高中数学知识点总结(史上最全版)

1、学习必备欢迎下载高中数学必修5 知识点第一章解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°； C=180°-(A+B) ；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin( AB)sin C, cos( A B)cosC , tan(AB)tan C ,sin A Bcos C ,cos ABsin C , tan ABcot C2222224、正弦定理：在C 中， a、 b 、 c 分别为角、C 的对边， R为C 的外接圆的半径，则有abc2R sinsinsin C5、正弦定理的变形公式：化角为边： a2R sin， b2Rsin

2、， c2Rsin C ；化边为角： sina， sinbc2R， sin C；2R2Ra : b : csin:sin :sin C ；abcabcsinsin Csinsinsinsin C6、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角，求其他边角.( 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C 中，有 a2b2c22bc cos， b2a2c22ac cos，c2a2b22ab cosC 8、余弦定理的推论： cosb2c2a2， cosa2c2b2a2b2c22bc2ac， cosC2ab(

3、 余弦定理主要解决的问题：1. 已知两边和夹角，求其余的量。2. 已知三边求角 )9、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角）10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、 b 、 c 是C 的角、 C的对边，则：AB若 a2b2c2 ，则 C90 ；若 a2b2c2 ，则 C90 ；若 a2b2c2 ，则 C 90 注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标CD学习必备欢迎下载A、 B, 但不能到达，在岸边选取相距3 千米的 C、 D两点，并测得OOACB=75, BCD=45,OO、 B、 C、

4、D 在同一平面内 ) ，求两目标 A、 B 之间的距离。 ADC=30, ADB=45(A（本题解答过程略）11、三角形面积公式：12、三角形的四心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1 ）外心三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）13 、请同学们自己复习巩固三角函数中诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等）。附加：第二章 数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数2、数列的项：数列中的每一个数学习必备欢迎下载3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的

5、数列5、递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）6、递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1<an）7、常数列：各项相等的数列（即：an+1=an）8、摆动数列：从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列9、数列的通项公式：表示数列an 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式10、数列的递推公式：表示任一项an 与它的前一项 an 1 （或前几项）间的关系的公式11、如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差符号表示: an

6、1 an d 。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：anan 1d ( n2, d为常数 ) 2 anan 1a1( n2 ) aknb ( n, k 为常数nn12、由三个数 a ， b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为 a 与 b 的等差中项若 bac2，则称 b 为 a 与 c 的等差中项13、若等差数列an的首项是 a1 ，公差是 d ，则 ana1n 1 d 14、通项公式的变形： anamn m d； a1ann 1 d； dana1n；1 naaanamnd1 1； dnm15、若 an是等差数列，且 mnpq（ m 、 n 、 p 、 q* ），则 aaaa

7、；mnpq若 an2npq （ n 、 p 、 q*aq 是等差数列，且），则 2an ap16. 等 差 数 列 的 前 n项 和 的 公 式 ： Snn a1anna1n n12； Sn2d sna1a2an17、等差数列的前n 项和的性质：若项数为2n n*，则 Sn aa，且2nnn 1学习必备欢迎下载S偶S奇S奇annd，S偶an 1若项数为2n 1 n*，则 S2n 1 a ，且奇偶， S奇n（其中2 n 1nS S anS偶n1S奇na n ， S偶n 1 an ）18、如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的

8、公比符号表示：an1q （注：等比数列中不an会出现值为0 的项；同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法： anan 1q(n2, q为常数 , 且0) an2a n 1a n 1 ( n2 ， an an 1 an 1 0) ancq n ( c, q 为非零常数 ).正数列 an 成等比的充要条件是数列 log x a n （ x1 ）成等比数列 .19、在 a 与 b 中间插入一个数G ，使 a ，G ，b 成等比数列， 则 G 称为 a 与 b 的等比中项 若G 2ab ，则称 G 为 a 与 b 的等比中项（注：由G 2ab 不能得出 a ， G ， b 成等比，由

9、 a ， G ， bG 2ab ）20、若等比数列an 的首项是 a1 ，公比是 q ，则 ana1 qn1 21、通项公式的变形：anamqn m ； a1an qn 1； q n 1a n；a 1q nmanam22、若an 是等比数列，且mnp q （ m 、 n 、 p 、 q* ），则 amanapaq ；若 an是等比数列，且2npq （ n 、 p 、 q* ），则 an2apaq na1q 123 、 等 比 数 列 a 的 前 n 项 和 的 公 式 ： Sna1anq nna1 1 qq11 q1qsna1a2an学习必备欢迎下载24、对任意的数列 an 的前 n 项和 S

