第四章功与能

1、123第四章第四章 功和能功和能(Work and Energy )1 功；动能定理功；动能定理2 保守力和系统势能保守力和系统势能3 机械能守恒定律；守恒定律的意义机械能守恒定律；守恒定律的意义4 碰撞碰撞5 两体问题两体问题 6 质心系质心系 7 流体的稳定流动；伯努利方程流体的稳定流动；伯努利方程4本章研究：功；动能；势能；动能定理；机械本章研究：功；动能；势能；动能定理；机械能守恒定律等。能守恒定律等。要求：要求：搞清各规律的内容、研究对象搞清各规律的内容、研究对象(分清它们是属于分清它们是属于质点系，还是质点质点系，还是质点)、成立的条件以及是否与参、成立的条件以及是否与参考系有关等

2、。考系有关等。 51 功；动能定理。功；动能定理。 一。功一。功 定义：功是指力与受力质点位移的定义：功是指力与受力质点位移的标量积标量积。 212112rdFdAAFrrdFrdFrdFrdFdA cos功反映力对空间路程的积功反映力对空间路程的积累效应。累效应。功是标量，有正负之分，功是标量，有正负之分，功功的正负取决于力与位移的夹角的正负取决于力与位移的夹角；m 2LFrd6功是过程量；功的量纲、单位功是过程量；功的量纲、单位(书书P.114) 二。动能定理（二。动能定理（kinetic energy theorem）1 。对质点。对质点 动能定理：动能定理：1212kkEEA 221v

3、mEk 动能动能(对惯性系对惯性系) 质点运动动能定理的推导：质点运动动能定理的推导：思路：与推导动量定理和角动量定理相同思路：与推导动量定理和角动量定理相同，从，从牛顿第二定律出发。元功牛顿第二定律出发。元功mvdvvdvmvddtrdmrddtvdmrdFdA 7222121abvbamvmvmvdvAdAba v v功功质点运动的动能定理：质点运动的动能定理：合力合力对质点做的功等于质点动能的增量对质点做的功等于质点动能的增量功的大小功的大小反映传递给系统能量的多少；反映传递给系统能量的多少；正负正负反反映是传给系统能量还是从系统取走能量映是传给系统能量还是从系统取走能量。kEA 8证明

4、证明cosvdvvdvvvdvdvvdvvdvvvdvdvvddvcosvd 9例例1书书P.115例例4.3：质量为：质量为m的滑雪运动员从高的滑雪运动员从高度为度为H的山顶的山顶O开始沿滑雪道下滑至地面，求在开始沿滑雪道下滑至地面，求在这一过程中重力对他做的功。这一过程中重力对他做的功。 解：在直角坐标系中重力解：在直角坐标系中重力 运动员的元位移运动员的元位移jmg重力的元功：重力的元功：HYXOjdyidxl d mgdyl djmgdA 重力的功：重力的功：mgHdymgAH 010重力作正功，重力作的功转变成运动员的动能。重力作正功，重力作的功转变成运动员的动能。功是过程量，但在本

5、例题中，重力所作的功功是过程量，但在本例题中，重力所作的功mgH与过程无关。与过程无关。(注意书注意书P.115的一段话的一段话)如果运动员与滑雪轨道之间的摩擦系数为如果运动员与滑雪轨道之间的摩擦系数为 ，滑滑雪轨道如图，求摩擦力对运动员做的功雪轨道如图，求摩擦力对运动员做的功解：摩擦力为解：摩擦力为mgNfcos 力的方向与运动员滑行的方力的方向与运动员滑行的方向相反，摩擦力对运动员作向相反，摩擦力对运动员作负功负功.YH 11dsmgsdfdA cos cotsinsincoscos00mgHSmgSmgsdfdAAHH 功是过程量，摩擦力所作的功与滑雪道的长度功是过程量，摩擦力所作的功与

6、滑雪道的长度有关，在高度有关，在高度H相同的情况下，相同的情况下， 愈小，愈小，滑雪道滑雪道愈长，愈长，摩擦力所作的功也摩擦力所作的功也愈多愈多 。摩擦力作功与。摩擦力作功与路径有关。路径有关。12例例2。书书P.115-4.4：有一水平放置、劲度系数为有一水平放置、劲度系数为k的弹簧，其一端固定，另一端系一质量为的弹簧，其一端固定，另一端系一质量为m的静的静止小球如图。止小球如图。 (1)外力外力缓慢缓慢地把弹簧从地把弹簧从xA拉到拉到xB，求外力对小球的功；求外力对小球的功； (2)在此过程中弹力对小球的功；在此过程中弹力对小球的功； (3) 合力对小球的功。合力对小球的功。 AxBxox

7、13解：取解：取x轴如图，原点轴如图，原点o为小球的平衡位置。已知为小球的平衡位置。已知小球质量小球质量m ；弹簧劲度系数；弹簧劲度系数k 。 (1)当当外力外力把弹簧从把弹簧从xA缓慢地拉到缓慢地拉到xB，外力的大小，外力的大小为为F=kx，外力对小球所作的功，外力对小球所作的功AxBxox0212122 ABBABAkxkxdxkxxdFA外力作正功外力作正功!(2)弹力弹力对小球作的功：对小球作的功： 弹性力的大小为弹性力的大小为F= -kx ，方向，方向与小球的位移相反，弹性力所与小球的位移相反，弹性力所作的功为作的功为140212122 BABABAkxkxdxkxxdFA弹性力作弹

