2019年全国中考数学分类汇编：一元二次及其应用【含解析】

1、 + 数学中考教学资料2019 年编 +一元二次方程及其应用选择题1 （ 2014?海南, 第 10 题 3 分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为 81 元已知两次降价的百分率都为x，那么 x 满足的方程是（）A100（1+x）2=81B100（1x）2=81C100（1 x%）2=81D100x2=81考点： 由 实际问题抽象出一元二次方程专题： 增 长率问题分析： 若 两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（ 1 x）元，第二次降价后2价格为 100（ 1 x） （ 1 x） =100（ 1 x）元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81 元，由此等量关系

2、列出方程即可解答： 解 ：设两次降价的百分率均是x，由题意得：x 满足方程为100（ 1 x） 2=81故选 B点评： 本 题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程2 （ 2014?宁夏，第3 题 3 分）一元二次方程x2 2x 1=0 的解是（）Ax1=x2=1Bx1=1+，x2=1Cx1=1+，x2=1 D x1=1+，x2=1考点：解一元二次方程-配方法专题：计算题分析：方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值解答： 解 ：方程x2 2x 1=0，变形得：x2 2x=1 ，配方得：x2 2x+1=2，即（x 1） 2=2，开方得：x 1=±，解得

3、：x1=1+， x2=1 故选 C 点评： 此 题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 （2014?陕西, 第 8题 3 分 ）若 x= 2 是关于 x的一元二次方程x2ax+a2=0 的一个根，则a 的值为（）A1 或 4B 1 或 4C 1 或 4 D 1或 4考点：一元二次方程的解分析：将 x= 2 代入关于x 的一元二次方程x2ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可解答：解： x= 2 是关于 x 的一元二次方程x2ax+a2=0 的一个根， 4+5a+a2=0，（a+1） （ a+4） =0，解得a1= 1， a2= 4，故选 B点评：本题主要考查了一

4、元二次方程的解的定义，解题关键是把x 的值代入，再解关于a的方程即可4（ 2014?湖北黄冈,第 6题 3分） 若 、 是一元二次方程x2+2x 6=0 的两根， 则2+2=（）A 8B 32C 16D 40考点： 根 与系数的关系专题： 计 算题 分析： 根 据根与系数的关系得到+= 2， = 6， 再利用完全平方公式得到2+2=（ +）2 2 ，然后利用整体代入的方法计算解答： 解 ：根据题意得+= 2， = 6，所以2+2=（+）22=（2）22× （6）=16故选C点评： 本 题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a0 ）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1

5、+x2=， x1?x2= （ 2014?湖北荆门,第5 题 3分）已知 是一元二次方程x2 x 1=0 较大的根，则下面对 的估计正确的是（）A0< < 1B 1< < 1.5C 1.5< < 2 D 2<< 3考点：解一元二次方程-公式法；估算无理数的大小分析：先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案解答：解：解方程x2 x 1=0 得： x= ， a是方程x2 x 1=0 较大的根， a=， a=， 2<< 3， 3< 1+< 4，<< 2，<< 2，故选 C点评：本题考查了解一元二次方程

6、，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中 （ 2014?攀枝花，第8题 3分）若方程x2+x 1=0 的两实根为、 ，那么下列说法不正确的是（）A += 1B = 1C 2+ 2=3D+= 1点评： 本 题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出考点：根 与系数的关系专题：计 算题分析： 先 根据根与系数的关系得到 += 1 ， = 1， 再利用完全平方公式变形 2+2 得到（ +） 2 2 ，利用通分变形+ 得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断解答： 解 ：根据题意得 += 1 ， = 1 所以 2+2（

7、= +）22=（1）22×（1）=3；+=1 故选D点评： 本 题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a0 ）的根与系数的关系：若方程两个为x1 ，x2 ，则 x1+x2= ， x1?x2= 7二、填空题1 （ 2014?湖南永州, 第 10 题 3 分）方程x2 2x=0 的解为x1=0， x2=2 考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元一次方程.专题：计算题分析： 把 方程的左边分解因式得x（ x 2） =0，得到x=0 或x 2=0，求出方程的解即可解答：解：x2 2x=0，x（ x 2） =0，x=0 或x 2=0，x1=0 或 x2=2故答案为：x1=0 ， x2

8、=2 点评： 本 题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键2 （ 2014?随州，第14题 3 分）某小区2010 年屋顶绿化面积为2000 平方米，计划2012 年屋顶绿化面积要达到2880 平方米如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% 考点： 一 元二次方程的应用专题： 增 长率问题分析： 本 题需先设出这个增长率是x， 再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出 x 的值，即可得出答案解答： 解 ：设这个增长率是x，根据题意得：2000 ×（ 1+x） 2=2880解得：x1=20

