高中数学_椭圆_知识题型总结

1、教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意： 若，则动点的轨迹为线段；讲练结合一若.椭圆的定义，则动点的轨迹无图形.1若ABC 的两个顶点A4,0 , B 4,0，ABC 的周长为18 ，则顶点C 的轨迹方程是知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：轴上时，椭圆的标准方程：，其中，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，

2、椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。讲练结合二利用标准方程确定参数1椭圆 x2y21 的焦距为 2 ，则 m =。4m2椭圆 5x2ky 25 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k。知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（ 1）对称性对于椭圆标准方程，把 x 换成 x，或把 y 换成 y，或把 x、y 同时换成 x、 y，方程都不变，所以椭圆是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（ 2）范围椭圆上所有的点都位于直线 x=±a 和 y=± b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标

3、满足 |x| a， |y| b。（ 3）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆（ab 0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A 1（ a，0），A 2（ a， 0），B1（0， b）， B2（0，b）。线段 A 1A 2 ，B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴， |A1A 2|=2a， |B1B2 |=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（ 4）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。因为 ac 0，所以 e 的取值范围是 0e1。e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而越小，因此椭圆越扁；反之， e 越接近于 0，c 就越接

4、近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b 时， c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。椭圆的图像中线段的几何特征（如下图） ：（1），；（2），；（3）,，；知识点四：椭圆与（ab 0）的区别和联系标准方程图形焦点，焦距范围，性质对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点，轴长轴长 =，短轴长 =离心率准线方程焦半径，注意：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有ab0 和，a2=b2 +c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。题型一椭圆焦点三角形面积公式的应用定理在椭圆 x2y21（ a b 0）中，焦

5、点分别为 F1 、 F2 ，点 P 是椭圆上任意一点，F1 PF2，a2b 2则 S F1PF2b2 tan .yP2证明：记 | PF1 |r1 , | PF2|r2 ，由椭圆的第一定义得Pr1r22a, (r1 r2 ) 24a2 .F 1OF 2x在 F1 PF2222r1r 2 cos(2c) 2 .中，由余弦定理得：r1r2配方得： (r1r2) 2 2r1r22cos4c2 .r1r2即 4a22(1 cos)4c2 .r1r2r1r22(a 2c 2 )2b2.1cos1cos由任意三角形的面积公式得：1sin2 sincosS F1PF2r1 r2 sinb2b222b2tan

6、 .2 cos221cos22S FPFb 2 tan .122典题妙解例 1若 P 是椭圆 x2y 21上的一点， F1、 F2 是其焦点，且F1PF2 60 ，求10064 F1 PF2 的面积 .x 2y26, 而60 . 记 | PF1 | r1,| PF2 | r2 .解法一：在椭圆1001中， a 10, b 8, c64点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：r1r22a20.在 F1 PF22r22(2c) 2 .中，由余弦定理得：r12r1r 2 cos配方，得： (r1r2 ) 23r1r2144.400 3r1r2144. 从而 r1r2256 .3S F1 PF21 r1

7、r2 sin1256364 3.22323解法二：在椭圆x 2y 21中， b264 ，而60 .10064S F1PF2b2 tan64 tan 30643 .23解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知 P 是椭圆 x 2y 21上的点， F1、 F2分别是椭圆的左、右焦点，若PF1 PF21 ，则259|PF1 | |PF2 |2F1PF2 的面积为（）A. 33B.23C.3D.33解：设F1PF2，则 cosPF1PF2160 .|PF1|PF2 |，2S F1PF2b2 tan9 tan3033.2故选答案 A.练习6已知椭圆的中心在原点，F1、

8、F2 为左右焦点， P 为椭圆上一点，且PF1 PF21 ， F1 PF2的面|PF1| |PF2|2积是 3 ，准线方程为 x43，求椭圆的标准方程 .3参考答案6 解：设F1 PF2，cosPF1PF21 ,120 .|PF1 | |PF2|2S F1PF2b2 tanb2 tan 603b23 ，b1.2又a24 3 ，即 c2b2c 21c1 4 333 .c3ccc33c33.或 c3当 c3 时， ab2c 22 ，这时椭圆的标准方程为x2y21；4当 c3时， ab 2c 22 3，这时椭圆的标准方程为x2y21 ；3343但是，此时点 P 为椭圆短轴的端点时，为最大，60 ，不

