高中数学知识点总结与习题精选以及学习方法

1、试题精选1.若集合 Ax | 2x1|3 , Bx 2x10,则 AB 是3xA. x 1 x1 或2 x 3B.x 2 x 3C.x1x 1 x1x 2 D.2222. 设 a,bR ，集合 1,ab, a0, b , b ，则 b a（）aA 1B 1C 2D 24.定义集合运算 : ABz z xy , xA, yB.设A1,2, B0,2,则集合 AB 的所有元素之和为（）A 0B 2C 3D 65.集合 A=( x, y) | 4xy6, B( x, y) | 3x27 ，则满足 C( AB) 的集合 C 的个数是（）A0 B 1 C 2D36. 若集合 M a,b,c 中元素是 A

2、BC的三边长，则 ABC一定不是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形7. 定义集合 A*B x|xA, 且 x B, 若 A 1，3，5，7， B 2，3，5，则 A*B 的子集个数为（）A.1B.2C.3D.48. 设集合 M1,2 ，则满足条件 MN1,2,3,4 的集合 N 的个数是（）A1 B 3 C4D 810.设集合 A1,2 ，则满足 A B1,2,3 的集合 B 的个数是（）。A 1B 3C4D 814.已知集合 P （ x， y） |y m，Q （ x， y） |y ax1 ， a 0， a 1 ，如果 P Q 有且只有一个元素，那么实数 m的取值范围是.15

3、.设含有集合A=1,2,4,8,16 中三个元素的集合 A的所有子集记为B1 ,B 2,B 3, ,B n( 其中 n N* ),又将B (k=1,2, ,n) 的元素之和记为a , 则 a1 a2an =kk16.满足0,1,2A 0,1,2,3,4,5的集合 A 的个数是个。17. 对任意两个集合 M、 N，定义：MNx xM且 xN，M NMNNM，My yx2 , xR，Ny3y3，则 MN.18 已知集合，若，则a 的取值范围是A.B.C.D.19. 设 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，当 x时， f (x)x x ，则 f ( )（ A）(B)（）（）5）若点 (a,b) 在

4、 ylg x图像上， a, 则下列点也在此图像上的是（ A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1)(D)(a2,2b)aa（ 13）函数 y1的定义域是.6xx213. 已知函数 f ( x)2 ,x2k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围x，若关于 x 的方程 f (x)( x1)3, x2是 _.（ 8）已知点 A 0,2,B2,0, 若点 C 在函数 y x2 的图象上，则使得ABC 的面积为2 的点C的个数为AA. 4B. 3C. 2D. 16若关于 x 的方程 x2 mx 10 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A（ 1，1） B（ 2， 2） C（，

5、2）（ 2，） D（，1）（ 1，）Cxx 02 ，8已知函数 f ( x) x 1， x 0 ，若 f ( a) f (1) 0，则实数 a 的值等于A3 B 1 C 1 D 34 函数1lg( x1)的定义域是（）Cf ( x)1xA (,1) B (1,)C (1,1)(1,)D (,)高中数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合 Ax|ylg x ，By|ylg x ， C(x ,y)|ylg x ，A 、 B、C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合

6、问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合 Ax|x22x30 ， Bx|ax1若BA，则实数 a的值构成的集合为1（答：1，0，）33. 注意下列性质：（ 1）集合 a1 ， a2， an 的所有子集的个数是 2n ；（2）若ABABA，ABB；（ 3）德摩根定律：CU ABCUACUB ，CU ABCUACUB4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）ax5如：已知关于 x的不等式 x 2a0的解集为 M ，若 3M 且 5M ，求实数 a的取值范围。（ 3·350M ， a32a， 5，）a 19 25 5·5503M ， a52a5. 可以

7、判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”( ) ，“且” ( ) 和“非” ( ).若pq为真，当且仅当 p、q均为真若pq为真，当且仅当 p、q至少有一个为真若p为真，当且仅当 p为假6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7. 对映射的概念了解吗？映射 f ：A B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型

