奥赛题库2(相对论2)

1、 奥赛题库相对论2郑育坤52042.宇宙飞船地地球出发沿直线飞向某恒星，恒星距地球r=3×1041.y.（光年）。对每一瞬间都与飞船连结在一起的坐标系来讲，前一半路程作匀加速直线运动，加速度a=10m/s2，后一半路程以数值相同的加速度作匀减速运动。试问在飞船上测量，图52-46整个旅程经历了多少时间？计算时只取一级近似。分析：如图52-46所示，设与地球连结在一起的坐标系为S，每一瞬时与飞船连结在一起的坐标系为，因飞船相对地球的速度时刻在变化，故系应当看作是一系列的坐标系，每一瞬间在极短时间内可看作是相对地球作匀速直线运动。在此短时间内，S和均可看作惯性系，故狭义相对论可用。整个旅

2、程是这些无限短的运动过程的组合。设在飞船时间，飞船相对地球的速度为u，即相对S的运动速度为u，此时飞船相对的速度。经极短时间后，飞船相对原来的系速度增量为，相应的加速度。对地球坐标系S而言，与相对应的速度增量设为du。利用速度合成法则可找到du与之间的关系，进而确定飞船在S系中的加速度a与在系中的加速度之间的关系。通过积分运算可求得全程所需的地球时间，利用时间膨胀公式进而可得所需的飞船时间。注意，狭义相对论只适用于惯性参考系，严格说来与飞船连结在一起的参考系是非惯性系。但若把全旅程分割成无限小的单元，作上述处理后就可用狭义相对论的理论来求解了。解：设在地球时间t，飞船的速度为u，系与此时的飞船

3、相连结，故系相对S系（地球系）的运动速度为u。经dt时间后，u的增量为du，在系中的相应增量为。按速度合成法则，有 或 略去高级无穷小，得 （1）式中。由时间膨胀公式，S系和系中的对应时间间隔dt和。有如下关系 （2）由（1）、（2）式，得 式中，分别是飞船在系和S系中的加速度。上式可写为 此式即为这两个加速度之间的关系。需要注意的是，为常量，但a不是常量。把上式改写为 对上式积分，并利用初始条件：t=0时，u=0，得 （3）进而可解出 （4）再次积分，并簏初始条件：t=0时，得 解出 当飞船完成前半程飞行时，所需地球时为 （5）在每段微小运动单元中，S系中的时间间隔dt与系中对应时间间隔之间

4、的关系满足（2）式，再结合（3）式，得 用（4）式，有 积分，有 式中T和分别是飞船走完半程所需的地球时间和飞船时间，得 因加速过程与减速过程所需时间相同，故走完全程所需飞船时间为 （6）由（光年），得 代入（5）式，得 代入（6）式，得 52043.子的电量q=-e(e=1.6×10-19C)，静止质量m0=100MeV/c2，静止时的寿命0=10-6s。设在地球赤道上空离地面高度为h=104m处有一子以接近于真空中光速的速度垂直向下运动。1）、试问此子至少应有多大总能量才能到达地面？2）、若把赤道上空104m高度范围内的地球磁场看作匀强磁场，磁感应强度B=10-4T，磁场方向与地

5、面平行。试求具有第1问所得能量的子在到达地面时的偏离方向和总的偏转角。分析：利用时间膨胀公式可将地球上观测到的子的寿命与静止系中的寿命建立联系。对地球上的观察者而言，子为能达到地面，所具速度必须保证它在时间内走完全程。利用质能公式可得子的相应能量。由于子的动能比重力势能大得多，重力影响可忽略。又因地磁场引起的偏转较小，计算第1问时可不考虑洛伦兹力，因此，可把子近似看成作匀速直线运动。求解第2问时，必须考虑由地磁场引起的洛伦兹力，此力使子产生偏转。因洛伦兹力对子不做功，故其能量保持常值。根据动力学方程和质能公式可写出子坐标所遵从的微分方程，解此微分方程即可求得偏转量。子除受洛伦兹力外，还受地球自

6、转引起的科星奥利力的作用，它对子偏转的影响应作一估算。解：（1）近似地把子看成是作匀速直线运动，速度为，到达地面所需地球时间为 为能到达地面，需满足 式中为地球观察者测得的子寿命，它与的关系为 由质能公式，子的能量为 给合以上诸式，有 代人数据，子至少应有能量 （2）、如图所示，取直角坐标系Oxyz，原点O在地面，x轴指向西，y轴垂直于地面向上指向北。子的初始位置和初速度为 磁场B与z轴方向一致，子所受洛伦兹力为 子的动力学方程为 其中 E=常量 成分量形式为 （1）（2）（1）式对t求导后再将（2）式代入，得 式中 上述方程的解为 因此，有 故得 初条件为 得 最后得子的坐标为 到达地面时，