10、n 与通项 an 的关系： ans1a1 (n1)snsn 1 (n2) 注 ： ana1n 1 dnd a 1d （ d 可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d 不为 0，则是等差数列充分条件） .等差 an 前 n 项和 SnAn 2 Bnd n 2a1 dn d 可以为零也可不为零为等差222的充要条件若d 为零，则是等差数列的充分条件；若 d 不为零，则是等差数列的充分条件 .非零 常数列既可为等比数列，也可为等差数列. （不是非零，即不可能有等比数列）附：几种常见的数列的思想方法：1. 等差数列的前n 项和为 Sn ，在 d0 时，有最大值 . 如何确定使 S

11、n 取最大值时的 n 值，有两种方法：一是求使 a n0, an 1 0 ，成立的 n 值；二是由 Snd n 2(a1d )n 利用二次函数的性质求22n 的值 .2. 数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列通项公式对应函数等差数列（时为一次函数）等比数列（指数型函数）数列前 n 项和公式对应函数等差数列（时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n 项和看成是关于 n 的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。3. 例题： 1、等差数列中，则.分析：因为是等差数列，所以是关于 n 的一次函数，一次函数图像是一条直线

12、，则（n,m） ,(m,n),(m+n,) 三点共线，学习必备欢迎下载所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题： 2、等差数列中，前 n 项和为，若，n 为何值时最大？分析：等差数列前n 项和可以看成关于n 的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，最大。例题： 3 递增数列，对任意正整数n，恒成立，求分析：构造一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，所以对一切恒成立， 设，则只需求出的最大值即可，显然有最大值，所以的取

13、值范围是：。构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为, 抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数， 要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧也可以（如图），因为此时 B 点比 A点高。于是，得学习必备欢迎下载4. 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 n 项和可依照等比数列前 n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：11,31,.(2n 1)1,.242 n5. 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1， d 2

14、 的最小公倍数 .6. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1) 定义法 : 对于 n 2的任意自然数 , 验 证 anan 1 ( an)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an 12an 1 anan 2 (an21an an 2 )nN 都成立。7. 在等差数列 an 中 , 有关 Sn 的最值问题：am0(1) 当 a1 >0,d<0 时，满足的项数am 10m使得 sm 取最大值 . (2)当 a1 <0,d>0am0时，满足am 1的项数 m使得 sm 取最小值。在解0含绝对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。附：数列求和的

15、常用方法1. 公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2. 裂项相消法 : 适用于c其中 an 是各项不为 0的等差数列， c 为常数； 部分无理an an 1数列、含阶乘的数列等。例题：已知数列 a 的通项为a1, 求这个数列的前n 项和 S .=nnn(n1)n解：观察后发现： an= 111nnsna1 a2an(1 1) (1 1)( 1n1 )223n1111n3. 错位相减法 : 适用于 anbn其中 an 是等差数列， bn是各项不为 0 的等比数列。例题：已知数列 a n 的通项公式为 ann2n ，求这个数列的前 n 项之和 sn 。解：由题设得：学习

16、必备欢迎下载sn a1 a2 a3an= 1212 223 23n 2n即 s =1 212 223 23n 2nn把式两边同乘2 后得2s =1 222 233 24n 2n 1n用 - ，即：s =1 212 223 23n 2nn2sn =1 222 233 24n 2n 1得sn12 22232nn 2n 12(12n )n 2n 1122n 12n2n 1(1n)2 n12 sn( n1)2n 124. 倒序相加法 : 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 .5. 常用结论1） : 1+2+3+.+n =n(n1)2） 1+3+5+.+(2n-1) =n221 n( n 1)23

17、 ）1323n324)122232n 21 n(n1)(2n1)5)111，6;n(n 1)nn111 ( 11)6）11( 1 1 ) ( p q)n( n 2) 2 n n 2 ；pq q p p q学习必备欢迎下载附加：重点归纳等差数列和等比数列 （表中 m, n, p, qN ）类别等差数列 an项目等比数列an定义通项公式前 n 项和等差（比）中项公差（比）性质an 1andana1n1 danamnm dn a1ann n1Snna1d222an 1an an 2danam ， mnnmm n p q amanap aqm n2 paman2a pSm , S2 mSm , S3m

