第1章流体力学基本概念

1、第一章 流体力学基本概念1.1 连续介质假说连续介质假说 推导流体力学基本方程的两条途径推导流体力学基本方程的两条途径统计方法把流体看作由运动的分子组成，认为宏观现象起源于分子运动，采用统计平均的方法建立宏观物理量满足的方程，并确定流体的性质。对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运系数（，）的表达式。对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完整。连续介质方法把流体看作连续介质，认为流体是由质点组成的，质点是由分子组成的，质点在微观上充分大，在宏观上充分小。假设场变量（速度、密度、压强等）在连续介质的每一点都有唯一确定的值，连续介质遵守质量、动量和能量守恒定

2、律。从而推导出场变量的微分方程组。流体力学采用连续介质的方法。lim ()VmV lim ()Vv mum 连续介质方法连续介质方法当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时，可用统计平场的方法定义场变量如下： 在微观上充分大，宏观上充分小。1.1 连续介质假说连续介质假说31Ln连续介质方法的适用条件连续介质方法的适用条件n为单位体积的分子数（特征微观尺度是分子自由程），L为最小宏观尺度。在通常温度和压强下，边长2微米的立方体中大约包含2108个气体分子或21011液体分子；在日常生活和工程中，绝大多数场合均满足上述条件，连续介质方法无论对气体和液体都适用。1.1 连续介质假说连续介

3、质假说导弹和卫星在高空的稀薄气体中飞行，此时微观特征尺度接近宏观特征尺度；研究激波结构，此时宏观特征尺度接近微观特征尺度。 连续介质方法失效场合连续介质方法失效场合1.1 连续介质假说连续介质假说 流体质点流体质点流体质点是流体力学研究的最小单元。当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速度和密度。由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙地组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。 1.1 连续介质假说连续介质假说 ( , , , )uu x y z t( , , , )x y z t欧拉参考系欧拉参考系当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。着眼于空间点，在空间的

4、每一点上描述流体运动随时间的变化。独立变量x, y, z, t1.2 欧拉和拉格朗日参考系欧拉和拉格朗日参考系000(, )rr xyz t拉格朗日参考系拉格朗日参考系着眼于每个流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律，式中x0, y0, z0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。可以是曲线坐标，也可以是直角坐标，是流体质点的标号。独立变量x0, y0, z0, t。x, y, z 不再是独立变量，x - x0 = u ( t - t0), y - y0 = v (t - t0), z - z0 = w (t - t0), T =T(x0, y0,

5、z0, t), =(x0, y0, z0, t)。用x0, y0, z0来区分不同的流体质点，而用t来确定流体质点的不同空间位置。1.2 欧拉和拉格朗日参考系欧拉和拉格朗日参考系通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考系下推导基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的，因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关系式系统系统某一确定流体质点集合的总体。随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成。在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质量、动量和能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组

6、控制体控制体流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。流体可以通过控制面流进流出控制体，占据控制体的流体质点随时间变化。为了在欧拉参考系中推导控制方程，通常把注意力集中在通过控制体的流体上，应用质量、动量和能量守恒定律于这些流体，即可得到欧拉参考系中的基本方程组。系统和控制体系统和控制体1.2 欧拉和拉格朗日参考系欧拉和拉格朗日参考系),(tzyxuuzyxtu,),(000tzyxuu000,zyxtuDtuD欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数欧拉参考系：某一空间点上的流体速度变化，称当地导数或局部导数。拉格朗日参考系：在欧拉参考系下用 表示流体质点的速度变化。

7、流体质点的速度变化，即加速度。1.2 欧拉和拉格朗日参考系欧拉和拉格朗日参考系DtDDtD随体导数随体导数流体质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体倒数。随体导数又称质点导数，物质导数。设场变量 ，则 表示某一流体质点的 随时间的变化，即一个观察者随同流体一起运动，并且一直盯着某一特定流体质点时所看到的 随时间的变化。 是拉格朗日参考系下的时间导数。t),(tzyxtt),(ttzzyyxx(,)( , , , )xx yy zz ttx y z ttxyztxyz001lim(,)( , , , )limttDxx yy zz ttx y z tDttxyzttxtytzuvwtxyz

