高中数学《一道双曲线探究问题引发的解题课》教学设计

1、变式教学：一题多问、一题多解、一题多变教学模式“ 一道双曲线探究问题引发的解题课”教学设计【课例解析】1 教材的地位作用本节课是人教版 A 版数学（选修 2-1）第二章圆锥曲线与方程，§ 2 3 双曲线及其标准方程第二课时，关于“和两定点连线斜率之积为定值的轨迹方程”探求的一节解题课本节课之前学生学习了椭圆的标准方程、几何性质和双曲线的标准方程学习了曲线与方程的概念在必修 2 中学习了圆的方程等知识本节课通过课堂教学的自主、合作与探究，使学生了解双曲线、椭圆的另一种生成方法，体会双曲线、椭圆、圆几何特征的不同表现形式，体会合情推理和演绎推理在数学发现中的作用2 学情分析本节课从课本一

2、道探究新问题入手探求其解法并对其进行变式引申，学生在前面已学过圆、椭圆、双曲线三种曲线在前面几节课学习了求曲线方程的基本方法，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，去探究用圆锥曲线的直径的性质贯穿于整个学习活动过程中的师生，生生之间的协作，对学习内容的收集与分析、命题的提出与验证、学习进程的自我反馈和学习结果的评价以及意义的最终建构，都起了至关重要的作用【目标定位】1 知识目标掌握求轨迹方程的基本方法；通过探究性问题的变式训练，探求圆锥曲线直径的相关命题，并给出证明2 能力目标通过例题的变式训练，培养学生发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的能力，培养学

3、生分类讨论思想与方程的思想；认识合情推理和演绎推理在数学发现中的重要作用3 情感目标通过小组合作，培养学生的协作、友爱精神，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新精神，体验成功的快乐通过学生自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯4 教学重点和难点教学重点：理解有关圆锥曲线直径的性质及类比在圆锥曲线性质发现中的重要作用，进一步体会和认识合情推理和演绎推理在数学发现中的重要作用，从而揭示规律，启迪思维，培养能力教学难点：通过学生交叉运用正、逆向思维，强化学生对知识和方法的理解、掌握、变通【方法阐释】采用心智数学教育方式中变式教学模式进行教学：主要分“创设情景、引入新课，自主

4、探究、引发变式，变式训练、逐步拓展，归纳总结、升华提高”四个教学环节通过探究、变式训练、小组合作等教学过程，师生对探究问题的进行各种各样的变式，使之貌似原题，又不同于原题，并拾级而上，让学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题，加深对知识内涵、外延的理解，以求在变化中拓宽思想、激发思维；使学生感到轻松、愉快，在学生的脑海中留下了深刻印象，既分清了问题的变化类型，又把所学知识系统地运用，从中获得概括的知识，把握了探究问题中所衍生出的不同类型，使之从单一化、固定化模式中转入多棱化、多角化和多面化模式，从而获得上升性思维能力教学手段：多媒体、实物投影仪【课堂设计】一、创设情景、引入新课教师：我们学过

5、椭圆、双曲线、圆的方程，给定一个方程，就能判断它表示什么曲线同学们看这个方程表示什么曲线？引例：方程x 2y22 m41能表示什么曲线？为什么？m我的思考： 引例的设计，一方面让学生意识到参数的变化会带来曲线类型的变化，为下面的变式训练的做好准备，另一方面让学生初尝变式的乐趣学生思考，解答，组内交流，说明答案投影学生1 的答案：1 ）当 m2时， 2m0， 4m0 ，曲线表示焦点在y 轴的双曲线；2）当 2m 1时， 4m2m0 ，曲线表示焦点在y 轴的椭圆；3）当 m1时，2m4m3，曲线表示圆；4）当 1m 4时， 2m4m0 ，曲线表示焦点在x 轴的椭圆；5）当 m4时， 2m0 ， 4

