高中数学人教版全套教案

1、学习必备欢迎下载课题 :授课类型： 新授课教学目标§ 1 1 1 正弦定理知识与技能： 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法： 让学生从已有的几何知识出发 , 共同探究在任意三角形中， 边与其对角的关系， 引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与

2、辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程. 课题导入如图 1 1-1 ，固定ABC的边 CB及B，使边 AC绕着顶点C 转动。A思考：C 的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB . 讲授新课 探索研究 (图 1 1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。 如图 11-2 ，在 RtABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asi

3、nbcA， csin B ，又sin C1cAc ,则abccbcsin AsinBsin C从而在直角三角形ABC中，abcC a Bsin AsinB sinC( 图 1 1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 1 1-3 ，当ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asin Bb sin A, 则abB ，CsinA sin同理可得cbbasin B ，sin C从而abcAcBsinBsin Csin A(图 1 1-3)学习必备欢迎下载思考：是否可以用其它方法

4、证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点 A 作jAC，C由向量的加法可得ABAC CB则jABj( ACCB)AB jABjACjCBjj AB cos 900A0j CB cos 900C csinAasinC ，即acsin A sinC同理，过点 C 作 jBC ，可得bcsinB sinC从而abcsinAsinBsin C类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcsin Asin Bsin C 理解定理 （ 1

5、）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使a k sin A， bk sin B ， ck sin C ；（2）abcabcbacsin AsinB sin C 等价于 sin Asin B ， sin C sinB ， sin Asin C从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinAsin B ；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin Aa sin B 。b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形 。 例题分析 例 1在ABC 中，已知00A32.0，

6、B81.8，a，解三角形。42.9 cm解：根据三角形内角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80 )66.20 ；根据正弦定理，basin B42.9sin81.8080.1(cm) ；sin Asin32.00学习必备欢迎下载根据正弦定理，casin C42.9sin66.2 0 74.1(cm).sin Asin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2在 ABC 中，已知 a20cm， b 28 cm，400，解三角形（角度精确到0，边长精确到）。A11cm解：根据正弦定理，sinB bsin A 28sin40 00.8999.a20因为 00 B

7、1800 ，所以 B 640 ，或 B 1160. 当 B 640时，C1800 (AB) 1800 (400640 )760 ，casinC20sin76 030(cm).sin Asin40 0 当 B 1160时，C1800 (AB) 1800 (4001160)240 ，casinC20sin24 013(cm).sin Asin40 0评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 . 课堂练习第 5 页练习第 1（ 1）、 2（ 1）题。 补充练习 已知ABC中， sin A:sin B:sin C1:2:3，求 a: b: c（答案： 1： 2： 3） . 课

8、时小结 （由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：abcabc0；sin Asin Bsin Csin A sink kB sin C或 ak sin A， b k sin B ， ck sinC ( k 0)（ 2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 . 课后作业第 10 页 习题 1.1A 组第 1（1）、 2（ 1）题。板书设计授后记学习必备欢迎下载课题 :§余弦定理授课类型： 新授课教学目标知识与技能： 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法： 利用

9、向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程. 课题导入C如图 1 1-4 ，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和 C，求边 cbaAcB( 图 11-4) . 讲授新课 探索研究 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、

10、B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A如图 1 1-5 ，设 CBa ， CAb ， AB c ，那么 ca b ，则bc2c caba bca a b b2a bCaB222aba b从而c2a2b22abcos C(图 11-5)同理可证a2b2c 22bc cos Ab2a2c22ac cos B学习必备欢迎下载于是得到以下定理余弦定理 ：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2b2c22bc cos A222bac2ac cos B思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以

11、求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：cosAb2c2a22bccosBa2c 2b22accosCb2a2c22ba 理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中， C=900 ，则 cosC 0 ，这时 c2 a2 b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析 例 1在 ABC中，已知

12、 a2 3 ， c62 ， B 600 ，求 b 及 A解： b2 a2 c22accosB= (23) 2( 62) 22 23 (6 2) cos 450=12( 62) 243( 31)= 8 b 2 2.求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一： cosb2c2a2(22)2(62 )2 (2 3)21A2bc2 2 2(6 2)2 ,0A 60.解法二： sina230Ab sinB22sin45 ,又 622.41.43.8,2 3 2 1.8 3.6,学习必备欢迎下载 a c ，即 00 A 900 , A 60.0评述：解法二应注意确定A 的取值范围。例 2在 AB

13、C中，已知 a 134.6cm ， b 87.8cm ， c 161.7cm ，解三角形（见课本第 8 页例 4，可由学生通过阅读进行理解）解：由余弦定理的推论得：2 2 2 b c a87.82161.72134.622 87.8 161.70.5543,A 56020 ；c2a2b2cos B2ca134.62 161.7287.822 134.6 161.70.8398,B32053 ；C 1800( AB) 1800(560 2032053) . 课堂练习第 8 页练习第1（ 1）、 2（ 1）题。 补充练习 在ABC中，若 a2b2c 2bc ，求角 A（答案： A=1200 ） .