8、？例：函数 yx 4x2 的定义域是lg x 3（答：0，22， 33，4 ）10. 如何求复合函数的定义域？如：函数 f (x) 的定义域是a， b ， ba0，则函数 F(x )f ( x)f (x)的定义域是 _ 。（答：a，a ）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如： fx1exx，求 f (x).令tx 1，则 t 0x t 21f ( t)t 21t21ef ( x)x21x21 x 0e12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解x；互换x、y；注明定义域）1xx0如：求函数 f (x )2x的反函数x0（答：

9、 f 1x 1x1(x)x）x013. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设 yf(x) 的定义域为 A ，值域为 C， aA ，bC，则 f(a) = bf 1 (b)af 1 f (a)f 1 (b)a， f f 1( b)f (a)b14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？（yf (u)，u(x) ，则 yf( x)（外层）（内层）当内、外层函数单调性相同时 f (x) 为增函数，否则 f(x) 为减函数。）如 ： 求ylog 1x 22x 的 单 调 区 间2（设 ux22x，由 u0则

10、 0 x 2且 log 1 u， ux121，如图：2uO12x当x(0，1时， u，又 log 1u， y2当x1， 2)时， u，又 log 1u， y2）15. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间 a，b 内，若总有 f '( x)0则f (x )为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若 f '( x )0呢？如：已知 a 0，函数 f (x)x3ax在 1，上是单调增函数，则 a的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3（令 f '( x ) 3x 2a 3 xaxa033则xa 或xa33由已知 f (x)在 1，) 上为增函

11、数，则a1，即 a 33 a 的最大值为 3）16. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（ f(x) 定义域关于原点对称）若f ( x)f ( x)总成立f (x)为奇函数函数图象关于原点对称若f ( x)f (x)总成立f (x ) 为偶函数函数图象关于 y轴对称注意如下结论：（ 1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（ 2）若 f(x) 是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。如：若 f (x)a· 2xa2 为奇函数，则实数a2 x1（ f ( x )为奇函数， xR，又 0 R， f (

12、0)0即 a· 2 200a2， a1）10又如： f (x )为定义在 ( 1， 1) 上的奇函数，当 x2 x，( 0， 1) 时， f (x)4 x1求f (x)在1，1 上的解析式。（令 x1， 0 ，则 x0， 1 ， f ( x)2 x4 x1又 f ( x) 为奇函数， f ( x)2 x2 x4x114 x2xx，0)( 1又f ( 0)4 x1x0）0， f (x)2xx，14 x1017. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数 T（T0），在定义域内总有 f xTf ( x) ，则 f (x ) 为周期函数， T 是一个周期。）如：若 f xaf (x )，则（答

13、： f (x) 是周期函数， T2a为f (x)的一个周期）又如：若 f (x ) 图象有两条对称轴 xa，xb即f ( ax)f (ax )，f ( bx)f (bx)则f ( x) 是周期函数， 2 ab 为一个周期如：18. 你掌握常用的图象变换了吗？f (x) 与f ( x) 的图象关于 y轴 对称f (x )与f (x )的图象关于 x轴 对称f (x )与f ( x)的图象关于 原点 对称f (x) 与f1 ( x)的图象关于 直线 yx 对称f (x )与 f (2ax) 的图象关于 直线 xa 对称f (x )与f (2ax) 的图象关于 点 (a， 0) 对称将y f ( x

14、) 图象左移 a( a 0)个单位yf (xa)右移 a( a 0)个单位yf (xa)上移 b(b0)个单位yf ( xa)b下移 b(b0)个单位yf ( xa)b注意如下“翻折”变换：f (x)f ( x)f (x)f (| x|)如： f ( x )log 2x1作出 y21 及y21 的图象yy=log 2xO1x19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k<0)y(k>0)y=bO (a,b)Oxx=a（1）一次函数： ykxbk0（ 2）反比例函数： yk k0 推广为 ybkk 0 是中心 O '( a， b)xxa的双曲线。b24acb2（ 3）二次函

15、数 yax2bxc a 0a x4a图象为抛物线2a顶点坐标为b ， 4acb 2，对称轴 xb2a4a2a开口方向： a4acb 20，向上，函数 y min4aa4acb20，向下， y max4a应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bx c 0，0时，两根 x1 、x 2 为二次函数 yax2bxc的图象与 x轴的两个交点，也是二次不等式 ax2bx c0 (0)解集的端点值。求闭区间m， n上的最值。求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af ( k )0y(a>0)

