薛定谔方程应用举例

1、薛定谔方程应用举例薛定谔方程应用举例王新庆波函数 含义 性质 态叠加原理 算符、本征值、本征函数薛定谔方程薛定谔方程2222xmti)()()(222rErrVm定态薛定谔方程定态薛定谔方程自由粒子薛定谔方程自由粒子薛定谔方程00( )0( )cossinxxXXX xAeA eX xBxBx 当时当时0( )cossin( )ixixX xBxBxX xCeC e当时可转化为sin() ,2cos()2iiiieeish iiieech i 一维无限深方势阱一维无限深方势阱以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量了解怎

2、样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。薛定谔方程的自然结果。axxV0,0)(axxxV,0,)(已知粒子所处的势场为已知粒子所处的势场为：粒子在势阱内受力为零，势能为零。粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深方势阱极大的斥力。称为一维无限深方势阱。其定态薛定谔方程其定态薛定谔方程：)()()()(2222xExxVdxxdm)(xVxaoaxxxExdxxdm, 0)()()(2222axoxEdxxdm)()(2222在阱内粒子势能为零，满足：在阱内粒子势能为零，满

3、足：在阱外粒子势能为无穷大，满足在阱外粒子势能为无穷大，满足：方程的解必处处为零方程的解必处处为零。axxx, 00)(根据波函数的标准化条件，在边界上根据波函数的标准化条件，在边界上0)(, 0) 0(a所以，粒子被束缚在阱内运动所以，粒子被束缚在阱内运动。axoxkxmEdxxd)()(2)(2222在阱内的薛定谔在阱内的薛定谔 方程可写为：方程可写为：类似于简谐振子的方程，其通解：类似于简谐振子的方程，其通解：)sin()(BkxAx代入边界条件得：代入边界条件得：0sin) 0 (BA0)sin()(BkaAa所以，所以，, 3 , 2 , 1; 0nnkaBn不能取零，否则无意义。不

4、能取零，否则无意义。222mEk因为因为, 3 , 2 , 1nnka, 3 , 2 , 122222nnmaEn结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。取一系列分立值，即它的能量是量子化的。结论结论：, 3 , 2 , 1),sin()(naxnAx220sin ()1anxAdxaaA2由归一化条件由归一化条件粒子被局限在有限空间内运动的粒子被局限在有限空间内运动的态称为束缚态态称为束缚态axnaxnAxn0, 3 , 2 , 1),sin()(axxxn, 0, 0)(一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：一维无限深方

5、势阱中运动的粒子其波函数：讨论：# 零点能的存在零点能的存在 称为基态能量。称为基态能量。22212maE# 能量是量子化的。是由标准化条件而来。能量是量子化的。是由标准化条件而来。能级间隔：能级间隔：22212) 12(manEEEnnn当当 能级分布可视为连续的。能级分布可视为连续的。0/2/,nEEnnnE)(xnn# 称称 为量子数；为量子数； 为本征态；为本征态； 为本征能量。为本征能量。 23x3n 24x4n 22x2n 21x1nxa4E3E2E1E x4 x3 x2 x1)(xoxa一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳

6、定的驻波能级稳定的驻波能级n+1个节点个节点能量本征值能量本征值 对应的能量本征函数对应的能量本征函数 组成组成完备完备的集合。能量量子数的集合。能量量子数n从从1至至 nE)(xnnmmn , 0在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开。这组完备集合满足组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性正交性。mnadxaxnaxma)sin()sin(20nmmn , 1所谓所谓叠加态叠加态，就是各本征态以一定的几率、，就是各本征态以一定的几率、确定的本征值、独立完整的存在于其中。确定的本征值、独立完整的存在于其中。实验上物理量

7、的测量值，是各参加叠加态实验上物理量的测量值，是各参加叠加态的可能的本征态的本征值。可以用本征态的可能的本征态的本征值。可以用本征态出现的几率来计算物理量的平均值。出现的几率来计算物理量的平均值。 3.2线性谐振子一维量子谐振子问题一维量子谐振子问题 这里，含V (0) 的一次项由于平衡位置V (0)=0而消失， 在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更是将来场