6、m0 ，曲线表示焦点在x 轴的双曲线；6）当 m2 或 m4 时，不表示任何曲线；教师：你主要考虑了哪些因素？学生 1 ：主要考虑了x2，y 2 系数的正负及大小关系教师：很好，抓住了问题的关键，从这个引例，我们看到参数m 的变化带来曲线类型的多种变化我们看一个由动点的轨迹确定曲线方程的问题如何求解（出示探究性问题）二、自主探究、引发变式探究性问题：ABC 的两个顶点A 、 B 的坐标分别为（-6， 0）和（ 6，0），边 CA 、 CB 所在的直线的斜率之积为4 ，求顶点C 的轨迹9我的思考： 人教版（ A 版）数学（选修1-1）第二章2 2 双曲线，探究问题的变式题为便于学生计算，将学习重

7、心放在题目变化上，笔者对数据进行了优化，条件改为三角形，让学生注意轨迹的纯粹性学生独立解答，教师实物投影学生2 答案学生 2：设顶点 C 的坐标为（ x， y），由题意得： K CA4K CB9即 y0y04 ，整理得 x2y21x6x693616因为， A 、 B、 C 三点构成三角形，所以x2y20361 y16所以，顶点C 的轨迹为焦点在x 轴的双曲线（除去A 、 B 两点）。教师：好，这位同学的解答非常全面，利用斜率找到了动点满足的等量关系，并且考虑到了三角形这个容易忽视的条件大家来观察，如果我们将条件中的4 改变为4，结果会怎样呢？99三、变式训练、逐步拓展变式1：ABC 的两个顶点

8、A、B的坐标分别为（-6， ）和（，），边AC、BC所在的直线06 0的斜率之积为4，求顶点 C 的轨迹9学生练习，教师巡回，对个别学生存在问题指导教师投影解答：设顶点C 的坐标（ x， y），由题意得： K CA K CB49即， y0y04 整理得 x2y21x6x693616因为， A 、 B、 C 三点构成三角形，所以x2y21 y03616所以，顶点C 的轨迹为焦点在x 轴的椭圆（除去A、B 两点）。教师：我们没有改变原题基本数据，只是将斜率之积稍加改变，变成如上的变式1，解题的方法没有发生改变，结论有变化吗？请同学们说明，为什么变化？学生 3：结论变了， 由（除去 A 、B 两点）

9、的双曲线变为除去两点（除去 A 、B 两点）的椭圆 变化的原因是4 变为4吧！99教师：回答非常到位哪个同学还能对这个题目加以变化，做一个小命题专家呢？同学们的兴趣立刻被调动了起来，大家争先恐后的议论起来学生 4：我发现，刚才A 、 B 恰好是双曲线的顶点，我们可以变化A， B 点的位置到y 轴上变式 2： ABC 一边的两个端点的坐标分别为 A （ 0， -6）和 B（ 0，6），另两边所在直线的斜率之积为 4 ，求顶点 C 的轨迹方程9教师：很好，改变已知点所在坐标轴，总体说来，计算过程应该相似现在，大家能否根据上面的题目，直接类比得结论吗？我的思考： 至此，学生已经基本掌握此类问题的精髓

10、，改变已知点所在坐标轴，虽然适当加大了题目的难度，但总体说来，这种变式，学生还是容易接受的学生5：相当于变化了焦点所在的轴吧！我想方程应该是y 2x236116解：设顶点C 的坐标（ x，y），由题意得：K CAK CB49即 y6y64 ，整理得 y2x 21x0x093616因为A 、 B、 C 三点构成三角形，所以y 2x21 x 03616教师：解题方法没有改变，结论变化了但仍然为除去两点的双曲线，把探究问题中的4 改为91 呢？变式 3： ABC 的两个顶点 A、 B 的坐标分别为（ -6， 0）和（ 6，0），边 CA 、 CB 所在的直线的斜率之积为 1，求顶点 C 的轨迹学生

