第9振动与第10章波动复习与习题

1、1. .受力特征：物体受回复力作用受力特征：物体受回复力作用kxF2. .运动规律：运动规律：)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAa、TA掌握掌握掌握掌握1. .振幅振幅2020vxA2. .初相初相00 xvtg3. .圆频率圆频率4. .周期周期2Tmk2 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动. .xA熟练掌握用旋转熟练掌握用旋转矢量法确定初相矢量法确定初相21,2、连接、连接OM、ON，得初位，得初位相的两个可能值相的两个可能值 ； 3、再根据、再根据V0的正负定的正负定 ：若若V00， 位于三四象限；位于三四象限；若若

2、V00， 位于一二象限。位于一二象限。（已知初始条件：（已知初始条件：t=0 , X0 、V0 )1、先确定、先确定X0位置，过位置，过X0作垂线交圆作垂线交圆M、N两点；两点；xy0A10vMN熟练掌握熟练掌握A A谐振动谐振动旋转矢量旋转矢量 t+t+ T T振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率谐振动周期谐振动周期半径半径初始角坐标初始角坐标角坐标角坐标角速度角速度园周运动周期园周运动周期掌握掌握解解:1):1) 2T1)1)振动方程振动方程; ;2)2)从从x=-0.12mx=-0.12m且向且向X X轴负方向运动这轴负方向运动这一状态一状态, ,回到平衡位置所需的时间回到平衡位置所需的

3、时间. .画出画出t=0t=0时旋转矢量的时旋转矢量的位置位置, ,来确定初相来确定初相. .oMAPx 0,12. 0, 000 vmxt例例1.1. 一物体沿一物体沿X X轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅为为0.24m,0.24m,周期为周期为2s,2s,当当t=0t=0时时 且向且向X X轴正方向运动轴正方向运动, ,试求试求: :mx12. 00 Amxm 0240120. 3所以振动方程为所以振动方程为: :xt 0243.cos() 562Tt tos .833oMAPx 2)M1M2 例例2 2、知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图

4、中数据写出振动表达式。据图中数据写出振动表达式。 解：设运动表达式解：设运动表达式02-22x(m)t(s)1 )tcos(Ax由图可见，由图可见，A A=2m=2m，当，当t t = 0= 0时有：时有：0sin22cos200 vx解得：解得：43 )443cos(2 tx221kAEEEpk1. .两同方向同频率谐振动合成两同方向同频率谐振动合成掌握掌握掌握掌握机械能守恒机械能守恒 Ek 最大时，最大时， Ep最小，最小， Ek 、Ep交替变化。交替变化。)cos(111tAx)cos(222tAx振动合成：振动合成：)cos(21tAxxx分振动：分振动：)cos(212212221A

5、AAAA22112211coscossinsinAAAAtgk21221AAA当当时时|21AAA当当时时)12(12kxTtAy2cosuxtAycos设波源设波源O O的振动方程的振动方程 tAcosyo 当当 u 沿 x 轴轴正向传播正向传播: :uxtAycos 若若 已知已知x=xx=x0 0， uxxtAy0cos tAycos 当当 u 沿 x 轴轴负向传播负向传播: :1. .已知波函数求各物理量。已知波函数求各物理量。2. .已知各物理量求波函数。已知各物理量求波函数。3. .已知波形图，求各物理量和波函数。已知波形图，求各物理量和波函数。任一体积元的动能、势能、总机械能均随

6、任一体积元的动能、势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是作周期性变化，且变化是同相位同相位的的.tx,Ek、EP、E同时达到最大同时达到最大同时达到最小同时达到最小平衡位置处平衡位置处最大位移处最大位移处 yx0 yx0uxx + dx由于质元的由于质元的振动振动而有而有动能动能；由于质元的由于质元的形变形变而有而有势能势能。能量最能量最大大点点: : 能量最能量最小小点点: : y(m)x(m)ou0 01 12 23 34 4思考思考: :0 0、2 2、4 41 1、3 3. .两列波振动方向相同；两列波振动方向相同；. .两列波频率相同；两列波频率相同；. .两列波有稳定的相位差。

