第五章弯曲内力与弯曲应力

1、12 第五章第五章 弯曲内力与应力弯曲内力与应力51 (引言）工程实例、基本概念52 弯曲剪力内力与内力图53 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 按叠加原理作弯矩图 平面刚架和曲杆的内力图弯曲内力部分小结弯曲内力部分小结54 弯曲正应力及强度计算55 弯曲切应力及强度计算57 提高弯曲强度的措施弯曲应力部分小结弯曲应力部分小结35 51 1 工程实例、基本概念一、实例一、实例工厂厂房的天车大梁：火车的轮轴：FFFFFF4楼房的横梁：阳台的挑梁：56二、二、弯曲的概念弯曲的概念：受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点变形特点杆轴线由直线变为一条平面的曲线。三、梁的概念：主

2、要产生弯曲变形的杆。三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。四、平面弯曲的概念：四、平面弯曲的概念：7受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。纵向对称面纵向对称面MF1F2q8五、弯曲的分类：五、弯曲的分类：1、按杆的形状分直杆直杆的弯曲；曲杆的弯曲。2、按杆的长短分细长杆细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。3、按杆的横截面有无对称轴分 有对称轴有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。4、按杆的变形分平面弯曲平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲弹性弯曲；塑性弯曲。5、按杆的横截面

3、上的应力分纯弯曲；横力弯曲纯弯曲；横力弯曲。9（一）、简化的原则（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。（二）、梁的简化（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。（三）、荷载的简化：（三）、荷载的简化：1 1、集中力、集中力荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。2 2、分布力、分布力荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。3 3、集中力偶（分布力偶）、集中力偶（分布力偶）作用于杆的纵向对称面内的力偶。（四）、支座的简化：（四）、支座的简化：1 1、固定端、固定端有三个约束反力。FAXFAYMA六、梁、荷载及支座的简化六、梁、荷载及支座的简化102 2、固定铰支座、固定铰支座有二个约束

4、反力。3 3、可动铰支座、可动铰支座有一个约束反力。FAYFAXFAY11（五）、梁的三种基本形式：（五）、梁的三种基本形式：M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁： 集中力集中力Fq 均布力均布力LLLL（L称为梁的跨长）称为梁的跨长）12（六）、静定梁与超静定梁（六）、静定梁与超静定梁静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。超静定梁超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。135 52 2 弯曲内力与内力图弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：一、内力的确定（截面法）：举例举例已知：如图，F，a，l。

5、 求：距A端x处截面上内力。FAYFAXFBYFABFalAB解：求外力lalFYlFaFmFXAYBYAAX)(F , 0 , 00 , 0FAX =0 以后可省略不求以后可省略不求14ABFFAYFAXFBYmmx求内力xFMmlalFFFYAYCAYs , 0)( , 0FsMMFs 弯曲构件内力弯曲构件内力剪力剪力弯矩弯矩1. 弯矩：弯矩：M 构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。AFAYCFBYFC152. 剪力：剪力：Fs 构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。二、二、内力的正负规定内力的正负规定: :剪力剪力Fs: :在保留段内任取一点，如果剪力的方向

6、对其点之矩为 顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。弯矩弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。Fs(+)Fs(+)Fs()Fs()M(+)M(+)M()M()16三、注意的问题三、注意的问题1 1、在截开面上设正的内力方向。、在截开面上设正的内力方向。2 2、在截开前不能将外力平移或简化。、在截开前不能将外力平移或简化。四、简易法求内力：四、简易法求内力：Fs=FFs=Fi i（一侧）（一侧） ， M=mM=mi i。（一侧）。（一侧）。左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。17 例例：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。qLFF