11、6：还是双曲线，方程为x 2y 21（ y0）教师：好，在下一节我们将要看到，这样的双曲线叫做等轴双曲线如果把探究性问题中的4 改9为-1 呢？学生：（笑了）教师：太简单了？！学生 7：这实际上就是以AB 为直径的圆，除去与x 轴的两个交点教师：从上面的题目解答和观察，你能得出什么结论呢？学生 8：从探究性问题及其变式，我们可以知道：边AC 、 BC 所在的直线的斜率之积为负数，则顶点 C 的轨迹为椭圆，特殊情况下为圆；边AC 、BC 所在的直线的斜率之积为正数，则顶点C 的轨迹为双曲线，与A,B 所在坐标轴无关教师：从斜率之积为4 ，变化到4 、 1、和 -1，这是偶然的巧合，还是其中存在着

12、一定的规律99呢？于是，我们容易想到下面的变式，将斜率之积变为一个一般的参数m（m 为非零常数）呢？我的思考： 至此学生对在具体数字方面的变化已不再感兴趣，必须有一个较大的变化才会引起学生更大的兴趣，从具体数字到抽象的一般参数m，是思维的一次飞跃变式 4： ABC 的两个顶点 A、 B 的坐标分别为（ -6， 0）和（ 6，0），边 AC 、 BC 所在的直线的斜率之积为 m（m0），求顶点 C 的轨迹方程，并说明曲线形状（学生小组讨论，在得到方程后，有的学生陷入了困惑，该怎么说明呢？）教师：对于出现的问题，请同学们先独立思考，然后再进行小组交流、讨论，解决不了的问题，提出困难在什么地方，并说

13、明能解决到哪一步经过一段时间的合作学习，全班 8 个小组普遍能够求出方程，在分析曲线形状时，也找到了切入点，与引例是相似的投影解答：设顶点 C 的坐标（ x， y），由题意得：K CA K CBm即 y0y0m ，整理得 x2y 21x6x63636m因为 A 、 B、 C 三点构成三角形，所以x2y2y 036136mx2y 21 y0是焦点在 x 轴的双曲线，除去A、B 两点；当 m 0 时，方程36m36当 -1 m 0 时，方程 x2y21y0 是以 AB 为长轴，离心率为1 m 的椭圆，除去3636mA,B 两点；当 m=-1时，方程 x2y21 y0是以 AB 为直径的圆，除去A,

14、B 两点；3636m当 m -1 时，方程 x2y 21y 0是以 AB 为短轴，离心率为1m 的椭圆，除去 A,B3636mm两点学生 9：老师，我们还可以让A,B点坐标更一般化， A( a,0), B(a,0)( a0) 教师：好，字母增多了，要注意仔细计算（学生练习3 分钟）变式 5：设 A(a,0), B(a,0)( a0) 是曲线 C 上两定点， 点 P 是曲线上除 A 、B 以外的动点， 直线 AP、 BP 的斜率分别为kAP,kBP且kAP kBPm（ m 为不为零的常数） ，求曲线 C.学生 9 板演：设 C 的坐标（ x， y），由题意得： K CA K CBm即 y0y0m

15、 ，整理得 x2y21xaxaa2a2m当 m 0 时，方程 x2y21 是以 AB 为实轴，离心率为1 m 的双曲线，除去A,B 两点；a2a2 m当 m=-1 时，方程x2y21是以 AB 为直径的圆，除去A,B 两点；a2a2m当 -1 m 0 时，方程 x2y21表示以 AB 为长轴，离心率为1 m 的椭圆，除去 A,B 两a2a2m点；当 m -1 时，方程x2y21 是以 AB 为短轴，离心率为1 mA,B 两点a2a2 mm的椭圆，除去学生惊喜之极，问题得到顺利解决教师：刚才我们主要是对题目条件变化，如果我们将条件和结论互换呢？我们来看新的命题：变式 6：若 A ，B 是双曲线