7、两列波有稳定的相位差。cos2212221AAAAA12122)(rrk2)12(k加强加强减弱减弱. .介质中波动到的各点，都可看成发射子波的介质中波动到的各点，都可看成发射子波的子波源（点波源）。子波源（点波源）。. .任意时刻这些子波的包络面就是新的波前。任意时刻这些子波的包络面就是新的波前。. .几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、传播方向）不变，互不干扰。波长、振幅、传播方向）不变，互不干扰。. .在相遇区域内任一点的振动为各列波在该点在相遇区域内任一点的振动为各列波在该点所引起的振动位移的矢量和。所引起的振动位移的矢量和。1.

8、一物体做谐振动，振幅为一物体做谐振动，振幅为 A，在起始时，在起始时刻质点的位移为刻质点的位移为 A/2 且向且向 x 轴的负方向轴的负方向运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：OAx)A(2/A D OAx2/A)B(OAx)C(2/AOAx)D(2/A2.一质点做谐振动，其振动方程为一质点做谐振动，其振动方程为: : x =6.0102cos(t /3 /4)，(SI)（1）振幅、周期、频率及处位相各为多少？振幅、周期、频率及处位相各为多少？（2）当当 x 值为多大时，系统的势能为总能量值为多大时，系统的势能为总能量的一半？的一半？（3）质点从平衡位置移动到此

9、位置所需最短质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？时间为多少？解：解：,m106)1 (2A，3/2,Hz61（2）势能势能总能总能由题意，由题意，（3）从平衡位置运动到）从平衡位置运动到的最短时间为的最短时间为 T / 8。,2/2kxEp2/2kAE,4/2/22kAkx2/Axs75.08/62T1,s64/m1024.42x 3 一质点作周期为一质点作周期为T的简谐运动，质点由平的简谐运动，质点由平衡位置向正方向运动到最大位移一半处所衡位置向正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为需的最短时间为( (A）T/2 （B）T/4 ( (C) )T/8 （D）T/12解解 用矢量图

10、法求解用矢量图法求解AoMNxA/2 6/tT/212/Tt 4 两个简谐振动曲线如图所示，两个两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比简谐振动的频率之比 _，加速，加速度最大值之比度最大值之比a1m：a2m=_，初始速率之，初始速率之比比 _.2：14：12：1解解x1xx2to21:2010:vv1:2:2:1:2121TTAa2mAmv 5 一质点作简谐振动，速度的最大值一质点作简谐振动，速度的最大值 ，振幅，振幅A=1 cm t=0时,速度具有速度具有负负最大值最大值，求振动表达式，求振动表达式解解t=03=3=A=mv)+tcos(01.0=xo m )2+t 3cos(01

11、. 0=x1mscm 3=v 6 一质点作简谐运动，其振动方程为一质点作简谐运动，其振动方程为 试用旋转矢量法求试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到出质点由初始状态运动到 x=-0.12 m， v0的的状态所经过的最短时间状态所经过的最短时间 m )3121cos(24. 0txto0.24 解解13-0.12s 323t7 已知某简谐运动的运动曲线如图所示，位已知某简谐运动的运动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间的单位为秒，求此简移的单位为厘米，时间的单位为秒，求此简谐运动的方程谐运动的方程x/cmt/s1-1-20 解解 用矢量图法求解用矢量图法求解设运动方程为设运动方程为)cos(t

12、Ax( (1) ) 的确定的确定( (2) ) 的确定的确定32-1t=02-2o34 t=1cm )3234cos(2tx3434t)3/2cos(tAx32)cos(tAxx/cmt/s1-1-208.8.一物体作简谐振动，振动方程一物体作简谐振动，振动方程为为 在在 t t = = T T/4/4（T T为周为周期）时刻，物体的加速度为期）时刻，物体的加速度为 (A) (B) (A) (B) (C) (D) (C) (D) 2221A)41cos(tAx2221A2321A2321ABB9.9.一弹簧振子沿一弹簧振子沿x x轴作简谐振动（弹簧为轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作

