范德蒙行列式-拉普拉斯展开-克莱姆法则

1、12但这一组求解公式不易记。为了便于记忆，我们引进二阶行列但这一组求解公式不易记。为了便于记忆，我们引进二阶行列式概念：由式概念：由4个数排成二行、二列，加记号个数排成二行、二列，加记号“| | ”线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式 1 22221211212111 bxaxabxaxa二元线性方程组二元线性方程组 为为未未知知量量。为为常常数数，其其中中2121x,x,j , ib,ajij 时，时，当当021122211 aaaa122122112111122122122111222211aaaaababx,aaaaababx 一一. 二阶和

2、三阶行列式二阶和三阶行列式用中学学过的加减消元法可得结论：用中学学过的加减消元法可得结论：方程组有唯一解：方程组有唯一解：3由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的结果写为：由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的结果写为：线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式为了讨论三元线性方程组以及为了讨论三元线性方程组以及n元线性方程组的需要，必须元线性方程组的需要，必须引进三阶行列式直至引进三阶行列式直至n阶行列式阶行列式。22111122221211babaD,ababD 22211211aaaaD 并称为线性方程组（并称为线性方程组（1）的）的系

3、数行列式系数行列式，则当则当D 0时，有时，有DDx,DDx2211 2112221122211211aaaaaaaa 4线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 三阶行列式值的计算可按书上三阶行列式值的计算可按书上P.4页图示页图示“对角线法则对角线法则”来来 表表示示一一个个行行列列式式。”加加上上记记号号“表表，排排成成三三行行三三列列的的方方形形数数九九个个数数,|,j , iaij3

4、21 为为行行列列式式的的元元素素。记记忆忆，且且称称数数ija三阶行列式的三阶行列式的定义：定义：5线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式例：解三元方程组例：解三元方程组。 34222232122321321321xxxxxxxxx解：解：系数行列式系数行列式422232221 D04 所以方程组有唯一解。再计算：所以方程组有唯一解。再计算：6423232221 D2432222211 D1322232121 D2321 DDx2111 DDx4133 DDx6一个排列中的逆序总数称排列的一个排列中的逆序总数称排列的逆序数逆序数。线性代数线性代数

5、第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式个。个。列的总数为列的总数为阶排阶排表示。所有的表示。所有的阶排列可用阶排列可用一般地，一个一般地，一个!nn)j.jj(nn21 或者或者记为：记为：逆序数为逆序数为奇奇数的排列称为数的排列称为奇奇排列，排列，逆序数为逆序数为偶偶数的排列称为数的排列称为偶偶排列。排列。返回返回二二. n阶排列及逆序数阶排列及逆序数定义定义1:由自然数由自然数1,2,n组成的一个有序数组称为一个组成的一个有序数组称为一个n阶排列。阶排列。定义定义2:在一个排列中，任取一对数，假如大数排前，小数排后，在一个排列中，任取一对数，假如大数排前，小数排后

6、，则称这对数构成一个逆序，否则称一个顺序。则称这对数构成一个逆序，否则称一个顺序。7线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式335241 )(0321 )n(21121)n(n)nn( 当当n=4k,4k+1 时偶排列时偶排列当当n=4k+,4k+ 时奇排列时奇排列3) n阶倒序排列倒序排列 (n n-1 2 1) 例例1 计算下列排列的逆序数并指出排列的奇偶性计算下列排列的逆序数并指出排列的奇偶性1）五阶排列）五阶排列 （1 4 2 5 3）奇排列奇排列2）n阶自然排列自然排列 （1 2 3 n)偶排列偶排列8线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列

7、式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式.!n,n(n22 偶偶排排列列各各占占一一半半，均均为为奇奇排排列列、）排排列列中中阶阶在在所所有有 )(),(125434147任一任一 n 阶排列均可以通过若干次对换变为自然排列。阶排列均可以通过若干次对换变为自然排列。在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余数位置不在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余数位置不动，这样的变换称为动，这样的变换称为对换对换。定义定义3：任一排列经任一排列经一次对换一次对换，必，必改变改变其其奇偶奇偶性。性。如（）如（）推论推论1推论推论2定理定理1.1:9线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式

