高中数学竞赛(排列组合概率)

1、优秀学习资料欢迎下载概率、统计【知识精要】例 2：使直线 axby1和圆 x2y250 只有整数公共点的有序实数对1 排列、组合问题的基本原理：加法（分类）和乘法（分步）原理。解决此类问题常见要点： （ 1）不重复，不遗漏； （ 2）正面考虑比较麻烦时，(a,b) 的个数为：（）A、 72B、 74C、 78D、 82考虑间接法； （ 2）特殊位置、元素优先考虑； （ 3）转化思想，对于陌生问题，尽量转化为熟悉模型。解：第一象限圆上有(7,1),(5,5),(1,7)三个整点， 故平面上有12 个整点，2 隔板法模型：将 m 个名额分给 k 个人 (mk ) ，每人至少一个的方法C122是 C

2、mk11 ；引申 1：方程 x1分割线或切线，共1278 条，但该直线不过原点，减去6 条，共有x2xkm ( xi1, xiZ , mZ) 的解有72 条，选 A。k1练习 2：（ 05 年江苏高中数学竞赛）由三个数字1、2、3 组成的 5位Cm1 组；引申 2：方程 x1x2xkm ( xi0, xiZ, mZ) 的解有数中 ,、2、3都至少出现1次, 这样的5位数共有.1Cmk1k1 组。【例题精讲】 +【习题精练】例1：3 个人传球，由甲发球，5 次传球之后，仍回到甲手中，有多少种例 3：（ 2005 全国高考试题改编）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，传球方法？任选两条为异面直线的

3、概率是：。解：将问题转化为右图填图问题。中间可能解：全部情况有2105 种，记“ 15条直线中任选两条为异面直线”为1 1 22甲甲C1510 种不同有甲或无甲， 则有 C2 C2 A2A2事件 A ，而要使两直线异面， 只需四点不共面， 且不共面的四点可连成3的传球方法。都 属 于组异面直线，则事件 A 的可能情况有3(C643)36种，故练 习 1 ：（ 2000 全 国 高 中 数 学 联 赛 ） 如 果 ： (1) a,b,c,d1,2,3,4;(2) a b,b c,c d,da;(3) a 是 a,b,c,d 中的最小值，那么，可以组成的P( A)3 61 212。105。即任选两

4、条为异面直线的概率为不同的四位数 abcd 的个数是 _.3535练习3：（ 02年全国联赛题改编）已知点P1,P2 , P10 分别是四面体的顶优秀学习资料欢迎下载点或棱的中点， 那么四点组 ( P1 , Pi , Pj , Pk ) （ 1ijk10 ）在同一平面上的概率为练习 4：（ 09 安徽高考）考察正方体 6 个面的中心，甲从这6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）（ A ）123475（ B ）（ C）（D ）757575例 4：（ 2005 全国高中数学联赛）如果自然数a 的各位数字之和为7，那么称

5、 a 为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1, a2 ,a3 , a4 , 若an2005 ，则 a5n。解 ： 设 x1x2xk为 k 为 吉 祥 数 ， x11, xi0(i 2,3, , k)， 则x1x2xk7 （ 1）令 y1x1 ， yixi 1(i2,3, , k) ，则（ 1）为 y1y2 y3yk k 6 （ 2 ）方程（ 2）正整数解个数即k 为吉祥数的个数，记为 P( k) 。利用隔板法有 P( k)Ckk51Ck65 个。而2005 是形如 2x2 x3 x4数中最小吉祥数，且P(1) 1, P(2)7, P(3) 28.对于四位吉祥数 1x2 x3 x4

6、，其个数为满足x2x3x46 的非负整数解的个数，即C8628 个，故2005 是第 1 72828165个吉祥数，即n65 ，5n325，又P(4)C9684, P(5)C106210，故5P(k)1 728 84210330 。而 5 位吉祥数中最后的5 个倒过k 1来依次为70000，61000，60100，60010，52000，则第 325 个吉祥数为 52000，即 a5n 52000。练习 5：从数 1,2,3,14 中，按从小到大的排序取出a1 , a2, a3 三个数，且 a2a13, a3a23 ，则符合条件的不同取法有多少种？练习 6：将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，求不同的