8、DtD在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导在欧拉参考系下推导）时刻，时刻，泰勒级数展开，DtD),(000tzyxxx ),(000tzyxyy ),(000tzyxzz zyx,tzyx,000ttzyxztzyxytzyxxtzyx),(),(),(),(000000000000000000000, , , , ,xyzx y zy z txyzxyzx y txyzx z tDxxyzDtttxtytztuvwtxyz在欧拉参考系下的表达式在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导在拉格朗日参考系下推导）此时 不再是独立变量，而是 的函数kkxutxux

9、uxutDtD332211utDtDzwyvxuzkyjxikwjviuu DtDt kkxu上式把拉格朗日导数和欧拉参考系中的就地导数和对流导数联系起来。称对流导数或位变导数，流体物性随空间坐标变化而变化，当流体质点空间位置随时间变化时，在流动过程中会取不同的 值，因此也会引起 的改变。欧拉时间导数，称局部导数或就地导数，表示空间某一点流体物理量随时间的变化；随体导数；矢量和张量形式的随体导数矢量和张量形式的随体导数dtkdFVkudvVDFudvDtVDNDdvDtDt1.41.4雷诺输运定理雷诺输运定理对系统体积分的随体导数对系统体积分的随体导数通常的力学和热力学定理都是应用于系统的，于

10、是就会遇到求对系统体积分的随体导数。( , )r tVNdv设 是单位体积流体的物理分布函数，而 是系统体积内包含的总物理量，则动量定理221 , , , 2uuNMMUMU 11取， 则 为 , 22举例，tttNtttNttNttNttNttNttNttNttNttNDtDNIIItItCVCVtCVIIIICVtsyssyst)(lim)(lim)()(lim)()()()(lim)()(lim00000DtDNdDtD系统和CV 在初始时刻重合，CV固定不动公式推导公式推导IIIIIICSICSIIInn1dA3dAtttuu0()00011()( )lim()11limlimlimC

11、VCVCVCVtII ttCSCStttNttNtNdtttN ttdu ndA tu ndAttt 011()limtIIICSIIICVCSCSIIIIIICVCSNttu ndAtDNdu ndAu ndADttCSCSCSDNdu ndADtt 公式推导公式推导IIIIIICSICSIIInn1dA3dAtttuuDtDNCSu ndA CVdt系统中的变量N对时间的变化率固定控制体内的变量N对时间的变化率，由 的不定常性引起 N 流出控制体的净流率，由于系统的空间位置和体积随时间改变引起 CVCSDNdu ndADtt 物理意义物理意义高斯公式，(), )kVVVVkDDdvu dv

12、dvudvDttDttx（IIIIIICSICSIIInn1dA3dAtttuu1.51.5流线、迹线和脉线流线、迹线和脉线1流线流线某一时刻，由许多流体质点构成流场中的一条空间曲线，曲线上各点的速度矢量方向和曲线在该点的切线方向相同。定常流动用一幅流线图就可表示出流场全貌；非定流动中，通过空间点的流体质点的速度大小和方向随时间而变化，此时谈到流线是指某一给定瞬时的流线。).(),(),(0tzyxwdztzyxvdytzyxudxwvudzdydxkjiVl dkwj vi uVkdzjdyidxl d把时间当作常数积分以上方程组，即可得流线方程。电力线，磁力线，用于理论分析。lV微分方程微

13、分方程流线的性质v1v2折点sv1v2s1s2交点（4 4）流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场，）流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场，这些流线构成某一时刻流场内的流谱。这些流线构成某一时刻流场内的流谱。（5 5）对于不可压缩流体，流线簇的疏密程度反应了该时）对于不可压缩流体，流线簇的疏密程度反应了该时刻流场中各点速度的大小，流线密的位置速度大，流线疏刻流场中各点速度的大小，流线密的位置速度大，流线疏的位置速度小。的位置速度小。流线的性质dswdzvdyudx)(sxx )(syy )(szz s),(000zyx0s0 xx 0yy 0zz 参数方程参数方程选用 作为参变量，积

14、分上式可得到流线参数方程，,则参数方程的初始条件可定为，若已知流线经过点消去 s 即可得到流线方程。在参考点s为零，沿流线其值增加。 (12 ), , 0uxtvy w )21 ( ydsdytxdsdx 2)21(1sstecyecx0s1 yx121 cc )21(ssteyexstyx21解：积分以上方程得，由条件 时， ，可解出，消去 得，例.设两维流动，求通过（1，1）点的流线。由以方程可以看出，通过（1，1）点的流线随时间变化而变化。若求 时通过（1，1）点的流线，让以上方程中，0t0tsseyexxy 2 2迹线迹线流体质点在不同时刻进行空间运动时描绘出来的曲线。在定常流动情况下