8、第第1节节 n阶行列式阶行列式阶阶行行列列式式。称称为为”，列列的的数数表表，加加符符号号“行行，个个数数排排成成有有n|nnn2决决定定。即即）由由（的的代代数数和和，每每项项的的符符号号个个元元素素乘乘积积行行不不同同列列的的它它的的值值为为所所有有取取自自不不同同）（nnjjnjjjaaan121121 nnnnjjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa2111212122221112111 。规规定定一一阶阶行行列列式式1111aa 返回返回三三 . n阶行列式定义阶行列式定义定义定义3: ，一半为负。，一半为负。项，所带符号一半为正项，所带符号一半为正中含中含 !n10例例1

9、在五阶行列式中，决定下列项前面所带符号：在五阶行列式中，决定下列项前面所带符号：线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式5542332411aaaaa51423523145135144223aaaaaaaaaa 带带负负号号352341 )(带带正正号号812534 )(11例例2由行列式定义计算下列行列式：由行列式定义计算下列行列式：线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式03001210001400051 ). 解解: 原式原式=)aaaa()()(43342211342110 )()(3115 15 （注

10、：只有当（注：只有当n=3时，用对角线法则，其他不用。）时，用对角线法则，其他不用。）12线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式可可得得。取取。对对下下三三角角形形，同同理理个个，可可从从用用第第一一行行取取有有nnannnnna.a.aa.aa).222112112 niiinnaaaa12211解：解： 原式原式=13性质性质1:将行列式的将行列式的行列互换行列互换，行列式，行列式值不变值不变。即。即线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第2节节 n阶行列式性质阶行列式性质nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa

11、a212221212111212222111211 称这两个行列式互为称这两个行列式互为转置转置行列式。行列式。性质性质3:行列式行列式某一行某一行（列）有公因子（列）有公因子k，则，则k可提可提到行到行 列式号外列式号外。如。如)D(DDT 和和记为记为性质性质2:行列式任意两行（列）互换，行列式行列式任意两行（列）互换，行列式值反号值反号。n阶行列式的阶行列式的性质性质：nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211 14性质性质4: 行列式行列式某一行某一行（列）的元素可以表示成（列）的元素可以表示成两项之和两项之和，

12、则，则 该行列式可写成该行列式可写成两个行列式之和两个行列式之和。如。如线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第2节节 n阶行列式性质阶行列式性质nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa21221111211 nnnniniinaaabbbaaa212111211 nnnniniinaaacccaaa212111211 15线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第2节节 n阶行列式性质阶行列式性质性质性质5: 将将行列式一行（列）的行列式一行（列）的k倍加到另一行（列）上，行倍加到另一行（列）上，行 列式列式值不变值不变。如。如返回返回返回小结返回小结

13、以上性质均可用行列式的方定义证明。以上性质均可用行列式的方定义证明。nnnnsninsisinaaaaaaaaaaaa21221111211nnnninsinisiisinaaakaaakaaakaaaaaa21322211111211 16 （由性质3，推论1证明）线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第2节节 n阶行列式性质阶行列式性质由上述性质，易得下列推论：推论推论1 若行列式两行（列）相同，则行列式值为若行列式两行（列）相同，则行列式值为0。（由性质2证明）推论推论2 行列式有一行（列）元素均为行列式有一行（列）元素均为0，则行列式值为，则行列式值为0。 （由性质3证

14、明）推论推论3 行列式有二行（列）元素成比例，则行列式值为行列式有二行（列）元素成比例，则行列式值为0。 17线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第2节节 n阶行列式性质阶行列式性质nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211jiijaa 若若jiijaa 若若一个一个n阶行列式阶行列式例例 证明证明: 奇数阶反对称行列式值为奇数阶反对称行列式值为0。（证明见下页）。（证明见下页）称称D为为对称行列式对称行列式。称称D为为反对称行列式反对称行列式。18返回首页返回首页00021212112nnnnaaaaaaD 000121212112nnnnnaaaaaa)(

15、 TnD)( 1 . 0, DDDnDDTT奇数时，奇数时，当，当而而证明证明:线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第2节节 n阶行列式性质阶行列式性质思考思考：对角线元对角线元为何为为何为0 ?19线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式例例1：5434323211 )4222322212 )3252535323 )111432111 0 020210221 400210221 4 321025105310 32125153110 70051053110 70 20线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶

16、行列式阶行列式例例2 化简行列式：222222111cba)c()b()a(cba 21线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式例例2：原式原式222222121212cbaccbbaacba 222111cbacba cacabbacabcbacba 2222200111111)ac( c)ab( bacab cb)ac)(ab(11 )bc)(ac)(ba( 返回返回22利用性质，将它化为一个上三角行列式，再利用性质，将它化为一个上三角行列式，再计算计算。线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算

17、142123214例例1： 计算行列式计算行列式一. 利用利用性质性质先化简行列式再计算先化简行列式再计算142123214142021111 700110111 160110111 =7解解：23线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算5241421318320521 例例2：利用性质，化为一个上三角利用性质，化为一个上三角行列式再计算。行列式再计算。53604177012100521 1900330012100521 10000330012100521 30 解解：原式原式24线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节

18、节 n阶行列式的计算阶行列式的计算1222212222122221例例31001010100112221 1000010000102227 7 25线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算baaaabaaaabannn .212121例例4：baabaababaaabanninninniiii .212121baaabaaabannnnii .1.1.1)(2221bbaabannii .00.0.0.1)(21)1(1)()( nniibba26线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算

19、列列的的行行和和第第所所在在的的第第阶阶行行列列式式中中划划去去元元素素在在jianij 元元素素的的代代数数余余子子式式。，称称为为，令令的的余余子子式式，记记作作称称为为元元素素ijijjiijijijaMAMa 1二、二、 利用利用n阶行列式的展开定理计算阶行列式的展开定理计算元素，余下的元素按原来的次序构成一个元素，余下的元素按原来的次序构成一个 n-1阶行列式，阶行列式，定义定义1：（代数余子式）（代数余子式）27线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式解：解：1151411111 )(A6151111221 )(A5141111331 )(

20、A0561312111 AAA312111157142114AAA ，计计算算设设例：例：28线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算 njkjkjknknkkkknAaAaAaAaD12211 n,kAaAaAaAaDniikiknknkkkkkn2112211 或或 n阶行列式值等于其任一行（列）的各元素与自己的阶行列式值等于其任一行（列）的各元素与自己的代数代数 余子式余子式乘积之和。即乘积之和。即证明见下页证明见下页定理定理1：（展开定理）（展开定理）29线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计

21、算阶行列式的计算 定理定理1证明证明：且带有相同的符号。且带有相同的符号。中的一项中的一项中的每项都是中的每项都是只要证明只要证明,)n,j(AaijijnD21 项，项，阶行列式，则共有阶行列式，则共有是是)!n()n,j(A.ij11-n211 项。项。共有共有项。所以项。所以也是也是n)!n(Aa)!n(Aanjkjkjijij111 的项数相同。的项数相同。与与nD，其中，其中ijijjiijijMa)(Aa. 12 nnjnjnnnijijiinijijiinjjijaaaaaaaaaaaaaaaaM11111111111111111111111130线性代数线性代数 第一章第一章

22、n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算.nD(*).aaaaaMan1i1i1njj1ij1ij1ijijij个个数数的的乘乘积积中中取取自自不不同同行行不不同同列列的的此此项项也也是是中中的的每每一一项项都都可可以以写写成成所所以以 的一个排列。的一个排列。，是是其中其中n,j ,j ,jjjjnii111111 )jjjj(jiijijjiijijnii)()(*Ma)(Aa.1111113 ）的符号为：）的符号为：中，项（中，项（在在)jjjj(ji)jjjj(ji)jjjjj()niii(nniiniinii)()()()()(*D111111111111111

23、1111 ）的的符符号号为为：中中，项项（在在则定理结论成立。则定理结论成立。的符号。的符号。中的一项，并带有相同中的一项，并带有相同中的每一项都是中的每一项都是即即DAaijij31线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算)ki(AaAaAaAanjkjijkninkiki 012211)kj(AaAaAaAaniikijnknjkjkj 012211或或推论：推论： n n 阶行列式中，任意一行（列）元素与另一行（列）阶行列式中，任意一行（列）元素与另一行（列） 对应元素代数余子式的乘积之和等于零。即对应元素代数余子式的乘积之和等于零。