16、Okx1x2x一根大于 k，一根小于 kf (k )0（ 4）指数函数： y a x a 0，a 1（5）对数函数 ylog a x a0，a1由图象记性质！（注意底数的限定！）yy=ax(a>1)(0<a<1)y=log ax(a>1)1O1x(0<a<1)（ 6）“对勾函数” y xkk 0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ykOkx20. 你在基本运算上常出现错误吗？指数运算： a01 (a 0)， ap1ap (a 0)mm1a nn a m (a 0) ，a n(a 0)n am对数运算： log a M ·Nlo

17、g aMlog a N M0，N0l o gaMl o ga M l o ga N ， l o gan M1 l o ga MNn对数恒等式： alog a xx对数换底公式： log a blog c blog am bnnblog c alog am21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（ 1）xR，f (x)满足 f (xy )f ( x ) f (y) ，证明 f ( x) 为奇函数。（先令 xy0f ( 0)0再令 yx，）（ 2） xR， f ( x)满足 f ( xy )f (x)f ( y) ，证明 f ( x)是偶函数。（先令 xyt f (t)( t)f (

18、 t·t )f ( t )f ( t )f ( t)f (t ) f ( t ) f ( t) ）（ 3）证明单调性： f (x 2 )fx 2x1x222. 掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：（1）y2x3134x（ 2） y2x4x3（ 3） x3， y2x2x 3（ 4） yx49x 2 设 x3cos ，0，（ 5） y4x9 ， x(0，1x23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 ，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？（ l·R，S扇1 l 

19、3; R1·R2）22R1 弧度OR24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sinMP， cosOM ， tanATyTBSPOMAx如：若0，则sin， cos， tan的大小顺序是8又如：求函数y12 cosx 的定义域和值域。2（ 12 cosx ）12 sin x022 sin x，如图：25 2kx2kkZ ， 0y124425. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？s i nx 1， c o sx1yyt g xxO22对称点为 k ， 0， kZ2y s i nx的增区间为2k， 2kkZ22减区间为2k， 2k

20、3Zk22图象的对称点为 k， 0 ，对称轴为 xkk Z2y c o sx的增区间为2k， 2kkZ减区间为2k， 2k2kZ图象的对称点为k， 0 ，对称轴为 xkkZ2yt a nx的增区间为k， kkZ2226. 正弦型函数 y = Asinx +的图象和性质要熟记。或 yA cosx2（1）振幅 |A |，周期 T|若fx0A ，则 xx0 为对称轴。若fx00，则 x 0 ， 0为对称点，反之也对。（ 2）五点作图：令x依次为0， ， 3， 2，求出 x与 y，依点22（ x， y）作图象。（ 3）根据图象求解析式。（求 A 、 、 值）( x1 )0如图列出( x 2 )2解条件

21、组求、 值正切型函数yA tanx， T|27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。如： cos x62 ， x， 3，求 x值。22（x3， 7x65， x5 ， x13 ）263641228. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数 ysinxsin|x|的值域是（x0时， y2 sin x2， 2 ，x0时， y0， y2， 2 ）29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：，k)x'xh（1）点 P（ x， y）a ( hP' （x' ，y' ），则yk

22、平移至y'（ 2）曲线 f (x， y)0沿向量 a(h， k ) 平移后的方程为f ( xh， yk)0如：函数y2 sin 2x1 的图象经过怎样的变换才能得到ysin x 的4图象？（y2sin 2x1横坐标伸长到原来的2 倍y 2 sin 211x424左平移4个单位上平移 1个单位2 sin x1y 2 sin x1y2 sinx4纵坐标缩短到原来的1倍2 y sin x）30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如： 1sin2cos2sec2tan2tan· cotcos·sectan4sincos0称为1的代换。2“ k·”化为的三角