7、qLYss11 001111 00)(qLxMMqLxFmiAqLFs1AM1图（b）x1（2 2）截面法求内力。）截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。 解解（1）确定支座反力（可省略）确定支座反力（可省略）图（a）qqLab112218L)axq Fs22( axqMqLxFmiB0)(21, 0)(22222-2截面处截取的分离体如图（c） axqFqLYs0)(0222222)(21qLxaxqM图（a）qLab1122qLFs2BM2x2图（c）19 例例 ：求图所示梁1-1、2-2截面处的内力。aaaABCDFa11221.3a0.5aF解：解：（1）确定支座反力

8、）确定支座反力FCYFBY02000aFaFFaMFFFYCYBCYBYFFFFBYCY23（2 2）简易法求内力）简易法求内力1-1截面取左侧考虑：FaFaaFFaaFMFFFBYBYs4 . 03 . 0)2(3 . 02112-2截面取右侧考虑：FaaFMFFs5 . 05 . 022201200N/m800NAB1.5m 1.5m3m2m1.5m1122 例例 ：求图所示梁1-1、 2-2截面处的内力。解：解：（1）确定支座反力）确定支座反力FAYFBY065 . 48005 . 13120000312008000AYBBYAYFMFFY)(2900)(1500NFNFBYAY（2 2

9、）简易法求内力）简易法求内力).(26005 . 0800215005 . 08002)(700800150080011mNFMNFFAYAYs1-1截面取左侧考虑：211200N/m800NAB1.5m 1.5m3m2m1.5m1122FAYFBY2-2截面取右侧考虑：).(30005 . 1290025 . 15 . 112005 . 125 . 15 . 11200)(110029005 . 1120022mNFMNFBYs22五、剪力方程、弯矩方程五、剪力方程、弯矩方程：把剪力、弯矩表达为截面位置x的 函数式。 Fs=Fs(xFs=Fs(x）剪力方程 M=M(x) M=M(x) 弯矩方

10、程 注意注意：不能用一个函数表达的要分段，不能用一个函数表达的要分段， 分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。分布力的起点、终点。LqABxqxxFs)(221)(qxxM)0(lx )0(lx 23六、剪力图和弯矩图：六、剪力图和弯矩图：剪力、弯矩沿梁轴线变化的图形。七、剪力图、弯矩图绘制的步骤：同轴力图。七、剪力图、弯矩图绘制的步骤：同轴力图。1、建立直角坐标系，2、取比例尺，3、按坐标的正负规定画出剪力图和弯矩图。XFsXM24八、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图八、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图步骤：1、利用静力

11、方程确定支座反力。2、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状 描点绘出剪力图、弯矩图。4、确定最大的剪力值、弯矩值。25Fs(x)xM(x)xFFLFFxFAYs)(解解：求支反力)( )(LxFMxFxMAAY写出内力方程FL MFFAAY ; 根据方程画内力图FAYMA 例例 求下列图示梁的内力方程并画出内力图。FABLX)0(lx )0(lx 26解解：1、支反力（省略）LqABxqxxFs)(221)(qxxM)0(lx )0(lx 2、写出内力方程3、根据方程画内力图Fs(x)xM(x)x qL22qL27CFalABbFAYFBYX1

12、X2解解：1、支反力lFFYlFaFmAYBYAb , 0 , 02、写出内力方程FLbFxFAYs)(1)0(1ax 11)(FxLbxM)(1axoAC段：BC段：FLaFxFBYs)(2)0(2bx 222)(FxLaxFxMBY)0(2bx 3、根据方程画内力图M(x)xFs(x)xFLbFLaFLab28Fs(x)xFLbFLaCFalABb讨论讨论C C截面剪力图的突变值。截面剪力图的突变值。集中力作用点处剪力图有突变，集中力作用点处剪力图有突变，突变值的大小等于集中力的大突变值的大小等于集中力的大小小。（集中力 F 实际是作用在X微段上）。集中力偶作用点处弯矩图有突集中力偶作用点