8、性力作负负功，外力克服弹性力所作的功，外力克服弹性力所作的正功正功完完全转变为弹簧伸长的弹性势能。全转变为弹簧伸长的弹性势能。(3)合力对小球做的功：对小球而言，合力合力对小球做的功：对小球而言，合力为零为零，合力的功合力的功为零为零Ek=0。若在静止的若在静止的B点去掉外力，研究小球在弹性力作点去掉外力，研究小球在弹性力作用下由用下由B点回到点回到A点的过程中弹性力作的功：点的过程中弹性力作的功：15弹性力所作的功为弹性力所作的功为222212121mvkxkxdxkxxdFAABABAB 根据质点的动能定理，根据质点的动能定理，弹性力所作的功转变弹性力所作的功转变为小球运动的动能。功是过程

9、量，但在本例为小球运动的动能。功是过程量，但在本例AxBx题中，弹性力所作的功与题中，弹性力所作的功与过程无关，只与初态过程无关，只与初态xB和和末态末态xA有关。有关。(注意书注意书P.116的一的一段话段话 )162。质点系的动能定理：。质点系的动能定理： 对质点系中的第对质点系中的第 i 个质点个质点使用动能定理，有使用动能定理，有质点系质点系的动能定理为的动能定理为由于由于质点系内质点系内每个质点的位移不完全相同每个质点的位移不完全相同，质质点系内力的功点系内力的功不为零！不为零！iiiisdfsdf)(i2022121iiiiiiiVmVmAAA内外 i2i0ii2iiiiiiiiv

10、m21vm21AAA内外17KEAA 内外外力对质点系作的功与内力对质点系作的功外力对质点系作的功与内力对质点系作的功之之和和等于质点系动能的增量。内力虽然成对出现，等于质点系动能的增量。内力虽然成对出现，但内力作功之和不一定为零，内力也会改变系但内力作功之和不一定为零，内力也会改变系统的总动能，如烟火、爆炸。统的总动能，如烟火、爆炸。18三。柯尼希定理：质点系的总动能可以分解为三。柯尼希定理：质点系的总动能可以分解为质点系的轨道动能质点系的轨道动能(质心的动能质心的动能)加加内部动能内部动能(所所有质点相对质心的动能之和有质点相对质心的动能之和)(资用能：资用能： ) (视频视频)cekin

11、kceccecceicceccecekEEmvvvvvvE,2iiii2ii2i2ii2iiii2ii21vmvm21)2v(m21)v(m21vm21 =0inkE,19小结：小结： 1)内力也会改变系统的总动能内力也会改变系统的总动能。 (内动能也能转换为其他形式的能量内动能也能转换为其他形式的能量) 2) 质点系的三个运动定理质点系的三个运动定理，注意注意灵活使用灵活使用动量定理动量定理角动量定理角动量定理动能定理动能定理PdtF21tt外LdtM21tt外KEAA内外202 保守力和系统的势能保守力和系统的势能 一一。一对内力作功之和。一对内力作功之和： 设设系统中两个运动质点系统中两

12、个运动质点m1与与m2 之间的相互作用之间的相互作用力为力为 , ,这这一对内力作功之和为一对内力作功之和为2112ffeerdfrdfdAdAdA22111221 由牛顿第三定律有由牛顿第三定律有2112ff视频材料：视频材料：1.141r2r2rd1rd1221)(rdrrd 2112122112212112rdf)rdr(dfrdfrdfdAeeee 1r2r2rd1rd1221)(rdrrd 受质点受质点2的作用力。的作用力。上式表明：一对内力作元上式表明：一对内力作元功之和与功之和与参考系无关参考系无关，12f是质点是质点1相对质点相对质点2的元位移，的元位移，12rd是质点是质点1

13、它等于受力质点它等于受力质点(m1)受受的力的力 (f12) 和受力质点相和受力质点相对于施力质点对于施力质点 (m2)元位元位移的点积。移的点积。2212ba12bardfAdA一对力作的功只决定于质点间的相对位移，和一对力作的功只决定于质点间的相对位移，和所选参考系无关，因此可以选相互作用的所选参考系无关，因此可以选相互作用的一个一个质点为参考点质点为参考点，且可，且可选参考点为坐标原点选参考点为坐标原点建坐建坐标系，只需计算在此坐标系中标系，只需计算在此坐标系中静止质点对另一静止质点对另一质点的作用力所作的功质点的作用力所作的功即可，这样，求一对力即可，这样，求一对力作功的问题可化为求一