15、，任何一个流体质点的迹线，同时也是一条流线，即质点沿不随时间变化的流线运动。迹线的微分方程组迹线的微分方程组dtwdzvdyudxt),(),( ),(000000000tzyxzztzyxyytzyxxxt请注意在以上方程组中 是自变量。 是流体质点的空间坐标，因此都是 的函数。初始条件：, , x y z0 , , oootx= xyyzz时， (12 ), , 0uxtvy w (12 ) dxxtdtdyydt0t 1 yx121 cct解：积分以上方程得，由条件 时， ，可解出，消去 得，例.设两维流动，求 通过（1，1）点的迹线。0t 2)1(1tttecyecx )1(tttey

16、exyyxln13脉线脉线从流场中的一个固定点向流场中连续地注入与流体密度相同的染色液，该染色液形成一条纤细色线，称为脉线。或另定义如下，把相继经过流场同一空间点的流体质点在某瞬时连接起来得到的一条线。脉线又称烟线，染色线。脉线本质上是流体质点的迹线，所以可通过求解迹线方程而得到。dtwdzvdyudx迹线的微分方程组迹线的微分方程组初始条件：0 , , ootxxyyzz时，积分以上方程组得， ),( ),( ),(000000000tzyxzztzyxyytzyxxx上述方程即 时刻从点 进入流场的流体质点的迹线方程。000,xyz事实上当 固定，而让 变化（ ）时，上述表达式给出了 时刻

17、由点 注入流场的一个流体质点的迹线；而当固定 而让 变化（ ）时，上述表达式则给出了在 时刻前经由 点注入流场的不同流体质点在 时刻的不同空间位置，即脉线。 tt),(000zyxttt),(000zyxt ),( ),( ),(000000000tzyxzztzyxyytzyxxx当 取 的值时，上述方程即给出 t 时刻的脉线。 t (12 ), , 0uxtvy w (12 ) dxxtdtdyydt1 yx解：积分以上方程得，由条件 时， ，可解出，例.设两维流动，求通过（1，1）点的脉线。 2)1(1tttecyecxt)1(1 ec ec2 )1()1(ttteyex以上即通过（1，

18、1）点的脉线参数方程。显然在不同时刻（ 取不同值时）脉线形状也不同。t0t )1(eyexyyxln1在 时刻，消去 得， )1()1(ttteyex以上例题中 时刻经过（1，1）点的流线、迹线和脉线如图示。可以看出，在非定常流动条件下，三种曲线一般是不重合的。在定常流动条件下，三种曲线合而为一。0t在流场内作一非流线且不自相交的封闭曲线，在某一瞬时通过该曲线上各点的流线构成一个管状表面，称流管。若流管的横截面无限小，则称元流。所有的元流之和，称为总流。流管表面由流线组成，所以流体不能穿过流管侧面流进流出，而只能从流管一端流入，而从另一端流出。流管流管 为流体中一流体质点， 为 点邻域内另一任

19、意流体质点，如果速度场已知，则同一瞬时上述 点对于 点的相对运动速度可计算如下：MMM uuuuxyzu iv jw kxyzuuuzzwyywxxwwzzvyyvxxvvzzuyyuxxuu1.61.6 速度分解定理速度分解定理速度梯度张量速度梯度张量MM式中写成分量形式zyxzwywxwzvyvxvzuyuxuwvu jjiixxuujixuzwywxwzvyvxvzuyuxu u上式用矩阵表示为，一个标量的梯度是一个矢量，而一个矢量的梯度则是一个二阶张量。是一个二阶张量，称为速度梯度张量。或速度梯度张量也可表示成或zzwyywxxwwzzvyyvxxvvzzuyyuxxuu速度梯度张量分

20、解为两个张量速度梯度张量分解为两个张量 1122jjiiiijijjjijiuuuuusaxxxxxzwzvywzuxwywzvyvyuxvxwzuxvyuxusij21 2121212121ijsjiijss 只有6个独立分量，除对角线元素外，非对角线元素两两对应相等，可表示为 ，是一个对称张量。该张量描述流体微团的变形运动，称应变率张量。 0 212121 0 212121 0zvywzuxwywzvyuxvxwzuxvyuaij 只有3个独立分量，对角线元素为零，非对角线元素两两互为负数，可表示为 ，是一个反对称张量。该张量描述流体微团的旋转运动，称旋转张量。ijajiijaa12jii