9、合题意 .故所求的椭圆的标准方程为x2y 21.4题型二中点弦问题点差法x2y21P(x0 , y0 ) 为中韦达定理 ”或“ 点差法 ”求解。在椭圆 a2b2中点弦问题：遇到中点弦问题常用“中，以点的弦所在直线方程？例 3.过椭圆x 2y2M 点平分，求这条161内一点 M ( 2， 1) 引一条弦，使弦被4弦所在的直线方程。分析： 本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。解：法一设所求直线方程为 y1k ( x2) ，代入椭圆方程并整理，得( 4 k 21) x2( 2k 2k ) x 4( 2k1) 2160，又设直线与椭圆的交

10、点为A( x1 ， y1 ) 、 B(x2 ， y2 ) ，则 x1、 x2 是方程的两个根，于是8(2kx1 x24k22k) ，1又 M 为AB的中点，x1 x24(2k 2k )2，解之得 k1 ，故所求直线方24k 212程为 x2 y40法二设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1 ) 、B( x2 ，y2 ) ，M (2，1)为AB的中点， x1x24， y1y22，又 A、 B两点在椭圆上，则x124 y1216， x224y2216，两式相减得 ( x2x2 )( y 2y2 )012412 y1y2x1x21x1x24( y1y2 )2即 k AB1 ，故所求直线为 x2 y 4

11、02点差法过点， 的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为2 的椭圆 C 相交于 A、1.(1 0)2B 两点，直线y= 1 x 过线段 AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l2对称，试求直线l 与椭圆 C 的方程 .命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键 .技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得

12、关于直线AB 斜率的等式 .解法二，用韦达定理 .解法一：由 e= c2得 a 2b21从而2 2a2 ,a 22,a =2b ,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 .则x1222222两式相减得，2212122=2b ,(x1x2+2y=2b ,x+2y)+2(y2y1y2x1 x2.y2 )=0,x22( y1y2 )x1设 AB 中点为 (x00则AB x0又0 0在直线y=1x上， 010于是 x0=,y ),k =,(x ,y )2y =2x ,2y02 y0 1,kAB=1,设 l 的方程为 y= x+1.右焦点 (b,0)关于 l

13、 的对称点设为 (x,y),y1则 x bx1解得yx b 1y1 b22由点 (1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 9 ,a 29 .168所求椭圆 C 的方程为 8 x216 y299=1,l 的方程为 y=x+1.解法二：由 e=c2,得a2b21,从而 a2=2b2,c=b.a2a 22设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x1),将 l 的 方 程 代 入 C 的 方 程 ， 得 (1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=0, 则1 214k 21211)+k(x21)=k(x12 2kx +x =2k 2,y +y =k(x+x

14、)2k=12k 2 .直线 l：y=1x过AB的中点(x1 x2, y1y2),则k12k2解得，或k=22212k2212k2,k=01.若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆 C 上，所以 k=0 舍去，从而 k=1，直线 l 的方程为 y= (x1),即 y=x+1,以下同解法一 .题型三弦长公式与焦半径公式1、一般弦长公式弦长公式：若直线ykxb 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 x1, x2 分别为 A、B 的横坐标，则 AB 1 k2 x1 x2AB 11y1y2，（若 y1, y2 分别为 A、B 的纵坐标，则k

15、 2），若弦 AB 所在直线方程设为x kyb，则AB1 k 2 y1y2。2、焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数ce( 0e1) 的动点 M 的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为a椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。注意： 对 x 2y 21(a b0) 对应于右焦点 F2 (c， 0) 的准线称为右准线，a 2b2方程是 xa 2，对应于左焦点F1(，0)的准线为左准线a 2ccxc e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到