14、个力作功的问题。作功的问题可化为求一个力作功的问题。 23例例3：在光滑斜面：在光滑斜面M上有一小物体上有一小物体m，斜面斜面M置置于光滑地面上，求图中一对正压力于光滑地面上，求图中一对正压力N1 、 N2的功的功.解：解：Mmv2N v1NMmv2N v1NmMMemMMeMemMMemeMerdNrdNrdNrdNrdrdNrdNrdNrdNMmdA 21212121)()(，24题中题中N1、N2为一对内力，它们作功均不为零，为一对内力，它们作功均不为零，但作功之和只与在但作功之和只与在M参考系中参考系中N2对对m的作用力所的作用力所作的功。因此可以选作的功。因此可以选M作参考物，计算作

15、参考物，计算M坐标系坐标系中中M对对m的作用力所作的功即可。的作用力所作的功即可。Mmv2N v1NMmv2N v1N25 例例4书书P. 148-4.6：M静止在静止在光滑光滑水平面上；子水平面上；子弹弹 m沿水平方向以速度沿水平方向以速度v射入射入M内一段距离内一段距离s而而停在停在M内如图内如图 (1)：m和和M之间的摩擦力对之间的摩擦力对m和和M各做了多少功各做了多少功? (2)：证明证明m和和M的总机械能增量等于一对摩擦的总机械能增量等于一对摩擦力之一对力之一对m沿相对位移沿相对位移s做的功做的功MS1SvMm解解： (1) m和和M之间的摩擦之间的摩擦力对力对m和和M各做功的多少：

16、各做功的多少：在在地面参考系地面参考系中，子弹和木中，子弹和木块在块在x方向不受外力，动量方向不受外力，动量26守恒。所以子弹射入守恒。所以子弹射入M后后(M+m)的速度的速度V ：VmMmv)( vMmmV 设设M的位移为的位移为s1，则摩擦力对，则摩擦力对M做的功等于做的功等于M动动能的变化：能的变化：2221)(2121vMmmMMVsf摩擦力对子弹摩擦力对子弹m做的功等于子弹动能的变化：做的功等于子弹动能的变化： 1)(212121)(22221MmmmvmvmVssf27MS1SM(2) ：证明证明m和和M的总机械能的增量等于一对摩的总机械能的增量等于一对摩擦力之一对擦力之一对m沿相

17、对位移沿相对位移s做的功。做的功。 一对摩擦力做的功分别为：一对摩擦力做的功分别为： 121221)Mmm(mv)sf(s221121v)MmmM(sfsf 一对摩擦力做的总功为一对摩擦力做的总功为:fsfs)sf(s 11一对摩擦力做的总功等于一对摩擦力做的总功等于M对对m的摩擦力乘以的摩擦力乘以m相对相对M的位移的位移s 。28式中式中 称为约化质量。称为约化质量。22222112121121vmMMmv)MmmM()Mmm(mvfsfs)sf(s 总机械能的增量等于总机械能的增量等于2222212121)(21vvMmmMmvVMm MmmM 系统总机械能的增量等于作用在系统总机械能的增

18、量等于作用在m上的摩擦力上的摩擦力f 沿相对沿相对M的位移的位移s做的功。因此只要做的功。因此只要选选M作参作参29考物，选考物，选M的质心为坐标原点，直接计算的质心为坐标原点，直接计算M坐坐标系中标系中M对对m的摩擦力对的摩擦力对m所作的功即可。所作的功即可。二二。保守力的功与相应的势能。保守力的功与相应的势能 1。保守力的定义：在前面的例保守力的定义：在前面的例1、例、例2中，中，重力重力和弹性力作功和弹性力作功与路径无关与路径无关，只决定于系统的始，只决定于系统的始末状态，称这样的力为末状态，称这样的力为保守力。保守力。如果保守力如果保守力F对质点对质点m作功，从作功，从 A点沿点沿L1

19、路径运动到末态路径运动到末态B点点 和从和从A点沿点沿L2路径运动到末态路径运动到末态 B的过程所作的功必然相等，的过程所作的功必然相等， Fl d1L2LAB m30Frl d1L2LAB 1m2m BALBALldFldF12保守力的环流为零！保守力的环流为零！ 0022212ldFldFldFldFldFldFBALALBABLBALBAL保守力的数学表达式为保守力的数学表达式为0ldF即即31普遍意义：普遍意义： 是描述矢量场基本性质是描述矢量场基本性质的积分形式。的积分形式。环流为零的力场是保守场。如环流为零的力场是保守场。如静电静电力力场的环流也是零场的环流也是零，所以静电场也是保

20、，所以静电场也是保守力场。环流不为零的矢量场是非保守场，守力场。环流不为零的矢量场是非保守场，如磁场。如磁场。0ldF322 。常见的几种保守力。常见的几种保守力 1) 万有引力万有引力 122221) (rMmGrMmGdrrMmGl drrMmGl dFWrrBABAMm mrMB B 1r2rdrl dr l dr A abmghmghW 2) 重力是保守力！重力是保守力！3) 弹性力是保守力弹性力是保守力222121bkxkxWa 万有引力是保守力！万有引力是保守力！333。保守力的功与相应的势能。保守力的功与相应的势能1)势能的概念：保守力是指作功与路径无关的势能的概念：保守力是指作

