第二章§2.3二元随机变量

1、12二元随机变量二元随机变量定义定义 设随机试验设随机试验E的样本空间中的样本空间中。= ()和和=()是定义在是定义在上的随机变量，由它们构成的向上的随机变量，由它们构成的向量量(,)，称为，称为二元随机变（向）量二元随机变（向）量。 研究方法与一元类似，用研究方法与一元类似，用分布函数、分布律、分布函数、分布律、或或概率密度概率密度来描述其统计规律。来描述其统计规律。内容复习内容复习3一、二元随机变量的分布函数一、二元随机变量的分布函数设设(,) 是二元随机变量是二元随机变量(,)， x, y R( , )() ()F x yPxy ,Pxy , x y ( , ), ),(.F x y

2、二二元元随随机机变变量量的的分分布布函函数数和和的的称称为为或或称称为为联联合合分分随随变变量量布布函函数数机机xoy),(yx x ,y 4由上面的几何解释由上面的几何解释, ,易见易见: :随机点随机点(,)落在矩形区域落在矩形区域: : x1 x2, y1 y2内的概率内的概率 Px1 x2, y1 y2 =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1)J 说明说明(x2, y1)x(x2, y2)(x1, y2)(x1, y1)5边缘分布函数边缘分布函数二维随机变量二维随机变量(,)作为一个整体作为一个整体, 具有分布函数具有分布函数F(x,y)。其分

3、量其分量和和也也都是随机变量都是随机变量, 也有自己的分布函数也有自己的分布函数, 将其分别记为将其分别记为F (x), F (y)。依次称为二维随机变量。依次称为二维随机变量(,) 关于关于和和关于关于的的边缘分布函数（边缘分布函数（Marginal distribution）。F(x)=P x =P x, +=F(x,+)F (y)=P y=P 0） =xi 的条件下，关于的条件下，关于 的条件分布律：的条件分布律：)1(,|iijijiijppxPyxPxyP （j=1, 2, ； P =xi0）定数定数定数定数3.3.条件分布条件分布 15ijiiijjjpppxpppxpppxyyy

4、2122221211211121 )2()2(2)2(1)2(jjpppp)1()1(2)1(1)1(iipppp分母分母分子分子,|ijjiiPxyPyxPx (1)ijipp 16XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210013. 0032. 0045. 0910. 0iXP 900. 0080. 0020. 0jYP 例例4 已知已知.,0)2(;,1)1(的的条条件件分分布布律律的的条条件件下下求求在在的的条条件件分分布布律律的的条条件件下下求求在在XYYX 17XY

5、3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 0045. 0910. 0000. 1iXP jYP 解解由上述分布律的表格可得由上述分布律的表格可得10, 110 XPYXPXYP0.0300.045 23 1,1111P XYP YXP X 0.0100.045 29 (1)1,;XY 求求在在的的条条件件下下的的条条件件分分布布律律18XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 001

6、0. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 0045. 0910. 0000. 1iXP jYP 01P YX2311P YX29 12, 112 XPYXPXYP0.0050.045 19 1,XY 在在的的条条件件下下的的条条件件分分布布律律为为Y1P Yj X21022139919XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 00

7、45. 0910. 0000. 1iXP jYP (2)0,.YX 求求在在的的条条件件下下的的条条件件分分布布律律00P XY1415 10P XY145 20P XY0.8400.900 130 0.0300.900 0.0200.900 30P XY190 0.0100.900 0, XY 的的条条件件在在的的条条件件下下分分布布律律为为X0P Xi Y3210141111530459020YX123210.20.10.10.30.20.1 ,X Y 设设的的联联合合分分练练习习 布布律律为为：12, 22, XYYX 求求（ ） 在在条条件件下下的的分分布布律律 （ ） 在在条条件件下

8、下的的分分布布律律21例例5 已知已知 ， 的概率分布为：的概率分布为：; 6 . 01, 4 . 01 PP条件分布：条件分布：011|10 PkP25. 01|10 （1）求）求k;（2）求）求( , ) 的概率分布；的概率分布；（3）求）求 P , P +0 。解解75. 0)1( k. 3 . 01, 7 . 00 PP22).2 , 1,(,|,)2( jixyPxPyxPpijijiij 1|010, 111 PPPp1 . 025. 04 . 0 1|111, 112 PPPp1|010, 121 PPPp3 . 075. 04 . 0 6 . 016 . 0 1|111, 12