21、jjiuuaxx旋转张量旋转张量反对称张量只有三个独立量，可看作一个矢量的三个分量，0 0 0121323ijazvyw211xwzu212yuxv21321u21这三个分量正好构成速度旋度的123a231a123a kijkija0 0 0121323ija以 间的位移 和旋转张量 相乘， MMra1rot 2raxxrurijjijkj k a在刚体的定点转动中，如果角速度为 ，则距定点距离 处的旋转速度为 ， 比较知，rru21速度的旋度是流体微团绕其内部一瞬时轴的旋转角速度的2倍。ksjtktjsistijkktijtijk2ktktktkjjtktjjijtijk2362kkijki

22、jk0ijijkijk置换符号置换符号 110ijki、j、k 偶排列，123，231，312i、j、k 中有两个以上指标相同时i, j, k 奇排列 ，213，321，132有以下重要性质： ijk 表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 点相对于M 点的速度变化。11221rot 2jjiiiijjjjijiijjijjuuuuuuxxxxxxxsxaxrur sRDuuuruD sM1rot 2Ruur速度分解定理速度分解定理上式以矢量形式可写为， 表示由于流体微团变形而产生的 点相对于M点的速度变化。M取一由流体质点组成的线段元，r1.71.7应变率张量应变率张量正应变率分量正应变率分量

23、rrr()ddrrruuuatatuuuxyzxyzr () rx iduuvwrxx ix jx kdtxxxx2)()(xxuxdtdxrdtdr)(1xdtdxxu1()1()vdyyy dtwdzzz dt设某瞬时 与x轴重合，则应变率张量对角线分量分别是x，y，z轴线上的线段元 的相对伸长率，称正应变率分量。同理, , xyz2r1r12121221 , , (), ()(), ()dudurx iry jrxrydtxdtydudvrrx yrrx ydtydtx 剪切应变率分量剪切应变率分量取流体质点组成的线元 、 ，设在某一瞬时 与x轴重合，而 与y轴重合，于是，1r2r 12

24、coscossinxyxyxyxyxyvuddx yrrx yxydtdtdddx yx yx ydtatat xy90 , cos0, sin1xyxyxydtdyuxvxy2121式中 是 x 轴与 y 轴之间的夹角， ， 于是，应变率张量非角线分量分别是平行于 x 与 y 轴，z 与 x 轴，y 与z 轴的物质线段元之间夹角随时间变化率一半的负值，称剪切应变率分量。dtdxwzuzx2121dtdzvywzy2121同理得，iisdiv iiuvwsuxyzv体积应变率体积应变率应变率张量对角线分量之和 是一个标量，取一流体团，体积为 ，外表面为 S，体积 的变化率等于通过封闭曲面 S

25、的速度通量，vSdsunvdtd )( vvSvvdvuvdsunvvdtdv 0 00 div1lim1lim1limuuvvv div div 1lim0iis应变率张量三个对角线分量之和 或速度的散度表示流体微元的相对体积膨胀率。Ll du 1.81.8速度环量和涡量速度环量和涡量速度环量速度环量速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度量，线积分沿逆时针方向进行。uikjjkkjijkiexuxuxu20u0 u涡量涡量 涡量是流体微团绕其内部一瞬时轴作旋转运动的角速度的二倍， 涡量与流体微团自身的旋转角速度成正比，而与流体微团重心围绕某一参考中心作圆周运动的角速度无关。流动是否有旋与流体质

26、点的运动轨迹无关。一个作圆周运动的流体微团可能涡量为零。 流场内处处 的流动称无旋流，或称势流。 的流动则称有旋流动。SSdsndsnu )(LSl dudsn Stokes定理定理涡通量：Stokes定理：1.91.9涡旋的运动学特性涡旋的运动学特性涡管和微元涡管涡管和微元涡管涡线，流场中的一条曲线，曲线上各点的涡量矢量方向和曲线在该点的切线方向相同。涡管，在流场内作一非涡线且不自相交的封闭曲线，在某瞬时通过该曲线上各点的涡线组成一管状表面，称涡管。涡管横截面无限小时称涡管元。0)(u涡旋场是无源场涡旋场是无源场矢量恒等式，涡旋场内无源无汇。012 SSndsnds涡管的运动学特性涡管的运动