21、功与路径无关的力，功只取决于质点的始末位置，所以存在一力，功只取决于质点的始末位置，所以存在一个与位置有关的函数，由这个位置决定的函数个与位置有关的函数，由这个位置决定的函数称为势能函数。称为势能函数。 (1)只有保守力才有相应的势能只有保守力才有相应的势能 (2)势能属于有保守力作用的两个质点的系统势能属于有保守力作用的两个质点的系统 (3)势能与参考系的选择无关势能与参考系的选择无关作功与路径作功与路径有关有关的力称为的力称为非非保守力。例如：一保守力。例如：一对滑动摩擦力作功与路径有关；对滑动摩擦力作功与路径有关； 34(4)势能的大小与势能零点的选择有关势能的大小与势能零点的选择有关(

22、5)质点系的内力有：保守内力；非保守内力。质点系的内力有：保守内力；非保守内力。mrMB B 1r2rdrl dr l dr A2)常见的几种势能常见的几种势能(1).万有引力势能：万有引力势能： 选无限远为万有引力势能的零点，选无限远为万有引力势能的零点，当外力把当外力把m从坐标从坐标r移至势能零点移至势能零点处时，外力所作的功等于系统势处时，外力所作的功等于系统势能的增量。能的增量。RMmGdrrMmGWRMm 235mrMB B 1r2rdrl dr l dr A0)()(2112221 prrMmErMmGrMmGrMmGrMmGdrrMmGW所以所以m在坐标在坐标r处的势能为：处的势

23、能为：RMmG(R)Ep 万有引力作正功等于万有引力势能的减少：万有引力作正功等于万有引力势能的减少：RMmG(R)Ep 00 pE36mghhEp )(2)重力势能：选重力势能：选h=0为重力势能为重力势能的零点。的零点。重力作正功等于重力势能的减少。重力作正功等于重力势能的减少。hHmo(3)弹性势能：选弹簧的原长为弹性势能：选弹簧的原长为 势能的零点，外力使弹簧伸长势能的零点，外力使弹簧伸长x所作的功等于所作的功等于弹性势能的增量，弹性势能的增量， xkxdxkxW0221 kxxEp221)( 弹性势能的表达式为弹性势能的表达式为37弹性力作正功等于弹性势能的减少弹性力作正功等于弹性势

24、能的减少pbaEkxkxW 222121Ll df三三。势能函数与保守力。势能函数与保守力 由势能函数由势能函数Ep求保守力求保守力f： 如果如果质点在力场中沿一路径质点在力场中沿一路径L运动，运动，根据势能的根据势能的定义和保守力作功等于势能的减少，有：定义和保守力作功等于势能的减少，有：PldEdlfl dfdldEfpl结论：保守力在结论：保守力在l方向的分量就是相应方向的分量就是相应的势能在的势能在 l 方向导数的负值方向导数的负值。38如果引入梯度算符：如果引入梯度算符：保守力可表示为：保守力可表示为：xEfPxyEfPyzEfPzzzEyyExxEzfyfxffPPPzyx gra

25、dzzyyxx 在直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴方向在直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴方向上的导数与保守力的关系分别是：上的导数与保守力的关系分别是：39求保守力的大小求保守力的大小解：代公式解：代公式例例5：一物体在一物体在 x0 范围内在保守力的作用下沿范围内在保守力的作用下沿x 轴正向运动。与该保守力相应的势能函数是轴正向运动。与该保守力相应的势能函数是xbxaxEp 2)()0(x23232)2(xbxaxbxaxEfPx 则有：则有：PPEgradEf 保守力等于势能的负梯度保守力等于势能的负梯度( (gradient ) )402 。由势能函数曲线分析保守力：已知某双原子。由

26、势能函数曲线分析保守力：已知某双原子分子势能曲线如图，试分析两原子之间的相互分子势能曲线如图，试分析两原子之间的相互作用力作用力rEp r0Or 斜率斜率 = 0 斜率斜率 0 斜率斜率 r0的区域是引力。的区域是引力。r r0 ：0drdEfpr0drdEp斜率斜率 0 ，0drdEfpr斜率斜率 = 0 ，r = r0 ：r0是合力为零的平衡位置。是合力为零的平衡位置。41斜率斜率r r0 ：0drdEp0drdEfpr势能曲线的作用：势能曲线的作用： (1)根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动 (2)利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所利用势能曲线，

27、可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。受保守力的大小和方向。在在r0 ，系统的动能增加，势能将减少。，系统的动能增加，势能将减少。45式中式中x以以m为单位，势能以为单位，势能以J为单位，为单位， a =1Jm2 ，b=2J m 。 (1)画出质点的势能曲线；找出质点的平衡位置画出质点的势能曲线；找出质点的平衡位置 (2)分析质点受力的性质分析质点受力的性质(3)设质点的机械能设质点的机械能E = - 0.50J 保持不变，求质保持不变，求质点的运动范围。点的运动范围。例例6：已知已知m=1kg的质点在保守力的质点在保守力F(x)的作用下的作用下沿沿x 轴正向运动。与该保守力相应的势能