23、函数“奇变，偶不变，符号看象限”，2“奇”、“偶”指k 取奇、偶数。如： cos 9tan7sin 2146又如：函数 ysintan，则 y的值为coscotA. 正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值sinsinsin2cos1cos（y），coscos2sin00cos1sin31. 熟练掌握两角和、差、倍、 降幂公式 及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：s i ns i n coscos sin令2 sin cossin 2c o sc o s c o s s i n s i n令c o s222c o ss i nt a nt a nt a n221t a n · t

24、 a n2 c o s1 1 2 s i n21c o s22 t a nc o s2t a n221c o s21 t a n2s i n2a s i nb cosa2b2 sin， tanbas i nc o s2 s i n4s i n3 cos2 sin3应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：（ 1）角的变换：如，222（ 2）名的变换：化弦或化切（ 3）次数的变换：升、降幂公式（ 4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。如：已知 sincos1， tan2 ，求 tan2的值。1cos23（由已知得

25、：sincoscos1， tan12 sin 22 sin2又 tan23t a nt a n211 ） t a n 2t a n3 21 t a n· t a n12·812332. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？余弦定理： a2b2c 22bc cosAcosAb2c2a22bc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）abca2R sin A正弦定理：b2R sin Bsin B2Rsin AsinCc2R sinCS 1 a· b s i nC2A BC， ABC s i nABABCs i nC， s i

26、n2cos2如 ABC 中， 2sin 2 A2Bcos2C1（1）求角 C；（ 2）若 a2b2 c2，求 cos2Acos2B的值。2（ 1）由已知式得： 1cos AB2 cos2 C 1 1又A BC， 2cos2 CcosC1 0 cosC1 或 cosC1（舍）2又 0 C， C31（ 2）由正弦定理及 a2b 2c2 得：2222232 s i n A 2s i n B s i n C s i n341 c o s2A1c o s2B34 cos2Acos2B3 ）433. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。反正弦： arcsin x2， x1，12反余弦： arccosx0，

27、x1，1反正切：arctan x， xR2234. 不等式的性质有哪些？（1）ac0acbcb，0acbcc（ 2） ab， c d a c b d（ 3） ab0， cd0acbd（ 4） a b 01 1 ， a b 01 1abab（5）a b 0anbn ， n an b（ 6） |x| a a0a x a， |x| axa或x a如：若110，则下列结论不正确的是（）abA . a2b2B. abb 2C. |a| |b| |a b|D . ab2ba答案： C35. 利用均值不等式：222，；a b；a b求最值时，你是否注ab2ab a b R2 ab ab2意到“ a， bR

28、”且“等号成立”时的条件，积(ab 或和(ab 其中之一为定)值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：a2b2a b2ab，2aba ba b R2当且仅当 ab时等号成立。a2b2c2abbcca a， bR当且仅当 abc时取等号。ab0，m0， n0，则bbmanaaam1nbb如：若 x0， 23x4的最大值为x（设 y23x42212 24 3x当且仅当 3x423243），又 x0， x时， y maxx3又如： x2y1，则 2 x4y的最小值为（ 2 x22 y22 x2y221 ，最小值为 22）36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

29、并注意简单放缩法的应用。如：证明 111122232n2（111111112232n21223n 1 n111111123n1 n221）2n37. 解分式不等式f (x)aa 0 的一般步骤是什么？g(x)（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。）38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始23如： x 1 x 1 x 2039. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分 a1或 0a1讨论40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式 |x3| x111（解

30、集为x|x）241. 会用不等式 |a| |b| |ab| |a| |b|证明较简单的不等问题如：设f (x)x 2x13，实数 a满足|xa|1求证：f (x )f (a)2(|a| 1)证明：|f (x)f ( a)|( x2x13)(a2a13)|( xa)( x|xa|xaa1|1)| ( |x|xaa|1|1)|x| |a| 1又|x| |a| |xa|1，|x|a| 1f ( x )f (a)2|a| 22 |a| 1（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）如： af ( x )恒成立af (x )的最小值af (x) 恒成立af (x ) 的最大值af (x) 能成立af (x ) 的最小值例如：对于一切实数 x，若 x3 x 2a恒成立，则 a的取值范围是（设 ux 3 x 2 ，它表示数轴