8、量子化的基础。 众所周知，当粒子在势场的平衡位置附近作小振动时，势场V(x) 总可作泰勒展开并只取到最低阶不为零的项。设平衡位置x0=0，并选取能量尺度的原点使V（0）=0，则221)0()(xVxV也由于是稳定振动而有V (0)0。除非振动的幅度较大，否则不必考虑展开式中非简谐的高阶项。这类问题的物理例子比如，原子核内核子（质子或中子）的简谐振动、原子和分子的简谐振动、固体晶格上原子的简谐振动、甚至一个多自由度系统在其平衡态附近的小涨落小振动，在通过引入简正坐标后也可以化为一系列退耦的一维振子之和，即可近似为线性谐振动的迭加。一. 方程的化简 线性谐振子的势能函数是： )12 .3(21)(

9、22xxU其中是谐振子的固有圆频率。所以薛定谔方程是： )22 . 3(. 022222222xEdxd在方程中做如下的无量纲化变换： Exx2,则方程变成： )32 .3(.0)()(222dd当时，方程变为：dd222 .我们发现它有近似解： ( ) e.122但是 应该舍去。所以再进行变换： e/22 ( )e( ),122H可得关于H()的如下方程：)42 . 3(. 0) 1(222HddHdHd二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H()的方程，结果发现：只要H()是“真”无穷级数，那么在x的时候H()就 e ,仍然使()发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”

10、 或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。 设要求H()是的n次多项式，那么就必须让 =2n+1 n=0,1,2,3 这样，我们首先得到了能量本征值：)52 . 3(.3 , 2 , 1 , 0,21nnEn现在H()的方程成为： )42 . 3(. 0) 1(222HddHdHd)62.3(.02222nnnnHddHdHd而不难验证下面的函数正满足这个方程:)72.3(.ee)1()(22nnnnddH它称为n次Hermitian多项式。.12016032,124816,128, 24,2, 1355244332210HHHHHH头五个Hermitian多项式是:三. 线性谐振子

11、的能级和波函数 1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：) 82 . 3 (, 3 , 2 , 1 , 0,21nnEn对应的波函数是： ) 92 . 3 ().(e)(e)()(2222121xnnnnnxHNHNxNn是归一化常数，利用特殊积分 e,xdx2可得 Nnnn2!.2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是 ；(3)能级的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即n(-x)=(-1)n(x) (4)n(x)有n个节点。 E012n势垒贯穿（隧道效应）势垒贯穿（隧道效应）axxxV,0,0)(axVxV0,)(0在经典力学中在经典力学中,若若 ,粒子的动能粒子的动能为正为

12、正,它只能在它只能在 I 区中运动。区中运动。0VE 0VVOaIIIxIII定态薛定谔方程定态薛定谔方程的解又如何呢？的解又如何呢？0),()(212122xxEdxxdmaxxExVdxxdm0),()()(22202222axxEdxxdm),()(2323220, 0)()(12212xxkdxxdaxxkdxxd0, 0)()(221222axxkdxxd, 0)()(322322021)(2EVmk222mEk 令：三个区间的薛定谔方程化为：三个区间的薛定谔方程化为：0VVaoxIIIIII0,Re)(1xAexikxikx若考虑粒子是从若考虑粒子是从 I 区入射，在区入射，在 I

13、 区中有入射波区中有入射波反射波；粒子从反射波；粒子从I区经过区经过II区穿过势垒到区穿过势垒到III 区，区，在在III区只有透射波。粒子在处的几率要大区只有透射波。粒子在处的几率要大于在处出现的几率。于在处出现的几率。0 xax其解为：其解为：112( ),0k xk xxTeT exaaxCexikx,)(3根据边界条件根据边界条件：)0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32求出解的形式画于图中。求出解的形式画于图中。定义粒子穿过势垒的贯穿系数：定义粒子穿过势垒的贯穿系数：2123| ) 0(| )(|aP) 02ex

14、p()2exp(| ) 0(| )(|112222kTakTaP) )(22exp()2exp(01EVmaak0VVaoxIIIIII隧道效应当当 时，势垒的宽度约时，势垒的宽度约50nm 以上时，以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。eVEV50 隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜STM由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，表面边界之内，电子密

15、度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。只要将原子线度的极细探针只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。面电子云就可能重叠。若在样品与针尖之间若在样品与针尖之间加一微小电压加一微小电压Ub电子电子就会穿过电极间的势就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直

16、于样品若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。Scanning tunneling microscopy因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布；得到表面态密度的分布；使人类第一次能够实时地观使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。阔的应用前景。空气隙空气隙STM工作示意图工作示意图样品样品探针探针利用利用STM可以分辨表面上可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子