14、 课时小结（ 1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（ 2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。 . 课后作业课后阅读：课本第9 页 探究与发现 课时作业：第11 页 习题 1.1A组第 3（ 1）， 4（ 1）题。板书设计授后记学习必备欢迎下载课题 :教学目标§113 解三角形的进一步讨论授课类型： 新授课知识与技能： 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法： 通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余

15、弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观： 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。教学过程. 课题导入 创设情景 思考：在ABC中，已知 a22cm， b25cm， A1330 ，解三角形。（由学生阅读课本第9 页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其

16、中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 . 讲授新课 探索研究 例 1 在ABC中，已知 a,b,A ，讨论三角形解的情况分析：先由 sin Bbsin A可进一步求出B；a则 C 1800 (A B)从而 casin CA1当 A 为钝角或直角时，必须a b 才能有且只有一解；否则无解。2当 A 为锐角时，如果 a b ，那么只有一解；如果 ab ，那么可以分下面三种情况来讨论：（ 1）若 a bsin A，则有两解；（ 2）若 a bsin A，则只有一解；（ 3）若 a b sin A，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）评

17、述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且b sin Aab 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 随堂练习1学习必备欢迎下载1）在ABCa80，b100，A450 ，试判断此三角形的解的情况。（中，已知（2）在ABC中，若 a1， c1 ，C400 ，则符合题意的 b 的值有 _个。2（3）在ABC中， axcm ， b2cm， B450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。（答案：（ 1）有两解；（ 2） 0；（3） 2x22 ）例 2在ABC中，已知 a 7， b5， c3，判断ABC的类型。分析：由余弦定理可知a2b2c2是直角ABC是

18、直角三角形Aa2b2c2A是钝角ABC是钝角三角形a2b2c 2A是锐角ABC是锐角三角形（注意： A是锐角ABC是锐角三角形 ）解： 725232 ，即 a2b2c2 ， ABC是钝角三角形 。 随堂练习2（1）在ABC中，已知 sin A:sinB:sin C1:2:3，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件 a cosAb cosB ，判断ABC的类型。（答案：（ 1）ABC是钝角三角形；（ 2）ABC是等腰或直角三角形）例 3在ABC中， A600 ， b1，面积为3 ，求abc的值2sin Asin Bsin C分析：可利用三角形面积定理S1ab sin C1 acsinB1 b

19、c sinA以及正弦定理222abcabcsin Asin Bsin Csin AsinB sinC解：由 S1 bcsinA3 得 c2 ，22则 a2b2c 22bccos A =3，即 a3 ，从而abca2A sinB sin CsinAsin . 课堂练习（1）在ABC中，若 a55， b16 ，且此三角形的面积 S2203，求角 C（2）在ABC中，其三边分别为a、b、 c，且三角形的面积Sa2b2c24，求角 C（答案：（ 1） 600 或 1200 ；（ 2） 450 ） . 课时小结（ 1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（ 2）三角形

20、各种类型的判定方法；学习必备欢迎下载（3）三角形面积定理的应用。 . 课后作业（1）在ABC中，已知b4 ， c10， B300 ，试判断此三角形的解的情况。（2）设x、 x+1、 x+2 是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。（3）在ABC中，A600 ， a1， bc2 ，判断ABC的形状。（4）三角形的两边分别为3cm， 5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x 27x60 的根，求这个三角形的面积。板书设计授后记学习必备欢迎下载课题 :§ 2.2 解三角形应用举例第一课时授课类型： 新授课教学目标知识与技能： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际

21、问题，了解常用的测量相关术语过程与方法： 首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例 2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观： 激发学生学习数学的兴趣 , 并体会数学的应用价值； 同时培养学生运用图形、 数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点实际问题中抽象出一个或几个三

22、角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图教学过程. 课题导入1、 复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、 设置情境 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施

23、。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 . 讲授新课（ 1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 例题讲解 (2) 例 1、如图，设A、 B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出 AC的距离是55m，BAC=51 ，ACB=75 。求 A、 B 两点的距离 ( 精确到 0.1

24、m)学习必备欢迎下载启发提问1： ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边 AB的对角， AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得AB=ACsin ACBsinABCAB =ACsin ACBsinABC=55sinACBsinABC=55sin 75sin(1805175)55sin75sin54 65.7(m)答:A 、 B 两点间的距离为65.7

25、米变式练习：两灯塔A、 B 与海洋观察站C的距离都等于a km, 灯塔 A 在观察站C 的北偏东30 ，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ，则 A、 B之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。解略：2 a km例 2、如图， A、 B 两点都在河的对岸（不可到达） ，设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、 D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和 BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。学习必备欢迎下载解：测量者可以在河