13、处弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力变，突变值的大小等于集中力偶的大小偶的大小。XFLbFLa29mABCL/2L/2FAYFBY解解：1、支反力LmFFAYBY2、写出内力方程)20()()20()(:)20()()20()(:222222111111LxxLmxFxMLxLmFxFBCLxxLmxFxMLxLmFxFACBYBYsAYAYs3、根据方程画内力图M(x)xFs(x)xm/Lm/2m/2x1x230解解：1、支反力2、写出内力方程)20(2221)()20(21)(:)21 ().(2) 1(2)()21 (0222)(:) 10().(2)() 10()(2)(:32333

14、3333333222222111111xxxxxxFxMxxxFxFBDxmkNxxFxMxFxFCDxmkNxxFxMxkNFxFACBYBYAYAYsAYAYs1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY)( 2);( 20432121002120kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY313、根据方程画内力图1kN/m2kNABC DFAYFBYM(x)xFs(x)x2kN2kN2kN、m 2kN、m).(5.12112)(133mkNxMx)20(22)()20(2)(:)20(2)()20(0)(:) 10(2)()20(2)(:3233333322221111

15、1xxxxMxxxFBDxxMxxFCDxxxMLxxFACsss32)3(6)(220 xLLqxFs解：求支反力内力方程3 ; 600Lq FLqFBYAY根据方程画内力图)xL(LxqxM2206)(L33Fs(x)x60Lq30Lqq0L27320Lq)0(lx )0(lx FAYFBYM(x)xxqx33平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架一、平面刚架平面刚架：平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点：特点：刚架各杆的内力有：刚架各杆的内力有：Fs、M、FN。1、刚架：由刚性节点联成的框架2、节点：两杆之间的交点。3、刚性节点：

16、两杆之间联接处的夹角不变的节点（联接处不 能有转动）。用填角表示，以与铰支节点区别。4、框架：由许多杆组成的，其轴线是由几段折线组成的结构。34二、平面刚架内力图规定二、平面刚架内力图规定： 弯矩图弯矩图：画在各杆的受压压一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正 值画 在刚架的外侧），但须注明正、负号。三、平面曲杆：三、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件。 四、平面曲杆内力图规定四、平面曲杆内力图规定： 弯矩图弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受压压的一侧。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：与平面

17、刚架相同。35例例 试作图示刚架的内力图。F1F2alABCFN 图F2+Fs 图F1+F1aM 图F1a+ F2 lF1F1a36例例 已知：如图所示，F及R 。试绘制Fs、M、FN 图。OFRqmmx解解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面mm的位置。)(0 )cos1 ()cos()(qqqqFRRRFFxM)(0 cos)(2qqqFFFN)(0 sin)(1qqqFFFsABF1FF237ABOM图OO+Fs图FN图2FRFF+qmmxOFRAB)(0 )cos1 ()cos()(qqqqFRRRFFxM)(0 cos)(qqqFFN)(0 sin)(qqqFFsF385

18、53 3 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系1、支反力：2qlFFBYAYLqFAYFBY2、内力方程qxqlxFs21)()0(lx 22121)(qxqlxxM)0(lx 3 3、讨论：、讨论：)(21)(xFqxqldxxdMs)()(xqqdxxdFsx39对dx 段进行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0 xFxFxxqxFYsss)(dd)(xFxxqsdxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxAy xqxxFsdd剪力图上某点处的

19、切线斜率剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。等于该点处荷载集度的大小。 40q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxAy0)(d)()()(d(21)d(, 0)(2xMxMxMxxqxxFFmsiA)(d)(dxFxxMs弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM41 xqxxFsdd)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxM二、微分关系的应用二、微分关系的应用2 2、分布力、分布力q(x)=q(x)=常数时常数时剪力图为一条斜直线； 弯矩图为一条二次曲线。