9、%， x2= 220%（舍去）故答案为：20%方程是本题的关键3 （ 2014?江西，第10 题 3 分）若 a,b 是方程 x2 - 2x - 3= 0 的两个实数根，则22a + b = 。【考点】根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式，代数式求值根据一元二次方程根与系数的关系，若任意一元二次方程ax2+bx+c=0（ a 0）有两根x1，x2，则x1+x2= b ,x 1?x2= c , 根据完全平方化公式对化数进行变形，代入计算即可.aa【解答】解：a、 b 是方程x2 2x 3 0 的两根， a+b=2， ab= 3，a2 b2=（ a b） 2-2ab 22-2 × （

10、-3）=10.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a 0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x1， x2，则x1+x2= b ,x 1?x2=c . 也考查了代数式的变形能力、整体思想的运用aa4 （ 2014?黑龙江哈尔滨,第 15 题 3分）若 x= 1 是关于 x 的一元二次方程x2+3x+m+1=0 的一个解，则m 的值为1 考点： 一 元二次方程的解专题： 计 算题分析： 根 据 x= 1 是已知方程的解，将x= 1 代入方程即可求出m 的值解答： 解 ：将x= 1 代入方程得：1 3+m+1=0，解得：m=1故答案为：1点评： 此 题考查了一元二次方程的解，方程的

11、解即为能使方程左右两边相等的未知数的值5 （2014?黑龙江牡丹江, 第 18 题 3 分 ）现有一块长80cm、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个2角各剪去一个边长为xcm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm 的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得x2 70x+825=0 考点：由实际问题抽象出一元二次方程专题：几何图形问题分析：本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x 的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80 2x） cm，宽是（60 2x） cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出解答：解：由题意得：（ 80 2x） （

12、 60 2x） =1500整理得：x2 70x+825=0，故答案为：x2 70x+825=0 点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式另外，要学会通过图形求出面积6 （ 2014?莱芜，第15 题 4 分）若关于x 的方程x2+（ k 2） x+k 2=0 的两根互为倒数，则k= 1 考点 ： 根 与系数的关系分析： 根据已知和根与系数的关系x1x2= 得出k2=1 ，求出k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k 的值解答： 解 ： x1x2=k2，两根互为倒数， k =1 ，解得 k=1 或 1 ；方程有两个实数根， > 0

13、，当 k=1 时， < 0，舍去，故 k 的值为1 点评： 本 题考查了根与系数的关系，根据x1 ， x2 是关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（ a 0，a， b， c 为常数）的两个实数根，则x1+x2=， x1x2= 进行求解7 （ 2014?丽水，第15 题 4 分）如图，某小区规划在一个长30m、宽 20m 的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行， 另一条与AD 平行， 其余部分种花草要使每一块花草的面积都为78m2， 那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm， 由题意考点： 由 实际问题抽象出一元二次方程专题： 几 何图形问题分析： 设 道

14、路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30 2x） m，宽为（20 x）m根据长方形面积公式即可列方程（30 2x） （ 20 x） =6× 78解答： 解 ：设道路的宽为xm，由题意得：（ 30 2x） （ 20 x） =6× 78，故答案为：（ 30 2x） （ 20 x） =6× 78点评： 此 题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6 块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键8 （ 2014?广西来宾，第10 题 3 分）已知一元二次方程的两根分别是2 和3，则这个一元二次方程是（）Ax26x+8=0Bx2+2x3=0

15、Cx2x6=0Dx2+x6=0考点 ： 根 与系数的关系分析：首先设此一元二次方程为x2+px+q=0 ，由二次项系数为1 ，两根分别为2，3，根据根与系数的关系可得p=（2 3） =1， q=（3） ×2= 6，继而求得答案解答：解：设此一元二次方程为x2+px+q=0 ，二次项系数为1，两根分别为2，3，p=（23）=1，q=（3） ×2=6，这个方程为：x2+x 6=0故选：D点评： 此 题考查了根与系数的关系此题难度不大，注意若二次项系数为1 ， x1， x2 是方程x2+px+q=0 的两根时，x1+x2= p， x1x2=q，反过来可得p=（x1+x2） ， q

16、=x1x29 （2014 年广西钦州，第 7 题 3 分 ）若 x1， x2是一元二次方程x2+10x+16=0 的两个根，则 x1+x2的值是（）A 10B 10C 16 D 16考点：根与系数的关系分析：根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可解答：解：x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0 两个根， x1+x2= 10故选：A点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=，x1 x2=10三、解答题1. （ 2014?湖北宜昌, 第 22 题 10 分） 在 “文化宜昌?全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社 ”对全校学生的人数

17、及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012 年全校有1000名学生， 2013年全校学生人数比2012 年增加 10%， 2014 年全校学生人数比2013 年增加 100人（ 1 ）求 2014 年全校学生人数；（ 2） 2013 年全校学生人均阅读量比2012年多 1 本，阅读总量比2012年增加 1700 本（注：阅读总量=人均阅读量×人数） 求 2012 年全校学生人均阅读量； 2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012 年、 2014 年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a， 2014 年全校学生人均阅读量比2012 年增

