2015-2016学年高二数学学案：2.1.1《椭圆及其标准方程》（人教A版选修1-1）

1、基础梳理1椭圆的定义及标准方程(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a>b>0)1(a>b>0)焦点(±c，0)(0，±c)a，b，c的关系：c2a2b22.准确理解椭圆的定义只有当2a>时，点P的轨迹才是椭圆；当2a时，点P的轨迹是线段F1F2；当2a<时，点P的轨迹不存有3准确理解椭圆的两种标准形式(1)要熟记a，b，c三个量的关系椭圆方程中

2、，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离和的一半，正数a，b，c恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以ab，ac，且a2b2c2，其中c是焦距的一半，叫做半焦距(2)通过标准方程能够判断焦点的位置，其方法是：看x2，y2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上4用待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上(2)设方程： 依据上述判断设方程为1或1在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2ny21(m0，n0且mn)(3)找关系，根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组(4)解方程组，代入所设方程即为所求,自测自评1到两定点F1(4，0)和F2

3、(4，0)的距离之和为8的点M的轨迹是线段F1F22椭圆的焦点坐标为(4，0)，(4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为13已知a4，c3，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为14椭圆1的焦点坐标为(4，0)，(4，0)1已知两定点F1(2，0)，F2(2，0)，点P是平面上一动点，且|PF1|PF2|6，则点P的轨迹是(C)A圆 B直线C椭圆 D线段2若椭圆的两焦点为(2，0)，(2，0)，且过点，则该椭圆的方程是(D)A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x轴上，能够排除A、B；再把点代入方程，可知应选D.3过椭圆4x22y21的一个焦点F1的直线

4、与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成ABF2，那么ABF2的周长是_答案：24写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a4，b3焦点在x轴上；(2)a5，c2焦点在y轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点和点. 答案：(1)1；(2)1；(3)x21.5设F1、F2分别为椭圆C：1，(ab0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A到F1、F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程及焦点坐标解析：椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a4，即a2.又A在椭圆C上，1，解得b23.c2a2b21.椭圆C的方程为1，焦点坐标为F(±1，0

5、)1下列说法中正确的是(C)A已知F1(4，0)，F2(4，0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B已知F1(4，0)，F2(4，0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C到F1(4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D到F1(4，0)，F2(4，0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆2设F1、F2是椭圆1的焦点，P为椭圆上一点，则PF1F2的周长为(B)A16 B18 C20 D不正确3椭圆4x29y236的焦点坐标是(D)A(0，±3) B(0，±)C(±3，0) D(±，

6、0)解析：椭圆方程化为标准方程为1，c2945，c，又焦点在x轴上，焦点坐标为(±，0)4椭圆1的焦距是2，则m的值为(A)A5或3 B8 C5 D3解析：当焦点在x轴上，a2m，b24，又c1，m41，m5.当焦点在y轴上时，a24，b2m，4m1，m3.故选A.5如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(D)A(0，2) B(0，)C(，1) D(0，1)解析：将方程化为标准方程为1，k0.又因为焦点在y轴上，2，即k1，故0k1.6椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积为(C)A20 B22 C24 D28解析：|P

7、F1|PF2|14，(|PF1|PF2|)2196，|PF1|2|PF2|2100.得2|PF1|·|PF2|96，S|PF1|·|PF2|24.7椭圆5x2ky25的一个焦点是(0，2)，那么k_.解析：焦点在y轴上，则1，c214，k1.8与椭圆x24y24有公共的焦点，且经过点A(2，1)的椭圆的方程为_解析：椭圆x24y24的标准方程为y21，c3.设椭圆的方程为1.(a23)，把点A(2，1)代入1，解得a26，或a22(舍去)，所求椭圆方程为1.答案：1.9一动圆过定点A(1，0)，且与定圆(x1)2y216相切，则动圆圆心轨迹方程是_解析：设定圆(x1)2y2

8、16的圆心为C，动圆圆心为P，则|PA|PC|4.P点的轨迹为椭圆，且a2，c1，b，动圆圆心轨迹方程为1.答案：110已知B、C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长等于16，求定点A的轨迹方程解析：如图，建立直角坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合由已知|AB|AC|BC|16，|BC|6，有|AB|AC|10|BC|6，即点A的轨迹是椭圆，且2c6，2a10.c3，a5，b2a2c225916.但当点A在直线BC上，即y0时，A、B、C三点不能构成三角形点A的轨迹方程是1(y0)11已知M(4，0)，N(1，0)，若动点P满足·6|，求动点P的轨迹方程解析：设动点

9、P(x，y)，(x4，y)，(3，0)，(x1，y)，由·6|，得3(x4)6，平方化简得3x24y212，即1.点P的轨迹方程为1.体验高考1(2014·辽宁卷)已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.解析：(1)椭圆1中，a3.如图，设MN的中点为D，则|DF1|DF2|2a6.D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12.2(2014·安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，

10、过点F1的直线交椭圆E与A，B两点，若|AF1|3|BF1|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_解析：由，得，设A(c，b2)，由|AF1|3|BF1|，得B，1，25c2b29，25(1b2)b29，b2，椭圆E的方程为x2y21.答案：x2y213设椭圆E：1(a，b>0)过M(2，)，N(，1)，O为坐标原点，求椭圆E的方程解析：将M，N的坐标代入椭圆E的方程得解得a28，b24.所以，椭圆E的方程为1.4在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点F1(1，0)，且P(0，1)在C1上，求C1的方程解析：由题意得：b1，c1a，bc1，故椭圆C1的方程为：y21.5(

11、2013·新课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解析：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90°