7、y=0，即有 因，有 子到达地面时的坐标为 朝方向（向西）的偏转角为 落地点向西偏离的距离为 子落地过程需时 此阶段地球表面一点转过的距离为 可见，s«，即由地球自转引起的偏离可以忽略。52045.一个静止质量为M的物理静止在实验室中，裂变为静止质量为m1和m2的两部分，试求裂变产物的相对论动能EK1和EK2。解：根据相对论能量守恒有，化简得： （1）根据相对论动量守恒有 （2）但，将代入（2）式化简得： （3）由、两式可解得： ， 52046.光子火箭的飞行目的地为银河系中心，已知银河系中心离地球的距离为R=3.4×1041.y.（光年）。火箭在前一半旅程以加速度a=10

8、m/s2（相对火箭的静止系）作匀加速运动，而后一半旅程则以同样的加速度作减速运动。火箭到目的地的静止质量M0=1.0×106kg。试问火箭发动机在开始发射时至少需要多大功率？分析：解本题需注意以下几点？首先，光子火箭发动机本质上是将“燃料”物质的质量转化为光辐射能量。令光子束向后喷离火箭，从而使火箭获得向前的动量。在此需用相对论的质能公式和动量守恒定律。其次 ，火箭质量随其速度变化的规律遵从本章题11中的（3）式和（4）式，只要把代入即可。第三，弄清火箭静止系中加速度的含义（参看本章题10分的分析）。火箭速度随时间变化，不是惯性系，当用狭义相对论来解决此类问题时，可在任意时刻t建立坐

9、标系依附于火箭上，系以t时刻的火箭速度作匀速运动，系便是惯性系。然后在系中考察火箭各阶段的运动，若dt时间内火箭速度改变，则加速度。解本题需要利用本章题11和题10的有关结果。解：在火箭的静止系系中测量，火箭作加速度力的加速度运动，根据动力学规律， 有，式中各量均在系中测量，是dt时间内火箭动量的改变，M近似为火箭的静止质量（包括燃料）。由动量守恒，火箭动量增量等于辐射光子束的动量，而后者又与燃料能量改变率dE有关，即 其中利用了质能公式。由（1）式，上式为 火箭发动机功率为 可见，对于给定的加速度，火箭功率由其质量M决定。因此，只需求出火箭的初始质量M0，即可得到初始功率。根据本章题11中（

10、3）式，加速过程中u=c，火箭质量m0用旅程一半的质量MH代入，得 式中M0为火箭初始质量，是加速阶段的终速度，也是减速阶段的初速度，即全程中的最大速度。减速阶段中，。应用本题11的（4）式，有 由以上两式，得 为求旅程中的最大速度，即旅程一半处的，可应用本章题10的（4）式和（5）式。火箭加速与减速阶段转折点的满足 式中t是航程为所需的地球时间，它由本章题10的（5）式给定，为 代入，得 取上述近似是因为»c2。因此，火箭的起始功率为 第一颗原子弹爆炸时，在内释放了约的能量，功率约为。52044.如图52-47所示，光源静止于S系中，某色散介质相对S系沿x方向图52-47以速度v运

11、动。试问，对S系中的观察者而言，光在介质中的传播速度是多少？已知光在静止介质中的波长为，相应的折射率为n，介质的色散率为dn/d。计算时只取一级近似。分析：在系中介质静止，只需算出光在静止介质中的传播速度，根据相对论速度合成公式，便可算出相对S系的传播速度。计算时必须考虑是色散介质，与光波频率（或波长）有关，而介质相对光源有运动，因而必须考虑多普勒效应。解：首先是系中考察，此时光在静止介质中传播。由多普勒效应，光波的波长为 式中，下标“0”表示真空中的波长，是S系中静止光源发出的波长。上式可改写为 略去和更高级的小量，得 故由于多普勒效应引起的波长改变为 已知介质中的波长与真空中的波长之间的关

12、系为 代入，得 静止介质中波长为的折射率为 静止介质中的传播速度为 据速度合成公式，S系中的传播速度为 可见，上述结果比菲涅耳导出的公式多了一个色散项。52048.太空火箭（包括燃料）的初始质量为M0，从静止起飞，向后喷出的气体相对火箭的速度u为常量。任意时刻火箭速度（相对地球）为v时火箭的静止质量为m0。忽略引力影响。试求比值m0/M0与速度v之间的关系。分析：以地球为参考系，设任意时刻火箭速度为，质量为m，在dt时间喷出气体的质量为，火箭速度增量为。取火箭及喷出气体为物体系，忽略引力时，物体系总动量守恒。利用相对论速度合成法则，可得火箭静止质量的变化与速度增量之间的关系。通过积分即可求得任