18、加的百分数也是a， 那么 2014 年读书社全部80 名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求 a的值考点 ： 一 元二次方程的应用；一元一次方程的应用分析： （ 1）根据题意，先求出2013 年全校的学生人数就可以求出2014 年的学生人数；（ 2） 设 2012 人均阅读量为x 本，则 2013 年的人均阅读量为（x+1 ）本，根据阅读总量之间的数量关系建立方程就可以得出结论； 由 的结论就可以求出2012 年读书社的人均读书量，2014 年读书社的人均读书量，全校的人均读书量，由2014 年读书社的读书量与全校读书量之间的关系建立方程求出其解即可解答： 解 ： （ 1）由题意，

19、得2013 年全校学生人数为：1000×（ 1+10%） =1100 人， 2014 年全校学生人数为：1100+100=1200 人；（ 3） 设 2012 人均阅读量为x 本，则 2013 年的人均阅读量为（x+1 ）本，由题意，得1100（ x+1 ） =1000x+1700，解得： x=6答： 2012 年全校学生人均阅读量为6 本； 由题意，得2012 年读书社的人均读书量为：2.5×6=15本，22014 年读书社人均读书量为15（ 1+a）本，2014 年全校学生的读书量为6（ 1+a）本，80×15（ 1+a） 2=1200×6（ 1+a

20、） ×25%2（ 1+a） 2=3（ 1+a） ， a1= 1（舍去） ， a2=0.5答： a 的值为 0.5点评： 本 题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时根据阅读总量之间的关系建立方程是关键2 （ 2014?湖南衡阳, 第 24 题 6 分）学校去年年底的绿化面积为5000 平方米，预计到明年年底增加到7200 平方米，求这两年的年平均增长率考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：设这两年的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果解答：解：设这两年的年平均增长率为x，根据题意得：5000（

21、 1+x） 2=7200，即（1+x） 2=1.44，开方得：1+x=1.2 或 x+1= 1.2，解得： x=0.2=20%，或x= 2.2（舍去）答：这两年的年平均增长率为20%点评：考查了一元二次方程的应用，本题为增长率问题，一般形式为a（ 1+x） 2=b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量3 （ 2014?河北，第21 题 10分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（ a 0）的求根公式时，对于b2 4ac> 0 的情况，她是这样做的：由于a 0，方程ax2+bx+c=0 变形为：x + x=， 第一步x2+ x+（） 2=+（） 2， 第二步

22、2（ x+ ） 2=， 第三步x+ =（ b2 4ac> 0） ， 第四步嘉淇的解法从第四 步开始出现错误；事实上， 当 b2 4ac> 0 时， 方程ax2+bx+c=0（ a O）的求根公式是x=用配方法解方程：x2 2x 24=0考点： 解 一元二次方程-配方法专题： 阅 读型分析： 第 四步，开方时出错；把常数项24 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方解答：解：在第四步中，开方应该是x+=±所以求根公式为：故答案是：四；x=；用配方法解方程：x2 2x 24=0解：移项，得x2 2x=24，配方，得x2 2x+1=24+1 ，即（x 1） 2=

23、25，开方得x 1=± 5， x1=6， x2= 4点评： 本 题考查了解一元二次方程配方法用配方法解一元二次方程的步骤：（ 1）形如x 2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可（ 2）形如ax2+bx+c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0 ，然后配方4 （ 2014?随州，第 23 题 8 分） 楚天汽车销售公司5 月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30 万元/辆，若当月销售量超过5 辆时，每多售出1 辆，所有售出的汽车进价均降低 0.1 万

24、元/辆根据市场调查，月销售量不会突破30 台（ 1 ）设当月该型号汽车的销售量为x 辆（x 30，且x 为正整数），实际进价为y万元/辆，求 y 与 x 的函数关系式；（ 2）已知该型号汽车的销售价为32 万元/辆，公司计划当月销售利润25 万元，那么月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价进价）考点 ： 一 元二次方程的应用；分段函数分析： （ 1）根据分段函数可以表示出当0< x5， 5< x 30 时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；（ 2）由销售利润=销售价进价，由（1 ）的解析式建立方程就可以求出结论解答： 解 ： （ 1 ）由题意，得当 0< x5 时y=3

25、0 当 5< x30 时，y=30 0.1（ x 5） = 0.1x+30.5 y=；（ 2）当0< x 5 时，（ 32 30） × 5=10< 25，不符合题意，当 5< x30 时，32（0.1x+30.5） x=25，解得：x1= 25（舍去）， x2=10答：该月需售出10 辆汽车点评： 本 题考查了分段函数的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出分段函数的解析式是关键5 （ 2014 衡阳，第24 题 6 分）已知某校去年年底的绿化面积为5000平方米， 预计到明年年底的绿化面积将会增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率。【考点】一元二次