13、原长时振动物体的位置取作x x轴原）已轴原）已知振动物体最大位移为知振动物体最大位移为x xm m = 0.4 m,= 0.4 m,最大最大恢复力为恢复力为F F m m = 0.8 N = 0.8 N，最大速度为，最大速度为v vm m = = 0.80.8 m/s m/s，又知，又知t t = 0 = 0的初位移为的初位移为+0.2 m+0.2 m，且初速度与所选且初速度与所选x x轴方向相反轴方向相反 (1) (1) 求振动能量；求振动能量； (2) (2) 求此振动的表达式求此振动的表达式 kAFmmxA mmxFk/解：解：(1) (1) 由题意由题意 JxFkxEmmm16. 0=

14、21=21=22mmmxAvv)312cos(4 . 0tx (2) rad /s由旋转矢量法得：由旋转矢量法得：31制SI25xt1005cos0y .解：解：例例1. 已知一波动方程为：已知一波动方程为：求：波长、频率、波速和周期求：波长、频率、波速和周期制SI2xt1005sin. 0y)(2cosxTtAy 1）波动方程波动方程2 书书例例1 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播，轴正方向传播， 已知振已知振幅幅 ， ， . 在在 时坐标时坐标原点处的质点位于平衡位置沿原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动轴正方向运动 . 求求 0tm0 . 2m0 . 1As

15、0 .2T0,0tyyv00 xt解解 写出波动方程的标准式写出波动方程的标准式yAO2)22(2cos0 . 1xty2）求求 波形图波形图.)sin( 0 .1xs0.1t2cos0 .1xy波形方程波形方程s0.1t2)0 .20 .2(2cos0 .1xtyom/ym/x2.01.0-1.0 时刻波形图时刻波形图s0.1t3） 处质点的振动规律并做图处质点的振动规律并做图 .m5 . 0 xcos0 . 1ty2)0 . 20 . 2(2cos0 . 1xty 处质点的振动方程处质点的振动方程m5 . 0 x0m/y1.0-1.0s/t2.0Oy1234*1234处质点的振动曲线处质点

16、的振动曲线m5 . 0 x1.0例例1 1：如图所示，平面简谐波向右移动速度如图所示，平面简谐波向右移动速度 u u =0.08 m/s=0.08 m/s，求：求：. .振源的振动方程；振源的振动方程；. .波函波函数；数；. . P P 点的振动方程；点的振动方程；. . a a、b b 两点振动两点振动方向。方向。解：解：. .振源振源2 .02m4 .0uT/T/2/2u)cos(tAy5/2oyxuabPm2 .0m04.04 .0/08.02oyxuabPm2 .0m04.02/t = 0 时时，o点处的点处的质点向质点向 y 轴负向轴负向运运动动 . .波函数波函数振源的振动方程振

17、源的振动方程252cos04.0ty208.052cos04.0 xtyoy. . P 点的振动方程点的振动方程Pxm4 .0208.04 .052cos04.0ty2552cos04.0ty. . a、b 振动方向振动方向oyxuabPm2 .0m04.0例例1: :波源振动方程为波源振动方程为)m( 5cos1062ty它所形成的波以它所形成的波以2.0m/s的速度在一直线上传播。的速度在一直线上传播。求：求：. .距波源距波源6.0m处的一点的振动方程处的一点的振动方程；. .该点与波源的相位差该点与波源的相位差；. .该波的振幅、频率、波长该波的振幅、频率、波长。解：解： . .由波函

18、数由波函数)/(cosuxtAy0 .25cos1062xtym 0 .6x0 .25cos1062xty处振动方程处振动方程535cos1062tytt553553. .该点与波源的相位差该点与波源的相位差；. .该点的振幅、波频、波长该点的振幅、波频、波长535cos1062tym1062A振幅振幅波频波频225/Hz 1 .0波长波长u1 .00 .2m202.2.某质点做简谐振动，周期为某质点做简谐振动，周期为 2s2s，振幅为，振幅为 0.06m0.06m，开始计时，开始计时 ( (t t=0)=0)，质点恰好处在，质点恰好处在A A/2 /2 处处且向负方向运动，求：且向负方向运动

