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文档简介
1、平面向量的内积平面向量的内积一、学习要求1.掌握平面向量内积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示;2.平面向量内积的应用.学法指导(1)阅读教材,预习平面向量的坐标表示.(2)本学时的重点是理解平面向量内积的概念,平面向量内积的基本性质及运算律. 会进行平面向量内积的运算.第 一 学 时课堂探究1.探究问题【探究1】如图所示,吊车用5牛顿的力作用于一个物体,该力与物体位移的方向所成的角是60,并使该物体发生了10米位移,这个力所做的功是多少?答案:由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角,真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力,这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功即力f使物体位移s
2、所做的功W可用下式计算:Wsfcos2560cos1052.知识链接:(1)两个非零向量的夹角:已知非零向量a与b,作 a, b,则AOB()叫a与b的夹角(2)平面向量内积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是,则数量|a|b|cos叫a与b的内积,记作ab,即有ab = |a|b|cos 规定:0与任何向量的内积为0 两个向量的内积是一个实数,不是向量,可以是正数、负数或零,符号由cosa,b的符号所决定.(3)向量的内积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cos的乘积.OAuurOBuu u r(4)两个向量的内积的性质 当a与b同向时,ab=|a|b|;
3、当a与b反向时,ab=-|a|b|特别的aa=|a|2或|a|= . cos= ab ab0(5)平面向量内积的运算律交换律:ab = ba数乘结合律:(a)b =(ab) = a(b)分配律:(a+b)c = ac+bc a a|baba3.拓展提高例1 判断下列各命题正确与否(1)0a=0;(2)0a=0;(3)若a0,ab=ac,则b=c;(4)若ab=ac,则bc时,当且仅当a=0时成立;(5)(ab)c=a(bc)对任意a,b,c向量都成立;(6)对任意向量a,有a2=|a|2 答案:(1)错;(2)对;(3)错;(4)错;(5)错;(6)对。例2 已知|a|=1,|b|=2,c=a
4、+b,且ca,求向量a与b的夹角.设所求两向量的夹角为因为 得 所以acbac,0)(2baaabaaccos22baa由21cos2babaa1204.当堂训练(1)下列各式中正确的是( ) (a)b=a (b) |ab|=|a|b| (ab)c=a(bc) (a+b)c=ac+bcA. B. C. D.以上都不对(2)在ABC中,若( + )( )=0,则ABC为( )A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定(3)若|a|=|b|=|ab|,则b与a+b的夹角为( )A.30 B.60 C.150 D.120(4)设|a|= 4,|b|=3,a,b夹角为60,则|a+b|
5、等于( )A.37 B.13 C. D.ACBuurCAuurCBuurCAuurCCC3713学法指导(1)阅读教材,预习运用平面向量的坐标求内积.(2)本学时的重点是理解运用平面向量的坐标求内积,并会进行平面向量内积的运算.第 二 学 时课堂探究1.探究问题【探究】平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变. 向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便. 上一学时,我们学习了平面向量的内积,看书归纳:向量的坐标表示对平面向量的内积ab的表示方式会带来什么变化?ab = |a|b|cos 还可以这样表示: ,其中:ba2121
6、yyxx),(11yxa ),(22yxb 2.知识链接:已知两个非零向量 , ,则(1) (2)两向量夹角 ( )的余弦 cos = (3)),(11yxa ),(22yxb 1212a bx xy yg0|baba222221212121yxyxyyxxba 02121yyxx3.拓展提高例1已知a=(-1, ),b=( ,-1),求ab,|a|,|b|,a与b的夹角. 答案:( 1)33( 1)2 3a b 22|( 1)( 3)2a 22|( 3)( 1)2b 2 33cos| |2 22a bab 05633例2 已知a(1, ),b( 1, 1),则a与b的夹角是多少?由a(, ),b( +, )有ab ( )4,a2,b2 记a与b的夹角为,则cos 又0, 333333222baba43334当堂训练 (1)若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|24ab( )A.23 B.57 C.63 D.83(2)已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量,则b等于( )A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 (3)a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)(a-b)= (4)已知A(1,0),B(3,1),C(
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