24、即32线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第1节节 n阶行列式阶行列式选择某一行（列），利用行列式性质选择某一行（列），利用行列式性质造零造零，再按，再按此行此行（列）（列）展开展开。 142123214例例5：利用：利用展开定理展开定理计算行列式计算行列式利用展开定理，计算行列式的方法：利用展开定理，计算行列式的方法：解解:先造零，再展开。先造零，再展开。142021070 原原式式721701133 )()(33线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算例例6：11113211211211211nnnnnaaaaaxaa

25、aaxaaaaxD 000000000012211121xaaxxaaxxaaaaxnn xaaxxaaxxaaxxa)(nnn)n( 0000000000000111122112)xa()xa)(xa()(nn 2121根据元素之间的关系，利用性质根据元素之间的关系，利用性质化零，再展开计算。化零，再展开计算。34线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算xaaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxnnnnnnnn321321121121121 )ax()ax)(ax()ax(nnii 211 从下向上，前一行乘从下向上，前一行乘-1

26、 加到下行，依次向上。加到下行，依次向上。xaaaaxaaaaxaaaaxaaaa)ax(nnnnnnnnnii32321212121111111 nnnnnniiaxxaaxaxxaaxaaaa)ax( 00000000000000112211211以第一列展开，以第一列展开，成为下三角形成为下三角形 练习练习：35线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算 DnrrD，则行列式，则行列式行（列）行（列）中任选中任选阶行列式阶行列式在在 1n阶阶行行列列式式。个个元元素素组组成成的的一一个个交交点点处处rr2乘积。乘积。阶行列式与阶行列式与

27、余下的元素组成一个余下的元素组成一个t)()rn(1 * 定理定理 :等于由这等于由这r行（列）元素组成的所有行（列）元素组成的所有r阶子式与它的代阶子式与它的代数余子式乘积之和。数余子式乘积之和。(证明略）证明略）（Laplace展开定理展开定理，当r=1时即为定理1）。r 阶子式阶子式：在这在这r行（列）元素中，再任取行（列）元素中，再任取r列（行），由行列列（行），由行列 r 阶子式的代数余子式阶子式的代数余子式：在在D中，去掉中，去掉 r 阶子式所在的行、列，阶子式所在的行、列，( t 为形成这为形成这 r 阶子式的行标、列标之和）阶子式的行标、列标之和）36例例1计算行列式值计算行列

28、式值线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算4343212100000000aabbbbaa)(行、列展开行、列展开、或或只含有一个非零子式。只含有一个非零子式。行、列展开。行、列展开。、元素较多，我们取元素较多，我们取324104321414143211bbbb)(aaaaD)()( )bbbb)(aaaa(23412341 37线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算列。列。行行但非零子式只有前但非零子式只有前个子式，个子式，则有，则有取取nnCnrnn2 nnnnnaaaa1111

29、2 例例2求求2n阶行列式值阶行列式值nnnnnnnnnnnnnb.bb.b.bbb.bba.aa.a.aaa.aa2122221112112122221112112 )n()n()( 21211nnnnbbbb1111 38同理计算行列式值同理计算行列式值线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算nnnnnnnnnnnnnb.bb.b.bbb.bba.aa.a.aaa.aa2122221112112122221112112 nnnnnaaaa11112 21n)( nnnnbbbb1111 39三、三、 数学归纳法在行列式中的简单应用数学归

30、纳法在行列式中的简单应用线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算 jinijnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxV 111312112232221321211111等式右边表示下列一些因子的连乘积：等式右边表示下列一些因子的连乘积： 122311312 nnnnxxxxxxxxxxxx证明过程：证明过程：(归纳法归纳法) 当当n=2时成立；假设时成立；假设n-1时时 上式成立，证明上式成立，证明n阶时成立阶时成立.例例3证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式(Vandermonde行列式行列式)40线性代数线性代数 第一章第一章 n

31、阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算)xx(x)xx(x)xx(x)xx(xxxxxDnnnnnnnn1212221122112000111 1131232111 nnnnnxxxxxx )xx()xx)(xx(xxjinij1212122 jinijxx 1证明证明：)xx()xx)(xx(n11312 41习题：习题：P.36-P.41作业：作业： T8.(4) T9.(2) T.11(1，2) T.12(2) T.13(1) T.16（2） T.17(1，3) T.18(1) 返回首页返回首页线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第3节节 n阶行列