28、函数是轴正向运动。与该保守力相应的势能函数是xbxaxEp2)()0(x46解解：(1)根据根据势能的表达式作数据表来画出势能势能的表达式作数据表来画出势能曲线曲线x/mEp(x)/J0.20.51501-1.0-0.75-0.55-0.44234xbxaxEp2)(a =1Jm2 ，b=2J m 。从数据表与势能曲线可从数据表与势能曲线可看出，在看出，在x=1m附近势能附近势能最小，质点的平衡位置最小，质点的平衡位置就在就在x=1m附近。附近。 10 01 115151 12 23 34 4x /mEP /J47用公式求物体的平衡位置：用公式求物体的平衡位置：xbxa(x)Ep 2)( 12

29、mbax 0223 xbxadxdEFp解得解得x=1m ，这就是质，这就是质点的平衡位置，在该点的平衡位置，在该点质点受合力为零。点质点受合力为零。 10 01 115151 12 23 34 4x /mEP /J48mx0 . 1 为吸引力为吸引力(2) x1.0m为排斥力为排斥力0)( 1 Fmx(3)运动范围：运动范围： 物体的总能量物体的总能量E=Ep(x)+Ek(x)=-0.5J保持不变，保持不变，物体的运动被斥力和引力束缚在一定范围之内物体的运动被斥力和引力束缚在一定范围之内,即即物体动能物体动能为零的位置为零的位置就是物体运动范围的边就是物体运动范围的边界界。EP /J 10

30、01 115151 12 23 34 4x /mE49由此解得由此解得 10 01 115151 12 23 34 4x /mEP /Jmx)22( )(59. 0221m-x )(14. 3222mx JxbxaxEp50. 0)(2 m.xm.143590 物体的运动范围物体的运动范围在在动能为零处有动能为零处有思考：单摆的势能曲线思考：单摆的势能曲线与右图有什么不同？与右图有什么不同？50三。普遍的能量守恒定律三。普遍的能量守恒定律一个一个孤立系统孤立系统，如果考虑各种物理现象，计及，如果考虑各种物理现象，计及各种能量，则该孤立系统不管经历何种变化，各种能量，则该孤立系统不管经历何种变化

31、，系统所有能量的总和保持不变，这就是普遍的系统所有能量的总和保持不变，这就是普遍的能量守恒定律。机械能守恒定律是普遍能量守能量守恒定律。机械能守恒定律是普遍能量守恒定律在机械运动范围内的体现。恒定律在机械运动范围内的体现。四。守恒定律的意义四。守恒定律的意义(参看书参看书P.131 )1.守恒定律守恒定律力学中：动量守恒定律；角动量守恒定律；机力学中：动量守恒定律；角动量守恒定律；机械能守恒定律。械能守恒定律。51自然界中还有：自然界中还有：质能质能守恒定律；守恒定律；电荷电荷守恒定律；守恒定律； (粒子物理中的粒子物理中的)重子数、轻子数、奇异数、宇重子数、轻子数、奇异数、宇称守恒定律称守恒

32、定律- - - 2。守恒定律的特点。守恒定律的特点(1)方法上：不针对过程的细节，只研究始末态方法上：不针对过程的细节，只研究始末态的关系。的关系。(2)适用范围广：宏观、微观、高速、低速均适适用范围广：宏观、微观、高速、低速均适用。用。3。物理学家特别重视对守恒量和守恒定律的研。物理学家特别重视对守恒量和守恒定律的研究！究！52(1)遇到问题，首先从已有的守恒定律去思遇到问题，首先从已有的守恒定律去思 考、研究。考、研究。(2)如发现矛盾，一般是坚信守恒定律，而去如发现矛盾，一般是坚信守恒定律，而去 探寻问题中的未知因素探寻问题中的未知因素(如中微子的发现如中微子的发现)53例例7 P.12

33、8-4.11 用一个轻弹簧把一个金属盘悬挂起来使弹簧伸用一个轻弹簧把一个金属盘悬挂起来使弹簧伸长了长了l1=10cm。一个质量和盘质量相同的泥球从。一个质量和盘质量相同的泥球从高于盘高于盘h = 30cm处由静止下落到盘上。求：盘处由静止下落到盘上。求：盘向下运动的最大距离向下运动的最大距离l2(视频材料视频材料)2l1lh讨论讨论：设弹簧的原长为弹性势能的零点；：设弹簧的原长为弹性势能的零点；弹簧的最低点弹簧的最低点l2为重力势能的零点。为重力势能的零点。初态系统的能量：弹簧的弹性势能；泥球初态系统的能量：弹簧的弹性势能；泥球的重力势能和盘的重力势能的重力势能和盘的重力势能2221)(21m

34、gllhmgklE 54?21)2(212221kllhmgklE 能否用机械能守恒求解能否用机械能守恒求解?即即解：过程解：过程1：泥球从离盘：泥球从离盘h=30cm处由静止下落处由静止下落到与盘面接触前的一瞬间，到与盘面接触前的一瞬间，机械能守恒机械能守恒2121mVmgh 过程过程2：泥球与盘的非弹性碰撞，：泥球与盘的非弹性碰撞， t0，除，除碰撞碰撞以外的以外的力均可忽略，动量守恒力均可忽略，动量守恒不能！因为存在非保守内力不能！因为存在非保守内力!ghV21 末态系统的能量末态系统的能量221)(21llk 55过程过程3：弹簧伸长的过程，机械能守恒：弹簧伸长的过程，机械能守恒221