20、1 1、分布力、分布力q(x)=0q(x)=0时时剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线。Fs图：图：M图：图：（1 1）当分布力的方向向上时）当分布力的方向向上时剪力图为斜向上的斜直线； 弯矩图为上凹的二次曲线。Fs图：图：M图：图：M(x)424 4、集中力偶处、集中力偶处剪力图无变化；弯矩图有突变， 突变值的大小等于集中力偶的大小。5 5、弯矩极值处、弯矩极值处剪力为零的截面、集中力作用的截面、 集中力偶作用的截面。3 3、集中力处、集中力处剪力图有突变，突变值等于集中力的大小； 弯矩图有折角。（2 2）当分布力的方向向下时）当分布力的方向向下时剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为下凹的

21、二次曲线。Fs图：图：M图：图：M(x)43外力外力无分布荷载段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0FsFs0时，Z轴上侧所有点为压应力，下侧所有点为拉应力；当M0时，Z轴下侧所有点为压应力，上侧所有点为拉应力。梁的抗弯刚度。梁的抗弯刚度。zEI 86四、公式的使用条件四、公式的使用条件弹性范围内工作的纯弯梁或横力弯曲的细长梁（L5h）。五、正应力最大值的确定五、正应力最大值的确定1、横截面上：对Z轴对称的截面zzctWMIMymaxmaxmax对Z轴不对称的截面 zttIMymaxmaxzccIMymaxmax2、整个梁上：对Z轴对称的截面zctWMmaxmaxmax对Z轴不对称的截面zt

22、tIMymaxmax)(zccIMymaxmax)(87六、惯性矩和抗弯截面模量的确定六、惯性矩和抗弯截面模量的确定dAyIAz2maxyIWzz1、实心圆：4641DIIyz3321DWz2、空心圆：)(64144dDIIyz)1 (32143DWzDd3、矩形：3121bhIz261bhWz88（一）、强度条件：（一）、强度条件： max zWMmaxmax（二）、强度计算：（二）、强度计算： 1、强度校核 2、设计截面尺寸 3、确定外荷载 max； max MWz ; max zWM 七、正应力的强度计算七、正应力的强度计算89kNmqLM5 .678/3608/22max kNmqxq

23、LxMx60)22(121 例例 ：受均布载荷作用的简支梁 如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的 正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200 GPa，求11 截面的曲率半径。q L/ 8Mx解解：画M图求截面弯矩M1Mmax1120180302q=60 kN/m1m2m11BAyz90473310832. 51218012012mmbhIz351048. 690/mmIWzzMPaIyMz7 .6110832. 560106076121求应力1120180302M1MmaxyzMPaWMz6 .921048.61060561max1MPaWMz2

24、.1041048. 6105 .6756maxmax求曲率半径q L/ 8MxmmmMEIz4 .194104 .194106010832.51020036731191解解：1、画弯矩图，确定最大值xMFaFa/20.5m0.5m0.5mABCD2FF例例：图示矩形截面梁b=60mm、h=120mm，=160MPa求：Fmax bh5F/2F/2Mmax=Fa2、强度计算 )(1 .46)(101 .46105 . 01206061160616133222maxmaxkNNabhFbhFaWMZFmax=46.1（kN）ZY92解解：画弯矩图并求危险面内力kNFkNFBYAY5 .10;5 .

25、 2)(5 . 2下下拉拉、上上压压kNmMC （上上拉拉、下下压压）kNmMB4 例例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t=30 M Pa， c=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，I z =763cm4 ，试校核此梁的强度。y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kNMx2.5kNm-4k N m93确定最大正应力，校核强度。MPaIyMzCct2 .281076310885 . 2462MPaIyMzBBt2 .271076310524461MPaIyMzBBc2 .461076310884462B截面（上拉下压）C截面（

26、下拉上压）y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN tt2 .28maxcc2 .46maxMx2.5kNm-4k N mBczCCcIyM4611076310525 . 294A1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面两个截面：maxMmaxmax; MMMx2.5kNm-4k N m95zybh5 55 5弯曲切应力及强度计算一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力1、假设：横截面上各点的切应力方向与剪力