32、式的计算阶行列式的计算42线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第4节节 克莱姆法则克莱姆法则 1 112212111111 nnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxanx,.,x,x)(211 中的中的表示，表示， ncccX21 n个方程个方程n个未知数的个未知数的n元线性方程组元线性方程组所谓方程组（所谓方程组（1）的解，即存在数）的解，即存在数c1,c2,cn, 分别代入方程组分别代入方程组使每个方程均为恒等式。通常用向量使每个方程均为恒等式。通常用向量并称为一个解向量。并称为一个解向量。所有解构成的集合叫做方程组的解集合。所有解构成的集合叫做方程组的解集合。43

33、线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第4节节 克莱姆法则克莱姆法则时时，0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD n,jDDxjj21 ，其余列不变，其余列不变列换成常数列列换成常数列中第中第为为其中其中njb,.,b,bjDD21返回返回定理定理1（克莱姆法则）克莱姆法则）n元线性方程组（元线性方程组（1）当它的系数行列式）当它的系数行列式方程组（方程组（1）有解，）有解，且解是唯一的，其解为且解是唯一的，其解为所得的行列式）所得的行列式）注：当注：当D=0时，定理失效。时，定理失效。证明：证明：1）解的存在性。）解的存在性。2）解的唯一性。）解的唯一性

34、。44线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第4节节 克莱姆法则克莱姆法则返回返回1): 存在性存在性 第一个）第一个）代入每个方程式（只代代入每个方程式（只代有意义，为此将有意义，为此将时，时，DDxDD,DDDjjn 10DDaDDaDDann 1212111左左)DaDaDa(Dnn 12121111)AbAbAb(a)AbAbAb(aDnnnnnnnn 221111212111111b )AaAaAa(b )AaAaAa(Dnnnn 22122122111111121211111右右 111bbDD45线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第4节节 克莱

35、姆法则克莱姆法则返回返回2): 唯一性：唯一性：。为例为例以以下证下证也是方程组的解，也是方程组的解，假设假设)DDc(DDccx,cx,cxjjnn112211 nnnnnnnnnnbcacacabcacacabcacaca22112222212111212111由条件得由条件得11A同乘同乘：相乘之后等式两边相加相乘之后等式两边相加1111112111111DO)AaAaAa(cn DDc11 。时，时，同理可证同理可证DDcn,jjj 32假设还有一组解，下证这两组解相同。假设还有一组解，下证这两组解相同。21A同同乘乘1nA同乘同乘46线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式

36、 第第4节节 克莱姆法则克莱姆法则 2 00111111 nnnnnnxaxaxaxa称（称（2）为）为齐次线性方程组齐次线性方程组一一定定是是它它的的解解因因为为 000X021 inccccX，其其中中至至少少有有一一个个即即，有有非非零零解解可可任任取取。，零零解解此此时时一一定定有有无无穷穷多多个个非非kkckckcXn 21齐次线性方程组齐次线性方程组一定有解一定有解，称称全零解全零解。齐次线性方程组的解有两种情况：齐次线性方程组的解有两种情况：1）有解且唯一，这时称只有全零解。）有解且唯一，这时称只有全零解。2）有解不唯一，）有解不唯一，当然也还有全零解。当然也还有全零解。47线性

37、代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第4节节 克莱姆法则克莱姆法则 2 00111111 nnnnnnxaxaxaxa n,jxj1 0 ，系数行列式系数行列式0 D程程组组有有唯唯一一解解，则则由由克克莱莱姆姆法法则则知知方方若若0 D将定理将定理1用于齐次线性方程组得用于齐次线性方程组得若齐次线性方程组若齐次线性方程组定理定理2则方程组（则方程组（2）只有全零解，即）只有全零解，即推论推论 若齐次线性方程组（若齐次线性方程组（2）有非零解，则它的系数行列）有非零解，则它的系数行列式式 D一定一定等于零等于零。与已知矛盾。所以与已知矛盾。所以D=0。下一章中还将证明定理下一章中还将证明定理2和推论的逆命题也成立。和推论的逆命题也成立。48线性代数线性代数 第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第第4节节 克莱姆法则克莱姆法则例例1： 1211321321321axaxbx)b,ba(axbxaxbxaxax其中其中解：解：aabababaa 系数行列式系数行列