35、21222)(2121)2()2(21llkklglmVmE 222ghV 式中由式中由mgkl 1只有一个未知数只有一个未知数l2，解之得，解之得l2=30cmmghghmVmmgh2142)2(21)2(2122 212mVmV 存在非保守内力，机械能不守恒存在非保守内力，机械能不守恒22212ghVV 56例例8：试求第一宇宙速度；第二宇宙速度：试求第一宇宙速度；第二宇宙速度解：第一宇宙速度是指质点能够不落回地面的解：第一宇宙速度是指质点能够不落回地面的最小速度。最小速度。RVmmgRMmG22 skmgRV/9 . 7 57第二宇宙速度：第二宇宙速度：P.128-4.12第二宇宙速度即

36、物体从地面出发的逃逸速度，第二宇宙速度即物体从地面出发的逃逸速度，逃逸速度指逃脱地球引力所需要的从地面出发逃逸速度指逃脱地球引力所需要的从地面出发的最小速度。地球半径取的最小速度。地球半径取R=6.4106m。 解：选地球和物体作为被研究的系统。解：选地球和物体作为被研究的系统。 逃逸速度逃逸速度：地球地球M与物体与物体m组成的系统只存在保组成的系统只存在保守内力，所以系统的机械能守恒。在地球表面守内力，所以系统的机械能守恒。在地球表面的机械能为的机械能为)(212RGMmmVER m逃至无限远时的最小机械能为逃至无限远时的最小机械能为580)(212 GMmmVE机械能守恒机械能守恒0)(2

37、12 RGMmmVERRgRGMVR22 例例9： P. 129-4.13水星绕太阳运行轨道的近日点水星绕太阳运行轨道的近日点到太阳的距离为到太阳的距离为1Vkm1059. 4r71远日点到太阳的距离为远日点到太阳的距离为km1098. 6r72求水星越过近日点和远日点时的速率求水星越过近日点和远日点时的速率2VskmgRV/2 .112 59水星沿椭圆轨道绕太阳运行水星与太阳之间水星沿椭圆轨道绕太阳运行水星与太阳之间的作用力为有心力，水星的的作用力为有心力，水星的角动量守恒角动量守恒；水星；水星与太阳之间的作用力为保守力，与太阳之间的作用力为保守力，机械能守恒机械能守恒。已知已知r1 、r2

38、求求V1 、V22211VmrVmr 2211VrmVrm 由水星的角动量守恒，有由水星的角动量守恒，有水星与太阳之间的作用力为保守力，机械能水星与太阳之间的作用力为保守力，机械能守恒，守恒，602221212121rGMmmVrGMmmV 两个未知数，两个方程，解得两个未知数，两个方程，解得)(221121rrrGMrV )(221212rrrGMrV 614 碰撞碰撞碰撞是指两个物体在碰撞是指两个物体在急短急短的时间内发生的时间内发生强烈强烈相相互作用的过程。碰撞过程通常十分复杂，难于互作用的过程。碰撞过程通常十分复杂，难于对过程的细节进行分析，只能关心物体在碰撞对过程的细节进行分析，只能

39、关心物体在碰撞前后运动状态的变化前后运动状态的变化 。碰撞过程中外力可以忽。碰撞过程中外力可以忽略，可以利用动量守恒、角动量守恒、对弹性略，可以利用动量守恒、角动量守恒、对弹性碰撞，碰撞前后的总动能不变碰撞，碰撞前后的总动能不变 、机械能守恒等、机械能守恒等求解。求解。例例10 ：书：书P. 133-4.15完全非弹性碰撞指两个物体碰撞后不再分开。完全非弹性碰撞指两个物体碰撞后不再分开。622 21 1V VV V211mmP VmmP)(212 已知两个运动物体的质量分别为已知两个运动物体的质量分别为m1 、 m2 ，碰，碰撞前两个物体的速度分别为撞前两个物体的速度分别为 ，碰后两，碰后两物

40、体粘在一起。求因碰撞而损失的动能。物体粘在一起。求因碰撞而损失的动能。21VV、解：无外力，系统动量守恒。碰撞前两物体的动解：无外力，系统动量守恒。碰撞前两物体的动量为量为碰撞后两物体粘在一起的动量为碰撞后两物体粘在一起的动量为Vm1m21V2V系统动量守恒系统动量守恒VmmVmVm)(212211 63粘在一起的两物体的速度粘在一起的两物体的速度cVmmVmVm 212211V V碰撞前系统的动能为碰撞前系统的动能为(参考柯尼希定理参考柯尼希定理)inkcekccceeeEEVmVmVmmVmVmE,22221122122221112121)(212121 cekceEVmmE,2212)(

41、21 碰撞后系统的动能为碰撞后系统的动能为0, inkEcVmmVmVm 212211V V64由于碰撞而损失的是系统的内动能由于碰撞而损失的是系统的内动能Ek,in :cekceEvmmE,2212)(21 思考：思考：例例9中中泥球与盘的资用能泥球与盘的资用能 资用能资用能： 运用碰撞把碰撞前动能中可用于转变成其它形式运用碰撞把碰撞前动能中可用于转变成其它形式能量的部分称为资用能。获得最大资用能的思路能量的部分称为资用能。获得最大资用能的思路是尽可能减少轨道动能是尽可能减少轨道动能2212212121221221121222211,)(21)(21)(212121VVVVmmmmmmVmV