26、方程、直接开方法解方程增长率问题，一般 形式 为 a（ 1+x） 2=b， a 为起始 时间 的有 关数 量 ， b 为 终 止 时间 的有 关数 量， 同类 型的 问 题还 有降低的 问题 ，根 据题 意 去列 方程 即可 .6 （ 2014?无锡第20 题 8 分） （ 1）解方程：x2 5x 6=0；2）解不等式组：考点： 解 一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组专题： 计 算题分析： （ 1） 方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0， 两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程来求解；（ 2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可解答： 解 ： （ 1 ）

27、方程变形得：（ x 6） （ x+1 ） =0，解得：x1=6， x2= 1；（ 2） ，由 得：x 3；由 得：x> 5，则不等式组的解集为x> 5点评： 此 题考查了解一元二次方程因式分解法，以及一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键7 （ 2014?四川成都, 第 26 题 8 分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角 （两边足够长）， 用 28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB ， BC 两边） ，设 AB=xm （ 1）若花园的面积为192m解答： 解 ： （ 1） AB=xm ，则 BC= （ 28 x） m， x（ 28 x

28、） =192，解得：x1=12， x2=16，答： x 的值为 12m 或 16m；（2）由题意可得出：S=x（28x）=x 2+28x= （x14）2+196，在 P 处有一棵树与墙CD ， AD 的距离分别是15m 和 6m， x=15 时， S 取到最大值为：S=（15 14） 2+196=195，答：花园面积S 的最大值为195 平方米分析： （ 1）设平均每年投资增长的百分率是x根据2013 年投资 1000 万元，得出2014 年投资1000（ 1+x） 万元， 2015 年投资1000（ 1+x） 2万元，而 2015年投资 1210 万元 据此列方程求解；点评： 本 题考查了一

29、元二次方程及一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式组，求x的值；（ 2） 若在 P 处有一棵树与墙CD， AD 的距离分别是15m 和 6m， 要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用专题：几何图形问题分析：（1）根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；（2）由题意可得出：S=x（28x） = x 2+28x= （ x 14）2+196，再利用二次函数增减性得出答案点评： 此 题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出 S 与 x 的函数

30、关系式是解题关键8 （ 2014?重庆A, 第 23 题 10 分）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室经预算， 一共需要筹资30000 元， 其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊（ 1 ）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3 倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（ 2）经初步统计，有200 户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150 元镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000 元经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200 户的基础上增加了a%（其中a>

31、 0） 则每户平均集资的资金在 150 元的基础上减少了a%，求a的值考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用分析：（ 1 ）设用于购买书桌、书架等设施的为x 元，则购买书籍的有（30000 x）元，利用 “购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3 倍 ”，列出不等式求解即可；（ 2）根据“自愿参与的户数在200 户的基础上增加了a%（其中a> 0） 则每户平均集资的资金在 150 元的基础上减少了a%，且总集资额为20000 元 ”列出方程求解即可解答：解： （ 1） 设用于购买书桌、书架等设施的为x元， 则购买书籍的有（ 30000 x） 元，根据题意得：30000 x

32、 3x，解得：x 7500答：最多用7500 元购买书桌、书架等设施；（ 2）根据题意得：200（ 1+a%） × 150（ 1a%） =20000整理得：a2+10a 3000=0，解得： a=50 或 a= 60（舍去），所以 a 的值是 50点评：本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系和不等关系，难度不大9 （ 2014?莱芜，第22 题 10 分）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知 2013 年投资 1000 万元， 预计 2015 年投资 1210 万元 若这两年内平均每年投资增长的百分率

33、相同（ 1 ）求平均每年投资增长的百分率；（ 2）已知河道治污每平方需投入400 元，园林绿化每平方米需投入200 元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000 平方米， 且河道治污费用不少于园林绿化费用的4 倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？考点 ： 一 元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用（ 2） 设 2015 年河道治污面积为a平方米， 园林绿化面积为平方米，根据 2015 年河道治污及园林绿化总面积不少于35000 平方米及河道治污费用不少于园林绿化费用的4 倍列出不等式组，解不等式组即可解答： 解 ： （ 1 ）设平均每年投资增长的百分率是x由题意得1000（ 1+x） 10. （ 2014?山西，第22 题 9 分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000 米 ，施工队在绿化了22000 米 2 后，将每天的工作量增加为原来的1.5 倍，结果提前4 天完成了该 项绿化工程（ 1 ）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（ 2） 该项绿化工程中有一块长为20 米， 宽为 8 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56 米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示） ，问人行通道的宽度是多少米？=1210，解得x