16、相应准线的距离的比。2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。对于椭圆 x 2y 21( ab0)，设 P( x， y)为椭圆上一点，由第二定义：ab2r左cc · a2左焦半径 r左ex0a ex0a 2x0aacc右焦半径r右cr右aex02aax0c已知点 P 在椭圆 y 2x 21( ab0) 上， F1 、F2 为椭圆的两个焦点，求| PF1|·| PF2 |的取值范围a 2b 26. 解：设 P( x0，y0 ) ，椭圆的准线方程为 y± a2，不妨设 F1、 F2 分别为下焦点、上焦点c则| PF1|c|PF2 |c

17、a 2a，2ay0acy0ccy0a， | PF2 |ac|PF1|y0aac y0 )(ac y0 )2|PF1|·| PF2| (aa2 c 2 y0 2aaa ay0a ，当 y00 时， | PF1|· |PF2 |最大，最大值为 a 2当 y0aPFPF2 |最小，最小值为a 2c2b2± 时， | 1|·|因此， |PF1 |·|PF2 |的取值范围是 b2 ， a 2 例 2.椭圆 x2y21的焦点为 F1、 F2 ，点 P为其上的动点，当 F1 PF2 为钝角94时，点 P 横坐标的取值范围是_ 。（ 2000 年全国高考题）分

18、析： 可先求 F PF 90°时， P 点的横坐标。12解：法一在椭圆中， a3，b2， c5，依焦半径公式知 |PF1|35 x，3|PF2|35 x，由余弦定理知F1 PF 2 为钝角| PF1 |2 | PF2 |2|F1 F2 |23(35 x) 2(35 x) 2(2 5)2x 29 ，应填3x333555法二 设 P( x， y) ，则当 F1 PF2 90°时，点 P的轨迹方程为 x 2y25，由此可得点 P的横坐标 x± 3 ，点 P在 x轴上时， F1 PF20；点 P在 y轴上5时， F1 PF2 为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是3x35

19、5题型四参数方程3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a、 b（ a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA与小圆的交点，过点 A 作 AN Ox，垂足为N，过点 B 作 BN AN，垂足为M，求当半径OA绕 O旋转时点M的轨迹的参数方程。解： 设点 M 的坐标是 ( x， y) ，是以 Ox为始边，为终边的正角，取为参数。那么 xON|OA|cosxa cosyNMy(1)|OB|sinb sin这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”说明： <1> 对上述方程（1）消参即xcosx 2y 2a1 普通方程ysina 2b2b<2>由以

20、上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。直线与椭圆位置关系：x2y21 y kx ba2b2求椭圆上动点P（ x， y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l ' l且 l '与椭圆相切）例4.已知椭圆x28 y28，在椭圆上求一点P，使 P到直线l： xy40的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一设 P(22 cos， sin )( 由参数方程得 )|22 cossin4| |3sin()4|则d22其中 tan2 2，当时， dmin12222此时 cossin22 ， sincos133即P点坐标为

21、 P( 8 ， 1) 3 3法二因l与椭圆相离，故把直线 l 平移至 l' ，使l ' 与椭圆相切，则 l与l ' 的距离，即为所求的最小值，切点为所求点(l ''最大 )设l：x ym0xym0消 得，则由'x28y 28x9y22mym280，令4249(m280m×)解之得 m±3，(3为最大 ) ，由图得 m3此时P( 8， 1)，由平行线间距离得 l min2332椭圆 x2y2（）的离心率e2， 、 是椭圆上关于坐标不对称的a2b21 ab 0A B3两点，线段 AB的中垂线与 x轴交于点（P，1 0）。（1）设

22、AB中点为 C（x0，y0），求x0的值。（2）若F是椭圆的右焦点，且 AFBF3，求椭圆的方程。（1）令 A（ x1， y1）、 B（x 2，y 2）则x1x22x 0， y1y 22y 0y1y21x 0x1x2y0由e2c 2a2b 24b 253a3a29a 29又 A、 B在椭圆x 2y21上a 2b 2b2 x12a 2 y1 2a 2b 2b2 x2 2a 2 y2 2a 2b 22x ）（ xx2y）（ yy） 0b（ x11） a（y122212（ x1x 2） b 2 x0a 2 y（0 y1y 2） 0y1y2b 2 x05x0x1x2a 2 y09 y 05x01 x0