19、，求：（1 1）该质点的振动方程；）该质点的振动方程；（2 2）此振动以速度）此振动以速度 u u = 2m/s = 2m/s 沿沿 x x 轴正方向传轴正方向传播时，形成的平面简谐波的波动方程；播时，形成的平面简谐波的波动方程；（3 3）该波的波长。）该波的波长。 解解：T2)1(,s106.0A振动方程振动方程)SI( 3/cos06.00ty（2）波动方程，以该质点的平衡位置为坐标原波动方程，以该质点的平衡位置为坐标原点，振动的传播速度方向为坐标轴正方向。点，振动的传播速度方向为坐标轴正方向。3/cos06.0uxty)SI( 3/2/cos06.0 xt（3）波长波长uTm43/ 1.

20、在下面几种说法中，正确的说法是：在下面几种说法中，正确的说法是： C （A）波源不动时，波源的振动频率与波动的波源不动时，波源的振动频率与波动的频率在数值上是不同的；频率在数值上是不同的；（B）波源振动的速度与波速相同；波源振动的速度与波速相同；（C）在波传播方向上的任一质点的振动位相在波传播方向上的任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后；总是比波源的位相滞后；（D）在波传播方向上的任一质点的振动位相在波传播方向上的任一质点的振动位相总是比波源的位相超前。总是比波源的位相超前。 2.2.一平面简谐波沿正一平面简谐波沿正x x方向传播，方向传播，t=0 时刻时刻的波形如图所示，则的波形如图所示，

21、则 P 处质点的振动在处质点的振动在 t=0 时刻的旋转矢量图是时刻的旋转矢量图是yAuxoP A )A(oyA)C(Aoy)D(Aoy)B(Aoy3 3、已知一平面简谐波的表达式为已知一平面简谐波的表达式为 （a a、b b为正值常为正值常量），则量），则 (A)(A)波的频率为波的频率为a a (B)(B)波的传播速度为波的传播速度为 b/ab/a (C)(C)波长为波长为 / /b b (D)(D)波的周期为波的周期为2 2 / /a a )cos(bxatAy D D )21cos(4 . 02ta)23cos(4 . 02ta)2cos(4 . 02ta)212cos(4 . 02t

22、a4.4.图示一简谐波在图示一简谐波在t t = 0 = 0时刻的波形时刻的波形图，波速图，波速 u u = 200 m/s = 200 m/s，则图中，则图中O O点点的振动加速度的表达式为的振动加速度的表达式为A AB BD DC Cx (m)1000.1uy (m)O200DD5. 一平面简谐波一平面简谐波的波形曲线如图所示，由此的波形曲线如图所示，由此可知：可知：xyoaba处质元的动能处质元的动能 ,势能势能b处质元的动能处质元的动能 ,势能势能(填：最大或最小填：最大或最小)最小最小最大最大最小最大6.一简谐波沿一简谐波沿X轴正方向传播，图中所示为轴正方向传播，图中所示为t = =

23、T /4 时的波形曲线。若振动以余弦函数表示，时的波形曲线。若振动以余弦函数表示，且各点振动的初相取且各点振动的初相取 到到 之间的值，则：之间的值，则： D uy0 x3214（A）0点的初位相为点的初位相为 0= 0;（B）1点的初位相为点的初位相为 1= /2;（C）2点的初位相为点的初位相为 2= （D）3点的初位相为点的初位相为 3= /2;7. 沿沿x轴负方向传播的一平面简谐波在轴负方向传播的一平面简谐波在t=2s时的波形时的波形如图所示，设波如图所示，设波速速u=0.5m/s，求求：(1)图中图中p点的振动点的振动方程；方程；(2)该波的该波的波动方程。波动方程。py(m)x(m)o1-0.5u 解解 (1)由图可知，由图可知， A=0.5, =2，u=0.5, 所所以以T=4， = /2。故。故 p点的振动方程为点的振动方程为ty2cos(5