16、C： x2y21上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，a2b2当直线 PA， PB 的斜率都存在，并记为kAP ,kBP ，证明： kAP与 kBP 之积是与点 P 无关的定值学生兴奋到了极点，跃跃欲试，积极观察，并进行了解题的四步曲分析，书写证明证明：由题意设A 的坐标为（x0 , y0 ），则 B（x0 ,y0 ），设 P 的坐标为（x, y ）则 kAP kBPy y0 y y0y2y0 2xxxxx2x 2000因为 P、A 都在双曲线x2y21上a2b2所以 x2y21， x0 2y0 21a2b2a2b222y2( x21)b2 ， y02( x021)b2aakAPkB

17、Py2y0 2b2 x2x02b2与 P无关x2x0 2a2 x2x02a2教师：问题解答非常漂亮，下面请同学们独立解决变式7变式 7：试对椭圆 x2y 21写出具有类似特性的性质，并加以证明a2b2性质： 若 A ，B 是椭圆C：x2y21上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直a2b2线 PA， PB 的斜率都存在，并记为kAP , kBP ，那么 k AP与kBP 之积是与点 P 无关的定值学生10 证明：由题意设A 的坐标为（ x0 , y0 ）， B（x0 , y0 ），P 的坐标为（ x, y ）则 kAP kBPy y0 y y0y2y0 2x x0x x0x2x0 2

18、因为， P、A 都在椭圆 x2y21上a2b2所以， x2y 21， x02y021a2b2a2b2(1 x22y22 )b2 ， y02(1 x02 )b2aakAPkBPy2y02b2x02x2b2 与 P 无关x2x0 2a2 x2x0 2a2四、归纳总结、升华提高教师：从变式 6 和 7，大家能总结出什么结论呢？学生 11：若 A ，B 是双曲线 C： x2y21上关于原点对称的两点，点 P 是双曲线上任意一点，a2b2当直线 PA， PB 的斜率都存在，那么kAP, kBPb2a 2若 A ，B 是椭圆 C： x2y21上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PA，a2b

19、2PB 的斜率都存在，那么 kAP , kBPb 2，a 2教师：总结的很好，在参考书上， AB 通常称为圆锥曲线的直径，事实上，有关圆锥曲线直径的性质还有很多，请同学们课下继续探讨我的思考： 到此，学生如释重负，有一种成功的喜悦！思维创造性的火花也已点燃课堂教学预设的目标已经完成，我们的课堂教学也该结束了但学生的探究还没有结束，通过探究思考性问题，引导学生在课下继续探究课后探究思考作业（时间一周）：1 查找资料了解有关圆锥曲线直径性质2 （ 1）探究性问题中条件“斜率之积为4”分别改为“斜率之积为0”、“斜率之商是2”、“斜9率之和是4”、“斜率之差是4 ”，试探求点C 的轨迹方程99（ 2

20、）你能否想出与探究问题有关的其它变式问题书面作业： 习题 22, P54A 组 5 题，B 组 3 题【教学链接】相关检索： 圆锥曲线的直径圆锥曲线 (圆、椭圆、双曲线、抛物线)的平行弦的中点轨迹叫做圆锥曲线的直径(1)圆锥曲线的直径的图形，可以是一条线段(圆和椭圆的直径)，可以是一条射线(抛物线的直径 )，可以是一条直线或一条直线上的两条射线(双曲线的直径)(2) 椭圆的直径与圆的直径不同同一圆的直径都相等，同一椭圆的直径长度可以不等（ 3）椭圆的方程写成x2y21的形式，可不考虑 、 的大小关系22222222例。 求椭圆 x+y=中，斜率为 k 的平行弦的中点轨迹解：斜率为 k 的平行弦的直线系方程是y=kx+m ，其中 m 是参数代入椭圆方程，得222222x +(kx+m)=，222222222整理，得 ( +)x+2mkx+m =0k22消去参数m，得 x+ ky=0 这是一条直线，经过椭圆的中心，据题意，所求轨迹应是这条直线在椭圆内的线段【教有所思】在全面推进素质教育的今天，教学中要对例习题进行全面合理的设计，面向全体学生，充分发挥例习题的内在潜能，不仅使学生听懂，而且还要拓展学生数学思维，培养学生的创新能力一道课本探究题通过变式，从特殊到一般，改变背景将其推广，让