42、mmmVmVmEink 65例例11 ：书：书P. 134-4.16弹性碰撞弹性碰撞指两个物体碰撞前后系统的动量、动指两个物体碰撞前后系统的动量、动能都没有损失的碰撞。能都没有损失的碰撞。对心碰撞对心碰撞指碰前沿一条直线运动的两个物体碰指碰前沿一条直线运动的两个物体碰撞后仍然沿同一条直线运动。撞后仍然沿同一条直线运动。已知对心碰撞的两物体的质量分别为已知对心碰撞的两物体的质量分别为m1、m2，碰撞前两物体的速度分别为碰撞前两物体的速度分别为v10 、 v20 。 求碰撞后的速度求碰撞后的速度v1、v2解：系统动量守恒，有解：系统动量守恒，有2211202101vmvmvmvm 66总动能保持不

43、变：总动能保持不变：两个未知数，两个方程，解得弹性碰撞后两物两个未知数，两个方程，解得弹性碰撞后两物体的速度为体的速度为2222112202210121212121vmvmvmvm 2021210212112vmmmvmmmmv 1021120211222vmmmvmmmmv 讨论：讨论：1 。如果。如果m1=m2，两物相互交换速度：两物相互交换速度：10220VVV 1 1V V672。如果。如果m1m2，v20=0，则有则有101021211vvmmmmv 02102112 vmmmv68对第四章的思路作一个梳理对第四章的思路作一个梳理质点的功能定理质点的功能定理质点系的质点系的功能定理功

44、能定理外力外力、内力内力000 ttiiitti)dtf(dtf内力作功之和不为零内力作功之和不为零00sin)( oijjiijjifrrfrr0 iim内力矩之和为零内力矩之和为零 iiiisd)f(sdfi内力的冲量之和为零内力的冲量之和为零69由由N个质点个质点两个质点两个质点两个两个质点相互作用力质点相互作用力作功之和作功之和两个质点相互作用的保守力作功两个质点相互作用的保守力作功势能势能(由保守力求势能；由势能求保守力由保守力求势能；由势能求保守力) (碰碰撞；资用能撞；资用能)两个质点相互作用力的牛顿定律还有没有可以两个质点相互作用力的牛顿定律还有没有可以讨论的？讨论的？705

45、两体问题两体问题两体问题是研究两个质点在它们之间的相互作用两体问题是研究两个质点在它们之间的相互作用力作用下的运动问题，这类问题可简化为单体问力作用下的运动问题，这类问题可简化为单体问题处理。题处理。21f设一对相互作用质点的质量为设一对相互作用质点的质量为m1 、 m2，它们之，它们之间的相互作用力为间的相互作用力为12f12fm2m1r2r1Or21f图中图中 o为惯性系的坐标原点，为惯性系的坐标原点，是由是由m2指向指向m1的位置矢量。的位置矢量。122121rrrrrreeee r根据牛顿定律有根据牛顿定律有71（1）（2）： )2()1(12 mm12fm2m1r2r1Or21f21

46、2112dtrdmf22221221dtrdmff1221221221f )m(mdt)rr (dmm (r)fdtrd1222 （5.1）式显示，在一对相互式显示，在一对相互作用力的作用下，质点作用力的作用下，质点 m1 相相对于对于 m2 的运动，与一个质量的运动，与一个质量为为 、受同样力作用的质点、受同样力作用的质点（5.1）2121mmmm 72221222ABABBABAvvvdvrddtvdrd(r)f 在以在以m2为坐标原点的参考系中的运动相同为坐标原点的参考系中的运动相同，虽虽然以然以m2为坐标原点的参考系不是惯性系，但是为坐标原点的参考系不是惯性系，但是只要将只要将m1用用

47、 代替，代替，牛顿第二定律就适用。牛顿第二定律就适用。 称称为为约化质量约化质量功能原理：以功能原理：以m2为坐标原点，为坐标原点， f12对对m1 作的功作的功12fm2m1r73例例12 ：书：书P. 138-4.18 在实验室参考系中有相距在实验室参考系中有相距很远的一个质子很远的一个质子 (mp,+e)和氦核和氦核(M=4mp,+2e)相向相向运动，速率都是运动，速率都是v0 ，求二者能达到的最近距离，求二者能达到的最近距离解：这是机械能转为电势能的问题。解：这是机械能转为电势能的问题。 方法方法(1)运用两体问题求解。取氦核为坐标原点，运用两体问题求解。取氦核为坐标原点，约化质量为约

48、化质量为5444pppppmmmmm x0v0v74质子相对氦核的速度质子相对氦核的速度i-2vv-vvvv0eMmeMememM x0v0v20)2(21vEk 所以质子相对氦核的速度为所以质子相对氦核的速度为2v0 ； 静电力是保守力，系统的能量守恒，初态：质静电力是保守力，系统的能量守恒，初态：质子、氦核相距很远时系统只有动能，其值为子、氦核相距很远时系统只有动能，其值为75二者达到最近距离时，质子相对氦核的速度为二者达到最近距离时，质子相对氦核的速度为零，相对氦核的动能为零，动能全部转化为静零，相对氦核的动能为零，动能全部转化为静电势能电势能rekEp22 pkEE rekmvvmvm