18、S2 m,成等差数列，公差为m2d （ Sn 是前 n 项和）am , am k , am 2k ,仍然是等差数列，其公差为 kdan 1qanana1qn 1aa qn mnmna1q1Sna1 1qna1an qq 11q1qan12an an 2qnmanamm n p q am anap aqmn2pamana p2Tm , T2 m , T3m ,成等比数列，公TmT2m比为 qm2 （ Tn 是前 n 项积）am , am k , am 2 k ,仍然是等比数列，其公比为 qkkanb 是等差数列bank 是等比数列（ b0 ）d0,；a10 时， q1,，0q1,；单调性d0,；

19、a10 时， q1,，0q1,；d0, 常数列q1 为常数列； q0 为摆动数列学习必备欢迎下载2. 等差数列的判定方法：（ a,b,d 为常数） . 定义法：若an 1and . 等差中项法：若2an 1anan 2an 为等差数列 . . 通项公式法：若 ananb . 前 n 项和法： Snan2bn3. 等比数列的判定方法：（ k ， q 为非零常数）an 1 . 定义法：若anq2an an 2an 为等比数列 . . 等比中项法：若 an 1 . 通项公式法：若 ankqn . 前 n 项和法： Snkkqn第三章不等式一、不等式的主要性质：（1）对称性：abba（2）传递性： a

20、b,bcac（3）加法法则： abacbc ；（4）同向不等式加法法则：ab, c dacbd（5）乘法法则：ab,c0acbc ； ab,c0acbc（6）同向不等式乘法法则：ab0, cd0ac bd（7）乘方法则：a b 0a nbn (nN * 且 n1)（8）开方法则：ab0n an b(nN * 且 n1)（9）倒数法则：ab,ab011ab二、一元二次不等式ax 2bxc0 和 ax 2bxc0(a0) 及其解法000学习必备欢迎下载y ax 2bx cy ax 2bx c2bx ca( xx1 )( x x2 )a( xy axx1 )( x x 2 )二次函数yax2bxc（

21、 a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2bxc0x2 )x1x2b无实根a0 的根x1 , x 2 ( x12aax2bxc0x1或x x2x xb(a的解集x x2aR0)ax2bxc0xx 2(a0)的解集x x1 . 一元二次不等式先化标准形式（ a 化正） . 常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式。口诀：在二次项系数为正的前提下：“大于取两边，小于取中间”三、均值不等式1、设 a 、 b 是两个正数，则ab 称为正数 a 、 b 的算术平均数，ab 称为正数 a 、 b 的2几何平均数2、基本不等式（也称均值不等式）：若 a0 均值不等式：如果a,b 是正数

22、，那么a b 2ab 即 a bab (当且仅当 ab时取 "" 号).2注意：使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等3、平均不等式：（ a、b 为正数），即a2b2abab2（当 a = b 时取等）2211ab4、常用的基本不等式：a2b22ab a,bR； aba2b2a, b R ；2a2a2b2ab2b0 ；a, bR aba 0, b222学习必备欢迎下载5、极值定理：设 x 、 y 都为正数，则有：若 x ys （和为定值），则当xy 时，积 xy 取得最大值s2若 xy p （积为定4值），则当 x y 时，和 xy 取得最小值2 p 四、含有绝对值的不等

23、式1绝对值的几何意义：| x | 是指数轴上点x 到原点的距离；| x1x2 |是指数轴上 x1 , x2 两点aa0间的距离 ；代数意义： |a |0a0aa02、 如果 a0, 则不等式：| x | ax a 或 xa； | x | ax a 或 x a| x | aax a； | x | aa x a4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号五、其他常见不等式形式总结：分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f (x )0f ( x) g( x ) 0 ； f ( x)0f ( x )g( x)0g( x)0g(x)g( x )指数不等式：转化为代数不等

24、式a f ( x )a g( x ) (a1)f ( x)g( x) ； a f ( x )a g( x ) (0a1)f ( x) g(x)对数不等式：转化为代数不等式f (x)0loga f (x )loga g( x)( a1)g(x )0f (x)g( x)f ( x)0loga f (x )loga g( x)( 0a1)g( x)0f ( x)g( x)高次不等式：数轴穿线法口诀 : “从右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶转个弯；小于取下边，大于取上边”例题：不等式 ( x23x2)( x 4) 20 的解为（）x3A 1<x 1 或 x 2B x< 3 或 1 x 2C=4或3< 1或x 2D=4 或x<3 或 1 2xxxx六、不等式证明的常用方法：作差法、作商法学习必备欢迎下载七、线性规划1、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式2、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组3、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和 y 的取值构成有序数对x, y ，所有这样的有序数对x, y 构成的集合4、在平面直角坐标系中，已知直线xy C