9、2 PPPp006 . 0 与概率乘法公式相似与概率乘法公式相似23 06 . 013 . 01 . 0110 概率分布表：概率分布表：1, 10, 1)3( PPP4 . 03 . 01 . 0 010 PP1, 11 P7 . 03 . 01 利用联合利用联合分布律分布律24三、二元连续型随机变量的分布三、二元连续型随机变量的分布1. 联合概率密度联合概率密度定义定义2.9（P.58）对）对( , ) 的分布函数的分布函数F(x,y),若存在若存在f(x,y)(非负非负、可积可积），有），有 xydsdttsfyxF),(),(2),(Ryx 则称则称( , ) 是是二元连续型随机变量二元

10、连续型随机变量，f(x,y)为为( , ) 的的概率密度概率密度，或，或 和和 的的联合概率密度联合概率密度。简记为简记为 ( , ) f (x, y)。25性质性质; 0),(1 yxf 1),(2dxdyyxf)1),( F重要公式：重要公式： GdxdyyxfGP),(),( G是平面区域。是平面区域。),(yx),(yxfxyz0G2( , )3. ( , )F x yf x yx y 随机事件的概率随机事件的概率=曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 xydsdttsfyxF),(),(2),(Ryx 26abxyoi ix1x1 ix1 nx定积分的几何模型定积分的几何模型曲边梯形求面积曲

11、边梯形求面积1.分分割割2.求求部部分分近近似似量量3.求求和和4.取取极极限限，求求得得精精确确值值iinixfA )(lim10 badxxf)(从定积分推广到二重积分从定积分推广到二重积分27二重积分的几何模型二重积分的几何模型曲顶柱体求体积曲顶柱体求体积1.分分割割2.求求部部分分近近似似量量3.求求和和4.取取极极限限，求求得得精精确确值值01lim(,)niiiiVf ( , )Df x y dxdy 从定积分推广到二重积分从定积分推广到二重积分D),(yxfz 28设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间则对应于小

12、区间d,xxx的体积元素为的体积元素为d( )dVA xx 因此所求立体体积为因此所求立体体积为( )dbaVA xx 上连续上连续,二重积分的计算二重积分的计算已知平行截面面积立体体积已知平行截面面积立体体积xabx( )A x29如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、直角坐标系下计算二重积分一、直角坐标系下计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个

13、交点线与区域边界相交不多于两个交点.30( , )( , )Df x y dDzf x y 的的值值等等于于以以为为底底，以以曲曲面面为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得zyxa0 xb)(0 xA2( )yx ( , )zf x y 1()yx 0( , )zf x y 10()x 20()x 0()A x:,D axb).()(21xyx 31如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx

14、Dcdcd)(2yx )(1yx D Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.32( , )( , )Df x y dDzf x y 的的值值等等于于以以为为底底，以以曲曲面面为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积得得:,D cyd12( )( ).yxyzyxcyd( )A y2( )xy ( , )zf x y 1()xy 21()()( , )( )( , ).ddyccyDf x y dA y dydyf x y dx 33若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个

15、区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.34如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx X型型21()()( , )( , ).bxaxDf x y ddxf x y dy 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型21()()( , )( , ).dycyDf x y ddyf x y dx 直角坐标系下计算二重积分直角坐标系下计算二重积分35xy211xy o221d y例例1. 计算计算,dDyxI其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及yx 所围的闭区域所围的闭区域. x解法解法1. 将将D看作看

16、作X型区域型区域, 则则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 则则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y36例例2. 计算计算,dDyx其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2

17、y2y2 xy及直线及直线则则 37三、二元连续型随机变量的分布三、二元连续型随机变量的分布1. 联合概率密度联合概率密度定义定义2.9（P.58）对）对( , ) 的分布函数的分布函数F(x,y),若存在若存在f(x,y)(非负非负、可积可积），有），有 xydsdttsfyxF),(),(2),(Ryx 则称则称( , ) 是是二元连续型随机变量二元连续型随机变量，f(x,y)为为( , ) 的的概率密度概率密度，或，或 和和 的的联合概率密度联合概率密度。( , )1f x y dxdy GdxdyyxfGP),(),( G是平面区域。是平面区域。38例例3（P.58）设）设( , ) f (x, y)，且，且 其它。其它。, 0; 0, 0,),()2(yxekyxfy