27、的方向相同。切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。2、公式推导xd x图图ayFs960)(11dxbFFXNNzzAzANIMSydAIMdAFzzNISdMMF)(1zzszzbISFbISdxdM1Fs（x）+ d Fs（x）M（x）M（x）+ d M（x）Fs（x）d xA 图图 bhZyy由切应力互等定理可知由切应力互等定理可知bISFzzs注意注意：Fs为横截面的剪力；Iz为整个横截面对Z轴的惯性矩；b为Y点对应的宽度；Sz*为Y点以外的面积对Z轴的静面矩。97AFs23max)4(222yhIFzs矩3、切应力的分布：)4(2)2(2222yhbyhby

28、hAyScz 二、其它截面梁：二、其它截面梁：1 1、工字型截面、工字型截面 仍按矩形截面的仍按矩形截面的公式计算。公式计算。dISFzzsyZbdhzybyFsmaxbISFzzs98AFs34max2 2、圆型截面：、圆型截面：中性轴上有最大的切应力，中性轴上有最大的切应力， 方向与剪力方向相同。方向与剪力方向相同。AFs2max3 3、薄壁圆环：、薄壁圆环：中性轴上有最大的切应力，中性轴上有最大的切应力， 方向与剪力方向相同。方向与剪力方向相同。三、切应力的强度计算三、切应力的强度计算1 1、强度条件：、强度条件： bISFzzsmaxmaxmax2 2、强度计算、强度计算：、校核强度，

29、、设计截面尺寸，、确定外荷载。ZFsmax993 3、需要校核切应力的几种特殊情况：、需要校核切应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力梁的跨度较短，M 较小，而 Fs 较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。100解解：、画内力图求危险面内力例例、矩形截面 (bh=0.12m0.18m）木梁如图，=7 M Pa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。q= 3.6kN/mL= 3mAB)(54002336002maxNqLFs).(4050833600822maxmNqLM

30、Mxq L/ 8Fsxq L/ 2-q L/ 2101求最大应力并校核强度应力之比7 .1632maxmaxmaxhLFAWMsz22maxmaxmax18. 012. 0405066 bhMWMz MPaMPa 725. 618.012.054005.15 . 1 maxmax * AFs MPaMPa9 . 0375. 0102q= 30kN/mAB60kN1m5m例例：图示梁为工字型截面，已知=170MPa，=100MPa 试选择工字型梁的型号。解解：1、画、画Fs、M图图FAY=112.5kN ；FBY=97.5kN2、按正应力确定截面型号、按正应力确定截面型号 )(109301701

31、04 .158336maxmaxmaxmmMWWMZZ查表选查表选36c型号型号cmSImmdcmIzzz9 .29;14;173104 )(2714109 .29105 .1123maxmaxmaxMPadSIFdISFzzszzs3、切应力校核、切应力校核4、结论、结论：选选36c型号型号112.5kN52.5kN97.5kNxxFsM112.5kNm158.4kNm103y1y2Z例例：图示槽型截面梁，Iz=100*106mm4，y1=200mm，y2=50mm，t=45MPa， c =120MPa。校核梁的强度。70kNm10kN2m2mABC解解：1、画、画M图图XM20kNm50k

32、Nm30kNm2、确定最大、确定最大拉应力和最大拉应力和最大压应力，并进压应力，并进行强度校核行强度校核B左侧截面：左侧截面：M1=50kNm。下拉上压。下拉上压)(25101005010506621MPaIyMzBt)(1001010020010506611MPaIyMzBcB右侧截面：右侧截面：M2=20kNm。上拉下压。上拉下压。)(401010020010206612MPaIyMZBt结论：结论：tmax=40MPa cmax=100MPa104例例：图示结构，已知AB为10号工字型截面梁，CD为圆形截面杆， d=10mm，AB=160MPa，CD=120MPa。试试：确定外荷载q。B