49、M220202258)2(542121 20245mvker 76方法方法(2)运用柯尼希定理：运用柯尼希定理： 在实验室参考系中，质子在实验室参考系中，质子(mp)和氦核和氦核(M=4mp)质质心的速度为心的速度为0005354vmvmvmvpppc 根据柯尼希定理，系统的总能量可以表示为质根据柯尼希定理，系统的总能量可以表示为质心的动能心的动能加加内动能。质子相对质心的速度：内动能。质子相对质心的速度：CmM0005853vvvvvvvvcemeecmemc 770005253vvvvvvvvceMeecMeMc CmM氦核相对质心的速度：氦核相对质心的速度：质心的动能质心的动能：20)5

50、3(521vmEpc 内动能内动能202020)54(521)52(421)58(21vmvmvmEpppin 78内动能就是内动能就是资用能资用能，是这部分能量转变成电势，是这部分能量转变成电势能，所以有能，所以有re2k)v54(m521E220p20245vmkerp 79 6 质心参考系质心参考系(书书P.97)一。质心参考系是以质心为坐标原点的参考系。一。质心参考系是以质心为坐标原点的参考系。讨论质心参考系中质点系的讨论质心参考系中质点系的质心坐标质心坐标、速度速度、质质点系的动量、动能点系的动量、动能：在质心参考系中质心的坐标、速度为在质心参考系中质心的坐标、速度为0 Cv在质心参

51、考系中质点系的动量在质心参考系中质点系的动量因此也称质心参考系为因此也称质心参考系为零动量参考系零动量参考系。0 icivm0 iiiciiccmrmr80二二。 质心系中的质心系中的角动量角动量(书书P.106)1。一个质点系相对惯性系坐标原点的角动量与。一个质点系相对惯性系坐标原点的角动量与相对质心的角动量之间的关系相对质心的角动量之间的关系根据相对性原理有根据相对性原理有质点系质点系oiCceicierrr 质点系对质点系对o点的角动量为点的角动量为 21 2icikvmE在质心参考系中质点系的动能在质心参考系中质点系的动能ieieiivrmL 称称Ek为质点系的内动能，用为质点系的内动

52、能，用Ek,in 表示。表示。81 ceceiciiceceiciiiciciiceceiiicceiiceiciiiciciiiceicceiciieieiivrmvmrvrmvrmvrmvrmvrmvrmvvrrmvrmL )()()()()(）（）（）（）（00cceceiciciiceceLPrvrmvrmL )(上式说明：质点系相对惯性系中某点上式说明：质点系相对惯性系中某点O的角动量的角动量等于质点系的等于质点系的质心相对质心相对惯性系惯性系该点该点的角动量（轨的角动量（轨道角动量）道角动量）cecePr 角动量角动量)(ciciiicvrmL 之和之和与与质点系对质心的角质点系对

53、质心的角822 。 质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理质点系所受到的外力矩质点系所受到的外力矩 dtPdrFrFrFrFrrFrMceceiiiciiceiiiciiceiciiie )()()()(质点系角动量的变化率质点系角动量的变化率dtLddtPdrdtLddtPdrPdtrdvrmPrdtddtLdccececcecececeiicicicece )(=083两式对比可得两式对比可得dtLdMFrcciiic 上式说明：质点系受到的上式说明：质点系受到的对质心的合外力矩对质心的合外力矩等等于于质点系对质心的角动量的变化率质点系对质心的角动量的变化率84 7 流体的稳定流动；伯努

54、利方程流体的稳定流动；伯努利方程理想流体：不可压缩；无粘滞性。理想流体：不可压缩；无粘滞性。稳定流动：在整个流道中各流体元的速度不随稳定流动：在整个流道中各流体元的速度不随时间改变。时间改变。一。连续性方程：以一。连续性方程：以v1、v2分别表示水流过截面分别表示水流过截面S1、S2的速率，在的速率，在 t时间内流过两截面处的水时间内流过两截面处的水的体积分别为的体积分别为S1v1 t和和S2v2 t ；由于讨论的是；由于讨论的是理想流体的稳定流动，所以有理想流体的稳定流动，所以有1S1V2V2S称称tvStvS 22112211vSvS 为连续性方程为连续性方程85例例13：园林工人浇花用的

55、橡皮管入水口截面直：园林工人浇花用的橡皮管入水口截面直径是径是r=6.4 10-2m，出水口直径是，出水口直径是r=2.5 10-2m，若入水口的速度是若入水口的速度是4.0m/s，求出水口的速度，求出水口的速度解：由连续性方程解：由连续性方程)/(260 . 45 . 24 . 6222112smSvSv 2211vSvS 二。伯努利方程二。伯努利方程伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的压强的压强 p、流速、流速v和高度和高度h 三个量之间的关系为三个量之间的关系为86.21