin x2已知0 x 1，求函数 y x(1 x) 的最大值.；302x ，求函数 y x(2 3x)3的最大值 .条件求最值1.若实数满足 a b 2，则3a 3b 的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程而，且3 定值，因此考虑利用均值定理 a 3ba 3b求最小值，解：a 3b3 和 都是正数，a 3b a b a b3 2 3 3 2 3 6当3a 3b 时等号成立，由 a b

8、2及3a 3b 得a b 1即当a b 1时，3a 3b 的最小值是 6变式：若log x log y 2，求4 41 1x y的最小值 .并求 x,y 的值技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。2：已知 x 0, y 0 ，且 1 9 1，求 x y 的最小值。 x y错解： x 0, y 0 ， 且1 9x y1， x y 1 9 x y 2 9 2 xy 12x y xy故x y 。min 12错因：解法中两次连用均值不等式，在 x y 2 xy 等号成立条件是 x y ，在1 9 9 2x y xy等号成立条件是 1 9x y即 y 9

9、x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解： x 0, y 0,1 9 1， x y x y 1 9 y 9x 10 6 10 16x y x y x y当且仅当y 9xx y时，上式等号成立， 又1 9x y1，可得x 4, y 12 时，x y 。min 16变式： （1）若 x, y R 且2x y 1，求1 的最小值1x ya b ，求 x y 的最小值 (2)已知 a, b, x, y R 且 1x y技巧七y 2 2已知 x，y 为正实数，且 x 21，求 x 1y 2 的最大值.

10、a2b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab2。同 时还 应 化 简 1y 2 中 y2 前 面 的 系数 为12， x 1y 2 x1y 22·2 2 x·12y2 2下面将 x，12y 2 2分别看成两个因式：x·12y2 2x ( 21y 2y 2) 2x 22222 21234即 x 1y 2 2 ·x12y 2 2342技巧八：1已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 yab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可

11、行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。302b b1法一：a302b b1， ab2 b 230b b1·b由 a0 得，0b15令 tb+1，1t16，ab2t 234t31t16 t2（t）34t16t162 t·t8ab18 y118当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得： 30 aba2b a2b2 2 ab 30 ab2 2 ab令 u ab 则 u22 2 u300， 5 2 u3 21 ab 3 2 ，ab18，y18a b点

12、评：本题考查不等式 ab（a,b R 的应用、不等式的解法及运算能力；） 2如何由已知不等式 ab a 2b 30（a,b R ）出发求得 ab 的范围，关键是寻找到a ba 与 之间的关系，由此想到不等式 ab（a,b R ，这样将已知条件转b ab） 2换为含 ab 的不等式，进而解得 ab 的范围.变式：1.已知 a>0，b>0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x，y 为正实数， 3x2y10，求函数 W 3x 2y 的最值.ab2a 2b 22解法一： 若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ，本题

13、很简单3x 2y 2 （ 3x ）2（ 2y ）2 2 3x2y 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W 0 ， W2 3x 2y 2 3x · 2y 10 2 3x · 2y 10 ( 3x )2·( 2y )2 10(3x2y)20W 20 2 5变式: 求函数 2 1 5 2 ( 1 5) y x x x 的最大值。2 2解析：注意到 2x 1与5 2x 的和为定值。 2 ( 2 1 5 2 )2 4 2 (2 1)(5 2 ) 4 (2 1) (5 2 ) 8y x x x x

14、 x x又 y 0，所以 0 y 2 2当且仅当 2x 1= 5 2x ，即3x 时取等号。 故2y 。max 2 2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1已知 a, b,c 为两两不相等的实数，求证： a b c ab bc ca2 2 21）正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc例 6：已知 a、b、c R ，且a b c 1。求证：1 1 1 1 1 1 8a b c分

15、析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1 1 1 a b c 2 bca a a a，可由此变形入手。解： a、b、c R ，a b c 1。 1 1 1 a b c 2 bca a a a。同理1 2 ac 1b b，1 1 2 abc c。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab 1 1 1 8a b c a b c。当且仅当1a b c 时取等号。3应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知 x 0, y 0 且1 9x y1，求使不等式 x y m 恒成立的实数 m 的取值范围。解：令 x y k, x 0, y 0,1 9x y1，