26、岸边选定两点 C、 D，测得 CD=a，并且在 C、 D两点分别测得 BCA= ， ACD= ， CDB= ， BDA = ，在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得ACBC=asin()=sin180()asin=sin180()asin()sin()asinsin()计算出 AC和 BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB=AC 2BC 22 ACBC cos分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距40 米的 C、 D 两点，测得BCA=60 ，ACD=30 ，CDB=45 ，BDA =60略解：将题中各已知量代入例2

27、推出的公式，得AB=20 6评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4 页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。 . 课堂练习课本第 14 页练习第1、 2 题 . 课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验

28、上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 . 课后作业课本第 22 页第 1、2、 3 题板书设计授后记学习必备欢迎下载课题 :§ 2.2 解三角形应用举例第二课时授课类型： 新授课教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过 3 道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导讨论归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。

29、作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观： 进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件教学过程. 课题导入提问：现实生活中 , 人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题 . 讲授新课 范例讲解 例 1、 AB是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。分析：求 AB 长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C 点到建

30、筑物顶部A的距离 CA，再测出由C点观察 A的仰角，就可以计算出AE 的长。解：选择一条水平基线HG，使 H、 G、 B 三点在同一条直线上。由在H、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是、， CD = a ，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得ACAB=asinsin()AE + h=ACsin+ h学习必备欢迎下载=a sin sin+ hsin()例 2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角=54 40 ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角=50 1 。已知铁塔 BC部分的高为27.3 m, 求出山高 CD(精确到 1 m)师: 根据已知条件, 大家能设计出解题

31、方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在出哪条边呢？生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。ABD中求CD，则关键需要求解: 在ABC中 ,BCA=90 +,ABC =90 -,BAC=-,BAD =. 根据正弦定理,BC=ABsin( )sin(90)所以= BCsin(90) = BCcosABsin()sin( )解 RtABD中, 得 BD =ABsinBAD=BC cossinsin()将测量数据代入上式, 得27.3cos501 sin5440BD =sin(5440501)27.3cos501 sin54 40=sin4 39 177 (m)

32、CD =BD -BC 177-27.3=150(m)答 : 山的高度约为150 米 .师：有没有别的解法呢？学习必备欢迎下载生：若在ACD中求 CD，可先求出AC。师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）例 3、如图 , 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶, 到 A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15的方向上 , 行驶 5km 后到达 B 处, 测得此山顶在东偏南25 的方向上 , 仰角为 8, 求此山的高度CD.师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在BCD中师：在BCD中，已知BD或 BC都可求出CD,

33、根据条件 , 易计算出哪条边的长？生： BC边解: 在ABC中 ,A=15,C= 25-15=10, 根据正弦定理 ,BC=AB,sinAsinCBC =ABsin A = 5sin15sinCsin10 7.4524(km)CD=BC tanDBC BC tan8 1047(m)答: 山的高度约为 1047 米 . 课堂练习课本第 17 页练习第 1、 2、 3 题 . 课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时， 要学会审题及根据题意画方位图 , 要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。 . 课后作业1、 课本第 23 页练习第6、 7、 8 题2、 为测某塔AB的高度

34、， 在一幢与塔AB相距 20m的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为 30 ，测得塔基B 的俯角为 45 ，则塔 AB的高度为多少 m？答案： 20+ 20 3 (m)3学习必备欢迎下载课题 :§2.2 解三角形应用举例第三课时授课类型： 新授课教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例 1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的 2 道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过

35、程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学过程. 课题导入 创设情境 提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中, 人们又会遇到新的问题， 在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的

36、测量问题。 . 讲授新课 范例讲解 例 1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75 的方向航行 67.5n mile 后到达海岛 B, 然后从 B 出发 , 沿北偏东 32 的方向航行 54.0n mile后达到海岛 C.如果下次航行直接从A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行 ,需要航行多少距离 ?( 角度精确到0.1 , 距离精确到 0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出 AC边所对的角 ABC，即可用余弦定理算出 AC边，再根据正弦定理算出 AC边和 AB 边的夹角 CAB。解：在ABC中，ABC=180 - 75+ 32=137，根据余弦定理，AC=AB 2BC 22 ABBCcosABC学习必备欢迎下载=67.5254.02267.554.0cos137 113.15根据正弦定理,BC=ACsinCABsin ABCsinCAB =BC sin ABCAC=54 . 0 sin 137113 .15 0.3255,所以CAB =19.0,75-CAB =56.0答 : 此船应该沿北偏东56.1的方向航行 , 需要航行113.15n mile例 2、在某点 B 处测得建筑物AE的顶端 A 的仰角