33、qACD2m1m解解：1、画M图2、AB梁的强度计算 )/(7.1522maxmaxmkNWqWqWMzABABZABZAB)1049(33mmWz3、CD杆的强度计算 )/(2.4944922mkNdqdqAFCDCDCDNCD结论：结论：)/(2 . 4maxmkNq3q/49q/4XXFsM3q/45q/4q9q/32q/2105例例：图示梁，已知其截面为从圆木中截取的矩形截面，=10MPa，D=30mm，试试：确定外荷载的最大值。AB1.5m1.5m1.5mFFCDDbhXM1.5F解解：1、画M图2、确定最合理的截面尺寸 maxmaxmaxzzWWM39.23;30)(61613ma

34、xmax222dWdhdbWWbdbbhWzzzz3、确定外荷载的最大值 )(5 .11105 . 1/103930395 . 133max3maxmaxkNFdFWMz106例例：图示梁，已知其截面为三块矩形截面叠加而成（胶合成一体），胶 =3.4MPa，求求：Fmax及此时的max。若截面为自由叠加，max的值又为多大。F1mZ10050解：1、确定Fmax)(3.384.3100150100121)5050100(max3kNFFbISFzzs胶2、确定max)(10215010061101103 .38233maxmaxMPaWMz3、自由叠加时的max)(4 .30650100613

35、103 .386132620max0max0maxMPabhMWMzXXFsMFF*1107F（L-x）/LFx/L例例：图示梁上作用有一移动荷载，已知其截面为矩形 h/b=3/2，=10MPa ，=3MPa，求求：b、hABF=40kN1mxz解解：1、按正应力确定 maxmaxmaxMWMz)(1041);(5 .021)(maxkNmFlMmmlxoMxlxlFxM )(210)axmmhmmbbh2、按切应力确定 maxmaxmaxmaxmax5 . 1sszzsFAFbISFFFlxlxFxFFFxlxlFxFssssmax11max;)(; 0)( )(1

36、80)(1205 . 1maxmmhmmbbhFb=140mm；h=210mm108xM-M1M2qaaL例例、梁及截面如图，y2=2y1，I ZC、q、L均已知，c=3t、试确定a的合理长度； 如果 y2=4y1， a的合理长度又是多少？AB 解解：弯矩如图. 221qaM )4(2222aLqM 危险面的应力同时达到极限状态合理。xD1D2D3t3c25.1tc若109t211 ztIyMtztIyM 12363 La 如果 y2=4y1， a的合理长度又是多少？:合理条件应为c2t333.1ct若t211 ztIyM4 La c222 zcIyM :合合理理条条件件应应为为xD1D2D3

37、221qaM )4(2222aLqM xM-M1M2110yzhb)4(222yhIFbISFzszzs解： （1）横截面的切应力为： 例例 结构如图，试证明： （1）任意横截面上的切应力的合力等于该面的剪力； （2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩； （3）过高度中点做纵截面，那么，此纵截面上的切应力的 合力由哪个力来平衡？q111hhzsAyByhIFA5 .05 .022d)4(2dMIIMAIMyMzzh.h.zz50502d(2) 横截面上的合剪力为：szsFhhIBF)2(324233(3) 合力偶 112)(5 . 1)(5 . 1maxbhqxAxFshqLxqxhA

38、FLLABs43d)(23d200zANWAMAF2211max1max 11NAABsFF(4)中面上的切应力为：纵面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡。(5) 纵截面上的合剪力大小为：hqLbhbhqL4326221222 max 1135 57 7提高弯曲强度的措施（梁的合理强度设计）提高弯曲强度的措施（梁的合理强度设计） zWMmaxmax bISFzzsmaxmaxmax一、合理安排梁的受力，减小弯矩。一、合理安排梁的受力，减小弯矩。FABL/2L/2Mmax=FL/4ABF/LMmax=FL/8F/LMmax=FL/400.2L0.2LF/2Mmax=FL/8L/4L/4F/21

