高中数学总结：基本初等函数

1、精品资料欢迎下载高中数学知识点总结第二章基本初等函数 ( ) 2.1 指数函数【 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念如果 xna, aR, xR, n1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时， a 的 n次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号n a 表示，负的 n 次方根用符号na 表示； 0的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数 当 n 为奇数时， a 为任意实数； 当 n 为偶数时， a0 根式的性质： ( n a )na ；当 n 为奇数时，

2、nana ；当 n 为偶数时，n an | a |a(a0)a(a0)（ 2）分数指数幂的概念mn am (a正数的正分数指数幂的意义是：a n0, m, nN , 且 n 1) 0 的正分数指数幂等于0mmn ( 1 ) m (a正数的负分数指数幂的意义是：a n(1) n0, m, nN , 且 n1) 0 的负分数指数幂没aa有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数（ 3）分数指数幂的运算性质 ar a sar s (a0, r , s R) (ar ) sars ( a 0, r , s R) (ab)rar br (a0, b0, r R)【】指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名

3、称指数函数定义函数 ya x (a0 且 a1) 叫做指数函数a10 a1yya xy a xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定义域R精品资料欢迎下载值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ，即当 x0 时， y1 奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数ax1( x 0)a x1(x 0)函数值的ax1( x 0)a x1(x 0)变化情况ax1( x 0)a x1(x 0)a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低 2.2 对数函数【 】对数与对数运算（ 1）对数的定义若 axN ( a0, 且a1) ，则 x 叫做以

4、 a 为底 N 的对数，记作 xlog a N ，其中 a 叫做底数，N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：x log a Na xN ( a 0, a1, N0) （ 2）几个重要的对数恒等式log a 10 ， log a a 1 ， loga abb （ 3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log10N ；自然对数： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828）（ 4）对数的运算性质如果 a0, a1, M0, N0 ，那么加法： log a Mlog a Nlog a (MN )减法： log a Mloga N log a MN数乘： n l

5、og a Mlog a M n (nR) alog a NN log b M nn log a M (b0, nR) 换底公式： log a Nlog b N (b 0,且 b 1)ablog b a【】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数名称对数函数定义函数 ylog a x( a 0 且 a1) 叫做对数函数精品资料欢迎下载a10a 1x1y loga xx1yyy loga x图象(1,0)O(1,0)xO定义域(0, )值域R过定点图象过定点(1,0) ，即当 x1 时， y 0x奇偶性非奇非偶单调性在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数log a x0(x1)log ax0

6、(x1)函数值的log a x0(x1)log ax0( x1)变化情况log a x0(0x 1)log ax0(0x 1)a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高(6) 反函数的概念设函数 yf ( x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 yf (x) 中解出 x ，得式子 x( y) 如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过式子x( y) ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x( y) 表示 x 是 y 的函数，函数 x( y) 叫做函数 yf ( x) 的反函数，记作xf 1 ( y) ，习惯上改写成yf 1 ( x

7、) （7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式yf (x) 中反解出 xf 1 ( y) ；将 xf 1( y) 改写成 yf 1( x) ，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数 yf (x) 与反函数 yf 1 ( x) 的图象关于直线yx 对称函数 yf ( x) 的定义域、值域分别是其反函数yf 1( x) 的值域、定义域若 P(a,b) 在原函数 yf (x) 的图象上，则 P' (b,a) 在反函数 yf 1 (x) 的图象上精品资料欢迎下载一般地，函数yf ( x) 要有反函数则它必须为单调函数 2.3 幂函数（ 1）幂函数的定义一般地，函数y

8、x 叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称 ) ；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性： 如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且在 0,) 上为增函数 如果0，则幂函数的图象在 (0,) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y 轴qZ ），奇偶性： 当为奇数时， 幂函数为奇函数， 当为偶数时， 幂

9、函数为偶函数 当（其中 p, q 互质， p 和 qpqq若 p 为奇数 q 为奇数时，则 yx p 是奇函数，若p 为奇数 q 为偶数时，则y x p 是偶函数，若p 为偶数 q 为奇数时，q则 yx p 是非奇非偶函数图象特征：幂函数yx , x(0,) ，当1时，若 0x 1，其图象在直线yx 下方，若 x1 ，其图象在直线y x上方，当10 x 1，其图象在直线y x上方，若x 1，其图象在直线y x下方时，若补充知识二次函数精品资料欢迎下载（ 1）二次函数解析式的三种形式一般式：f ( x)ax 2bxc( a0) 顶点式：f ( x)a(xh)2k (a0) 两根式：f ( x)a

10、( xx1 )( xx2 )(a0)（ 2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f ( x) 更方便（ 3）二次函数图象的性质二次函数 f ( x)ax 2bxc( a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb, 顶点坐标是2ab4ac b2) (,2a4a当 a0时，抛物线开口向上，函数在(,b 上递减，在 b ,) 上递增，当 xb时，2a2a2a4acb20 时，抛物线开口向下， 函数在 (,b 上递增， 在 b ,) 上递减， 当 xbfmin

11、 ( x)；当 a4a2a2a2a4ac b2时， fmax (x)4a二次函数 f ( x)ax 2bxc( a0)当b24ac 0 时，图象与 x 轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | |x1x2 | a|（ 4）一元二次方程ax2bxc0( a0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布20(a0) 的两实根为 x1 , x2 ，且 x1 x2 令 f ( x)

12、 ax2bxc ，从以下四个方设一元二次方程 ax bx c面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置： xb判别式：端点函数值符号2ak x1 x2精品资料欢迎下载yf (k ) 0a0k x1Ox2xbx2a x1 x2kya 0f ( k)0Ox2x1kxbx2ax1 kx2af( k) 0ya0O kx1x2xf (k )0 k1 x1 x2k2yxb2ak x1Ox2xf (k)0a 0ybx2aOkxx1x 2a 0f ( k)0yf ( k)0x1 Okx2xa0yf (k1 )x1Ok1a00 f (k2 ) 0x 2k 2xbx2aybx2ak1k2Ox1x2xf (k1 )0

13、0f (k 2 )a 0有且仅有一个根x1 （或 x2）满足k1 x1（或 x2 ） k2f( k1) f( k2 )0，并同时考虑f( k1)=0 或 f( k2)=0 这两种情况是否也符合精品资料欢迎下载ya0f (k1 )0x1k 2O k1x2xf (k 2 )0 k1 x1 k2 p1 x2p2此结论可直接由推出yf (k1 )0x1k2Ok1x2xa0f (k2 )0（ 5）二次函数f ( x)ax2bxc(a0) 在闭区间 p, q 上的最值1设 f (x) 在区间 p, q 上的最大值为 M ，最小值为 m ，令 x0( pq) 2（）当 a0 时（开口向上）若bp ，则 m f ( p) 若 pbq ，则 m f (b ) 若2a2a2afff(q)(p)(q)OxOxf(p)bb )f (若bf (2a)b2a2ax0 ，则 M f (q)x0 ，则 M f ( p)2a( ) 当 a0 时( 开口向下 )f(p)f若b，则x(q)0若pbx0，则Mb)若pMf