第八章5隐函数的求导法

1、0),(. 1 yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导法则隐函数的求导法则一、一个方程的情形一、一个方程的情形例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(

2、的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,

3、13y . 1022 xdxyd例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.解解令令,arctanln),(22xyyxyxF 则则,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),(. 2 zyxF隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连

4、续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .)(,),(xysxrsrFu ursx),(),(yxzzzyxFu uxyzxy例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令,4),(222zzyxzyxF 则则,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成y

5、x,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff )1(

6、0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得yx ,vuvuyzffxzff 二、方程组的情形二、方程组的情形1、对于方程组、对于方程组 0),(0),( zyxFzyx 怎样求偏导数怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当当 x 给定以后相当于解含关于给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组的方程组如果有解且唯一则对于不同的如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了就完全确定了y , z 故方程组确定了两个一元隐函数故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x) 若若0 zyzyFFJ 则则,1zxzxFFJdxdy x

7、yxyFFJdxdz 1 怎样求怎样求dxdzdxdy,0),( zyxF两边对两边对 x 求导求导 注意左边是复合函数（三个中间变量），注意左边是复合函数（三个中间变量），0 dxdzFdxdyFFzyx同理同理0 dxdzdxdyzyx 2、 0),(0),(vuyxGvuyxF隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxF、),(vuyxG在在点点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且偏导数，且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ，且偏导数所组成的函数行列式，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可

8、比（或称雅可比式）式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),(在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu ,),(),(1vuvu

9、vyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 例例5 5 设设0 yvxu，1 xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和yv .解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 在在0 J的条件下，的条件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得求导，用同样方法得,22yxyuxvyu

10、 .22yxyvxuyv 注注这组公式不太好记，具体做题时应这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想用的是其基本思想关于隐函数求二阶偏导数关于隐函数求二阶偏导数以以0),( zyxF为例，为例， 主要有三种方法：主要有三种方法：公式法公式法,zxFFxz 222)()(zzxzxFFxFFFxz 21223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF 类似地可求得类似地可求得222,yzyxz 直接法直接法方程两边连续求导两次方程两边连续求导两次0 xzFFzx0)(2222 xzFxzFxzFFzzzxzxx解得：解得：22xz 21223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF 两种方法相比

11、，法二较简便，因为可避免两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。BdyAdxdz yzBxzA ,则则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。这样一次就可求得全部的一阶偏导数。全微分法全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分求全微分三、小结三、小结隐函数的求导法则隐函数的求导法则（分以下几种情况）（分以下几种

12、情况）0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()4(vuyxGvuyxF 0),(0),() 3(zyxzyxF 思考题思考题已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数， 求求? yzyxzx 思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF ,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyyxarctanln22 , ,则则 dxdy_._. 2 2、设、设zxyz , ,则则 xz_,_, yz

13、_._.二、二、 设设,32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：. 1 yzxz三三、 如如 果果 函函 数数),(zyxf对对 任任 何何t恒恒 满满 足足 关关 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,则则称称函函数数),(zyxf为为 k次次齐齐次次函函数数, ,试试证证: :k次次齐齐次次函函数数满满足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .四四、设设.,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程组组所所确确定定的的函函数数的的导导数数或或偏偏导导数数: :1 1、 设设 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxd

14、y2 2、 设设 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf ,具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数）六、六、 设函数设函数)(xu由方程组由方程组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所确定所确定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 设设),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxF所确定的所确定的yx,的函数的函数, ,求求.dxdy八、八、 设设),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所确定所确定, , 证明证明: :xyzyzyxzx . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、