39、14AFsm3433. 1max 3231DWz z13221.18W 6)(6 RbhWz m 5 . 1max )2/(;,41221 DRRaaD时当1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDaaz二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。115m 2max z1433W75.2 )0.8-(132 DWz 1222167.1,4)8.0(4 DDDDD 时时当当 1121212,24 DaaD 时时当当z13124W67.1 646 abhWzm 5 . 1max 2a1a1z0.8DDz116 3 . 2maxm工字形截面与框形截面类似z1

40、5W57.4 zW1222222105.1,6.18.024 DaaaD 时时当当 0.8a2a22a21.6a2z117Z2、根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用 T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：118采用变截面梁 ，如右图：FX )()()(maxxWxMx bxMxh)(6)( 若为等宽度矩形截面，则高为若为等宽度矩形截面，则高为 b5 . 1)( , bh(x)Fs1.5=maxFsxh 同时同时三、设计等强度梁。三、设计等强度梁。

41、1195 58 8 轴向拉轴向拉( (压压) )与弯曲组合与弯曲组合一、拉一、拉( (压压) )弯组合变形的概念弯组合变形的概念： 杆件同时受轴向力和横向力（或产生平面弯曲的力矩）的作 用而产生的变形。F2F1F1M120二、拉二、拉( (压压) )弯组合变形的计算弯组合变形的计算FyxzLhb1 1、荷载的分解、荷载的分解FcosFFxsinFFy2 2、任意横截面任意点的、任意横截面任意点的“”yzkxcos)(FFxFxN（1）内力：xFxFxMyzsin)(（2）应力：AxFNFkN)(zkzMkIyxMz)(FyFx121YZ正应力的分布ZY在 Mz 作用下：在 FN 作用下：（3）

42、叠加：zNMkFkkAxFNFkN)(zkzMkIyxMz)(1223 3、强度计算、强度计算危险截面固定端危险点“ab”边各点有最大的拉应力， “cd”边各点有最大的压应力。cosFFNlFMzsinmaxZYabdcFyxzLhbYZAFWMNzztmaxmaxAFWMNzzcmaxmax强度条件（简单应力状态） max123ABC300FNCDF=40kNFAxFAy解解：1、外力分解例例 ：槽型截面梁 AB如图， =140MPa。试选择槽型截面梁的型号。F=40kNABCD3m1m300ZFFFFMNCDNCDA3830sin3400FxFyFFFFFFNCDyNCDx3430sin3

43、3430cos001242、强度计算ABC300FNCDFxFy危险截面C左1401033160104036maxmaxmaxmaxAWAFWMzNzt)(40);(33160maxmaxkNmMkNFN采用试选的方法)(107 .2851401040336maxmmWWWMzzz选两根18号槽型钢Wz=152.2cm3，A=29.29cm2。XXFNM40kNmkN33160F125ABC300FNCDFxFy140)(2 .14777.154 .1311029.2921033160102 .152210402336maxMPa选两根18号槽型钢每根Wz=152.2cm3，A=29.29cm

44、2。重选两根20a号槽型钢每根Wz=178cm3，A=28.83cm2。max=128.4（MPa）140讨论：讨论：cmax=？危险截面C右)(4 .112101782104036maxmaxMPaWMzcXXFNM40kNmkN33160F126一、偏心拉一、偏心拉( (压压) )的概念的概念 作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。FyxzFMYMZyxzMY：偏心拉偏心拉( (压压) )三、三、偏心拉（压）偏心拉（压） 截面核心截面核心1271 1、荷载的简化、荷载的简化2 2、任意横截面任意点的、任意横截面任意点的“”二、偏心拉二、偏心拉( (压压) )的计算的计算ZYXFZYzF