13、意时刻火箭静止质量与速度之间的关系。解：设在地球参考系中，时刻t火箭的质量为m，火箭的速度为，m与相应静止质量m0之间的关系为 式中，火箭动量为，在时间间隔dt内喷出气体的质量为 喷出气体的速度（相对地球）为，火箭速度增了为，在时刻，系统的总动量为。由动量守恒，有 即 或 由速度合成公式 代入（1）式，得 化简后，得 或 分离变量，得 积分，得 初条件为t=0时，故 代入（2），得 即 上述结果是瞬间关系，即火箭的瞬时静止质量m0与同一瞬间的速度之间的关系。火箭加速时，向后喷气，式中的。火箭减速时，若速度变为零（即）时的终质量为M0（2）式中积分常量，于是有 式中（因向前喷气）。52049.如

14、图52-48所示，惯性系S和S的对应坐标轴互相平行，S系相对S系以速度v沿+z方向运动。S系与某星体连结在一起，两坐标系的原点O和O的图52-48间距小于到全体星体的距离。假定在O处的观察者看到的其他星体的光数各向同性分布，即在任何方向上单位立体角内测得的星体光数N为常量。试求在O处的观察者看到的星体个数的分布。分析：要求的是在系中任何方向单位立体角内观察到的星体个数，它与观察方位有关，为了描述方位，以轴为极轴建立球面极坐标系，纬度以（或）表示，经度以（或）表示，某方位就可用或描述。本题是已知S系中的N，要求出系中的，利用光线传播方向盘的变换式即可求解。解：在S系中，方向的立方体角元可表为 在

15、系中，对应的立方体角元则为 星体个数不因变换而改变，即系中立体角元内的星体个数与S系中对应立体角元内的星体个数应相等，即有 或 因经度是平面内的角度，S系和系的相对运动方向与平面垂直，故 代入，得 （2）光线传播的变换关系式为 式中带号的方位角是光的传播方向与轴的夹角。本题中光从各星体向原点传播，故 上述变换关系式可写为 其逆变换关系为 上式两边取微分，得 即 代入（1）式，得 可见，星体个数的分布与经度无关，即对轴具有轴对称性。当时，则有 由此可见，在S系中星体分布将向系的运动方向聚集，在的极限情形下，所有星体将集中到运动方向上。52051.仔细阅读下面的试题并回答后面所有的问题。超声技术在

16、化学工程中的应用主要是用于测量和探测封闭在容器或管道内的液面高度，下面举这种应用的两个例子。基本原理：影响一束超声进入容器内液体并返回的基本因素有下列几个：容器壁的厚度和材料成份决定容器壁对超声能量的吸收量。对超声来说， 金属容器即使几厘米厚的壁也是完全“透明”的，但许多材料，如防火砖等，则是很“不透明”的。换能器图52-49在超声应用中，另一个更重要的因素是当一束超声遇到两种材料的分界面时，该能量的透射率，能量透射率取决于分界面两边材料的“声阻抗”（Z），一种材料的声阻抗等于这种材料的密度与超声在其中速度的乘积，一种简单情况就是一束超声垂直穿向分界面，其能量透射率为，其中是声阻抗。脉冲回声技

17、术：在这个技术装置中，脉冲通过测试液体，通过对反射脉冲读数就可计算反射面的位置（见图52-49）换能器图52-50在这种用途中最普遍的超声源是一个利用压电效应的换能器，即用一薄圆片压电材料来接受反应两相对面之间电压的迅捷变化，产生的电脉冲就使换能器按其固有频率（通常在之间）很快降低至小值的振幅振荡，超声的方向取决于超声波长和压电片直径的相对大小关系，一个非常小的换能器就是一个“点源”。反射信号也可用类似于产生脉冲的换能器来接收实用中为了方便，常常是用一个换能器来产生和接收的，仅须让反射脉冲在反射脉冲的“死时间”内返回就可。常常是用一个高增益、低噪声的放大器来放大这个反射信号，超声在液体中的传输

18、时间可用譬如50MHz振荡器来决定。计数电路利用初始脉冲来启动，返回脉冲关闭。记下的振荡次数就是间隔的时间，假如超声在液体中的速度已知，那么就能计算液面的位置。近壁衰减：这种技术不依赖于超声在测试媒介中的传输，而是取决于超声在“近壁”的反射，即容器和媒质本身之间的分界面的反射（见52-50）。有人也许会认为这种技术难以区别88%、100%的反射，实际上，只要超声是脉冲，并允许其在壁内来回反射是很容易解决这个困难的，在每次反射中，88%、100%的差别将变得越来越大，然后不断重复，如50次，就能用测信号值或累积反射能量等精确区别它们，这就为控测一个容器内有无液体提供了一条很有用的途径。1（1）根据以上已知的信息，估计超声在密度为的钢中的速度。如超声频率10MHz，估计钢中超声的波长。（2）在这节曾指出：在钢和空气分界面上几乎100%的能量是反射的，你能说出理由吗？2（1）用一组数分别来标记时间和位移，画一张超声换能器发射的接收脉冲的示意图，该换能器利用脉冲回声测量深度为的水面。指出该图的重要特征，并尽可能多说明几个数值（超声在水中的速度）。（2）估计上述测脉冲回声系统能探测的最小变化。3（1）在该节曾指出一个高增益、低噪声的放大