23、5x099x 09y 0y 09x 04（2）AFBF3AFcBFAFaex1又a 2a 2x1aBFaex2cx2caex1aex232a2x ） 3（ x312x1x22x0922a33a3b 2c2c 25a3所求椭圆方程为x 2y 21951椭圆 x2y21 的焦点为 F1 、 F2 ， AB 是椭圆过焦点 F1 的弦，则 ABF2 的周长是。9252设 F1 ， F2 为椭圆 16x 225 y 2400 的焦点， P 为椭圆上的任一点，则PF1F2 的周长是多少？PF1F2 的面积的最大值是多少？3 设点 P 是椭圆 x2y21 上的一点，F1 , F2 是焦点，若F1 PF2 是

24、直角，则F1PF2 的面积2516为。变式：已知椭圆 9x 216y 2144，焦点为 F1 、 F2 ， P 是椭圆上一点若F1 PF260 ，求PF1F2 的面积五离心率的有关问题1. 椭圆x2y211，则m4m的离心率为22. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 1200 ，则此椭圆的离心率 e 为3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2 ，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2 为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5. 在 ABC 中，A300 ,|AB|2,S ABC3若以 ，B为焦点的椭圆经过点C，

25、则该椭圆A的离心率 e讲练结合六 . 最值问题1. 椭圆x 22两焦点为 F 、F，点 P 在椭圆上，则|PF | ·|PF| 的最大值为 _，最小值为 _y 1121242、椭圆 x 2y2两焦点为1、F2， A(3，1) 点 P 在椭圆上，则 |PF1|+|PA| 的最大值为 _，最251F16小值为 _3、已知椭圆 x 2y21，A(1，0) ，P 为椭圆上任意一点， 求|PA| 的最大值最小值。44. 设 F 是椭圆 x2 y23224=1 的右焦点 , 定点 A(2,3) 在椭圆内 , 在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF| 最小 ,求 P点坐标最小值.知识点四：椭圆与（

26、ab 0）的区别和联系标准方程图形焦点，焦距范围，性质对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点，轴长轴长 =，短轴长 =离心率准线方程焦半径，注意：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有ab0 和，a2=b2 +c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心， 两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点， 对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 a、 b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中

27、的三个量a、b、c 的几何意义椭圆标准方程中， a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，a c0，且 a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、 b、 c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边， b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、 y2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程 Ax2 +By2=C（ A、 B、 C 均不为零）表示椭圆的条件方程 Ax 2+By2=C

28、可化为，即，所以只有 A 、 B、 C 同号，且 A B 时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在x 轴上；当时，椭圆的焦点在y 轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型， 设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c 相同。与椭圆（ab0）共焦点的椭圆方程可设为（ k b2）。此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于 x 轴、 y 若把曲线方程中的若把曲线方程中的若把曲线方程中的轴、原点对称的依

29、据：x 换成 x，方程不变，则曲线关于 y 轴对称； y 换成 y，方程不变，则曲线关于 x 轴对称；x、y 同时换成 x、 y，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何解决与焦点三角形 PF1F2（ P为椭圆上的点）有关的计算问题？与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.9如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为 c2=a2b2，a c 0，用 a、b 表示为，当越小时，椭圆越扁， e 越大；当越大，椭圆趋近圆， e

30、越小，并且 0e1。课后作业1 已知 F1(- 8， 0)， F2(8， 0)，动点 P 满足 |PF1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为 ()A 圆B 椭圆C 线段D 直线x 2y21 左右焦点为 F1、 F2， CD 为过 F1 的弦，则CDF 1 的周长为 _2、椭圆9163 已知方程x 2y2)1 k11 表示椭圆，则 k 的取值范围是 (kA - 1<k<1B k>0C k 0D k>1或 k<-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为 6(2)长轴是短轴的2 倍，且过点 (2， 1)(3) 经过点 (5， 1)， (3， 2)5、若