45、yFbhFFyFzFzmFymFZYXFmymzxFyyFzzNFzmxMFymxMFxF)()()()(（1）内力：ZYzkyk128（2）正应力：)();();(ykykzkzMkFkIzMIyMAFyMzN正应力的分布在 Mz 作用下：在 FN作用下：ZYzkyk在 My 作用下：ZYabcdYZabcdYZabcd129ykyzkzMkMkFkkIzMIyMAFyzN（3）叠加：3 3、强度计算、强度计算危险截面各截面危险点“a”点有最大的拉应力， “c”点有最大的压应力。强度条件（简单应力状态） maxyyzzyyzztWMWMAFIzMIyMAFmaxmaxmaxmaxmaxmax

46、maxyyzzyyzzcWMWMAFIzMIyMAFmaxmaxmaxmaxmaxmaxmax130三、结论三、结论轴向拉（压）与弯曲组合变形及偏心拉（压）组合变形对有棱角的截面，棱角处有最大的正应力且处于单向应力状态。 yyzzNWMWMAFmaxmaxmax四、对于无棱角的截面如何进行强度计算四、对于无棱角的截面如何进行强度计算首先确定中性轴的位置；其次找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；最后进行强度计算。ZYXFZYzkykyZFyFzF1311、令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标010020200000yFzFyFzFyyzzizziyyIzFzIyFyAFIzMIyMAFyk

47、yzkzMkMkFkkIzMIyMAFyzN设中性轴在 Z Y 轴的截距为 ay az 则FyzFzyziayia22;中性轴中性轴ayazYZFyPzP1322、确定危险点的位置作两条与中性轴平行且与截面相切的切线，两切点 D1、D2 即为危险点。3、强度计算求出两切点的坐标，带入应力计算公式确定最大拉应力和最大压应力进行强度计算。D1D24、结论、结论（1）、中性轴不过截面形心；（2）、中性轴与外力无关，与偏心距及截面形状、尺寸有关；（3）、中性轴的截距与偏心距符号相反，表明外力作用点与 中性轴分别在截面形心的相对两侧；YZ中性轴中性轴ayazFyFzF133（4）、若外力 F 作用在 Y

48、 轴上， zF=0 az=。 则中性轴一定平行于 Z 轴； 若外力 F 作用在 Z 轴上， yF=0 ay=。 则中性轴一定平行于 Y 轴；（5）、 zF yF az ay。即外力作用点越是向形心靠拢， 中性轴离形心越远，甚至移到截面外面。当中性轴移到 与截面相切或截面以外时，截面上则只存在压应力或拉应力；： 截面核心截面核心一、截面核心的概念：一、截面核心的概念： 当偏心压力（拉力）作用在横截面形心附近的某区域内， 横截面上就只产生压应力（拉应力），此区域即为截面核心。 134 首先在截面的边缘处做与截面相切的中性轴，并确定中性轴的截距； 其次由中性轴的截距，计算外力作用点的坐标，依次求出足

49、够的点； 最后连接所有的点得到一个在截面形心附近的区域 截面核心。中中性性轴轴a ya z截面核心截面核心二、截面核心确定的思路：二、截面核心确定的思路：F（zF， yF）135例例：矩形截面如图所示，确定其截面核心。ZYbh解解：1、计算形心主轴 Z Y 的惯性半径232232121121121121hbhbhAIibbhhbAIizzyy2、取矩形截面的四条边界线1、2、3、4、 为中性轴，计算其对应的外力作用点的 坐标。FyzFzyziayia22;yzFzyFaiyaiz22;1234136ZYbh1243yzFzyFaiyaiz22;6; 02;) 4(0;61;2) 3(6; 02;) 2(0;61;2) 1 (4444333322121111hyzhaaybzabahyzhaaybzabaFFyzFFyzFFyzFFyz3、确定外力作用点、并连接得出截面核心的区域。137)(75. 82002001035032maxMPaAFN111maxYNWMAF)(7 .1130020061501035030020010350233MPa解解：两柱均为压应力例：例：图示不等截面与等截面杆，受力 F=350 kN，试分别求出两柱内的绝对