27、学特性推论：对一个确定的涡管，它的任一横截面上的涡通量是一个常数。该常数称为涡管强度。 由 ，对图示涡管，1 1 Sdsn2 2 Sdsn21推论：沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等。 由Stokes定理1S2S02121 SSSSVdsndsndsndv由于涡旋场是无源场，可以推断，涡线和涡管都不能在流体内部中断。如果发生中断，则在中断处取封闭曲面，通过封闭曲面的涡通量将不为零，与无源场事实相矛盾。涡线和涡管只能在流体中自行封闭，形成涡环，或将其头尾搭在固壁或自由面，或延伸至无穷远。涡线和涡管都不能在流体内部中断涡线和涡管都不能在流体内部中断下标 表示面元 的法线方向。0limnAFp

28、A nAnnppnpnp1.101.10应力张量应力张量应力矢量应力矢量，正侧流体对负侧流体的作用应力；，负侧流体对正侧流体的作用应力。nnnnp,npnnn22nnnnpnznynxnp , , xzxyxxxp , , 应力矢量的投影应力矢量的投影应力的双下标表示法：第 1 个下标表示应力所在平面的法线方向，第 2 个下标表示应力投影方向。n),(tnrppnn一点的应力状态一点的应力状态在运动的粘性流体中，表面应力的方向和大小一般来说与其作用面的方位有关（表面应力方向与法向 并不一致），因此描述一点的应力状态似乎就需要无限多个矢量。下面将证明过空间一点的三个相互垂直平面（可取三个坐标平面

29、）上的应力矢量或它们的九个分量完全描写了一点的应力状态。取四面体流体元，应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量sABCsnsOBCxxsnsOACyyzzOABsns),cos(),cos(),cos(),(znynxnnnnnzyx惯性力，重力，表面力，va vg spnxxspyyspzzsp0v应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量达朗贝尔原理：作用于四面体上的质量力（重力），表面力和惯性力及其力矩应该平衡。当 ，重力、惯性力为三阶无穷小量，表面力为二阶无穷小量，因此仅需考虑表面力作用，忽略惯性力和重力影响。0F0zzyyxxnspspspspzzyyxxpppppp,zzyyxxnnpnp

30、nppzzzyyzxxznzzzyyyyxxynyzzxyyxxxxnxnnnnnnnnnzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxnznynxnnn ),(jijnin npn应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量ijzzzyzxyzyyyxxzxyxx jiijn应力张量应力张量或称应力张量应力张量的对角线元素为法向应力分量，非对角线元素为切向应力分量。用四面体上的表面力的合力矩为零可以证明应力张量是对称张量，只有6个独立分量，其非对角线分量两两对应相等，应力张量 不再与 有关，而只是空间点位置和时间的函数，由九个分量（6个独立分量）组成的应力张量完全表达了给定时刻一点的应力状态。jjini

31、nnxxxxnyyyynzzzznnnnpnnnznnnzynnnyxnnnxnnn1.111.11理想流体与静止流体的应力张量理想流体与静止流体的应力张量一点的应力状态一点的应力状态在理想流体或静止流体中切应力为零pnnzzyyxxnpp由于 是任选的，上式表明同一点各个不同方向上的法向应力是相等的。取 是强调压强与作用面的法线方向是相反的，由此可见在理想流体或静止流体中，只要用一个标量函数即压力函数 便完全地描述了一点上的应力状态。比较上 2 式得，000010101nnijnnnnijppppp 应力张量应力张量1.121.12本构方程本构方程应力和应变率之间的关系，或者说应力张量和应变率张量之间的关系称本构方程。ijijijpijpijijpijij三点假设之一三点假设之一运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量，流体压强此时即为静力学压强，据此应力张量可表示为，应力张量热力学压强剪切应力张量或偏应力张量。 由于流体运动而引起，当运动消失时趋于零， 也趋于静力学压强。由于 ， 均是对称张量，因此偏应力张量 也是对称张量。ij三点假设之二三点假设之二ijjixu偏应力张量 的各分量是局部速度梯度张量 各分量的线