自适应控制讲义(模型参考部分)2013-v1

1、第4章模型参考自适应控制系统4.1 概述n MRAC系统具有多种结构形式，互相之间可以互相转换。最典型的一类MRAC系统结构框图如图4.1.1所示，由参考模型、被控对象、参数可调控制器和自适应机构组成。n 其中参数可调控制器由一个前馈调节器和一个反馈调节器组成，它与被控对象形成一个常规的反馈控制系统，这个系统相对于MRAC系统来说是一个“内环”。n 另外，MRAC系统还有一个由自适应机构组成的自适应反馈回路，称为“外环”，用来调节内环参数可调控制器中的相关参数。n MRAC系统的参考模型体现了人们对闭环控制系统的性能要求。也就是说，这个参考模型反映了人们期望闭环控制系统如何响应指令信号。图4.

2、1.1 典型MRAC系统的结构框图到目前为止，已有许多种类型的MRAC系统，并且采用不同分类标准就有不同的分类方法。n 如按结构特征来分类，可将MRAC系统分为并联MRAC系统、串联MRAC系统以及串并联MRAC系统。一般，这三种结构是从不同的观点来讨论的，但是用统一的方法对它们进行分析和综合也是可能的。n 根据自适应机构对系统的影响方式可以分为参数自适应方式和信号综合自适应控制方式。前者表示自适应机构根据参考模型与被控对象之间的误差直接修改控制器的参数，如图4.1.1中从自适应机构出发的实线所代表的方式；后者是由自适应机构产生一个辅助输入信号来修改加在被控对象的信号，如图4.1.1中从自适应

3、机构出发的虚线所代表的方式。根据MRAC系统的设计方法可以分为如下三类：基于局部参数最优化的方法、基于Lyapunov稳定性理论的方法以及基于Popov超稳定性理论的方法。n 基于局部参数最优化的方法是最早采用的MRAC系统设计方法，通常称为MIT律。n 基于Lyapunov稳定性理论的方法是Butcharty及Parks于六十年代中期相继提出的，这种方法与局部参数最优化方法相比，不仅可保证系统的稳定性，还具有自适应速度快的优点。n 由法国学者Landau于1969年提出的基于Popov超稳定性理论的方法，主要是以Popov超稳定性理论为基础，由于不需要选择Lyapunov函数，并且能给出一族

4、自适应规律，从而该方法有利于设计者结合实际系统灵活地选择合适的自适应规律。MRAC系统设计的主要问题就是对于给定的被控对象和参考模型，构造出参数可调控制器和自适应机构，实现系统的完全渐近自适应（要达到误差收敛和参数收敛条件）。为了便于采用上述方法对MRAC系统进行设计，一般首先要对MRAC系统进行数学描述，这主要有两种方法：采用状态变量方程和输入输出方程。n 当不能获得对象的全部状态信息时，只能采用输入输出方程描述的MRAC系统，它一般是采用微分算子的形式表示，该方法下的自适应机构基于广义输出误差（参考模型输出与可调系统输出之间的偏差）来对参数可调控制器进行自适应调节。n 当系统的状态全部信息

5、可以获得时，采用状态变量方程的描述，该方法下的自适应机构根据广义状态误差（参考模型状态变量与被控对象相应状态变量之间的偏差）来对参数可调控制器进行调节。图 4.1.2 用状态方程描述的MRAC系统（参数自适应方式）4.2稳定性理论基础知识4.2.1 Lyapunov稳定性理论基础知识1. 非线性系统与平衡点(1)非线性系统一个非线性动力系统可以用以下的非线性微分方程描述 （4.2.1）其中，f是一个n×1的非线性向量函数，而x是一个n×1的状态向量。状态数n称为系统的阶。状态向量的一个特定值对应于状态空间的一个点。方程（4.2.1）的一个解对应于状态空间的一条曲线，通常称为

6、状态轨线或系统轨线。（4.2.1）可以表示一个无控制信号的动态系统（自由系统），也可以代表一个反馈控制系统的闭环动态。如果系统的动态方程为而设计的控制律为闭环系统的动态方程可以被改写成（4.2.1）的形式。一类特殊的非线性系统是线性系统。线性系统的动态方程为其中，A(t)为一个n×n矩阵。(2) 自治系统与非自治系统定义4.2.1 非线性系统（4.2.1）称为自治的，如果f不显含t，即如果系统方程可写作 （4.2.2）否则，该系统称为非自治的。控制系统的非自治性可能来自模型或控制器。设有一个时不变的动力学模型为控制器是时变的，可能导致一个非自治的闭环系统，即如果u=g(x,t)。例如

7、，简单模型，控制器是非线性非自治的（例如)。线性时不变装置的自适应控制器往往使闭环系统变为非线性和非自治的。自治系统和非自治系统的基本区别在于：自治系统的状态轨线不依赖于初始时刻，而非自治系统一般不是这样。(3)平衡点定义4.2.2 状态称为系统的一个平衡态（或平衡点），如果一旦，则此后状态永远停留在。数学上，这表明定常向量满足 （4.2.3）平衡点可通过解（4.2.3）求得。一个线性时不变系统 （4.2.4）当A非奇异时只有一个惟一的平衡点（原点0）。当A奇异时，它有无数平衡点，即满足Ax=0的所有解。这表明平衡点不是孤立的。例如：，x轴上所有的点都是它的平衡点。例4.2.1 摆图4.2.1

8、摆摆的性态可用以下的非线性自治方程来描述 （4.2.5）这里R是摆长、M是质量、b是铰链的摩擦系数、g是重力加速度（常数），记。则相应的状态方程为 （4.2.6a） （4.2.6b）于是，平衡点满足因此，平衡点为及，从物理意义上讲，它们分别对应摆的垂直向下及垂直向上的位置。平衡点的变换设我们感兴趣的平衡点为，那么，引入新变量并将代入方程（4.2.2），即可得到关于变量y的方程 （4.2.7）当y=0时，对应于，是（2.7）的一个平衡点。因此，若要研究方程（4.2.2）在平衡点附近的性态，只要研究方程（4.2.7）在原点邻域的性态即可。2. 稳定的概念图4.2.2稳定的概念(1)稳定性与不稳定性

9、定义4.2.3 一个平衡点x=0称为稳定的（也称李雅普诺夫意义下的稳定），如果任给R0，总存在r0，使当r时，R，t0。如果x=0不是稳定的，则称为不稳定平衡点。定义4.2.3可写成或等价地记作例4.2.2 范德波尔振子的不稳定性范德波尔振子方程为图4.2.3 范德波尔振子的不稳定原点控制系统性能要求由渐近稳定这个概念来描述。(2)渐近稳定性定义4.2.4 平衡点0称为渐近稳定的，如果它是稳定的，而且存在r0使当r时，。图4.2.2显示当系统轨线从球Br内出发的轨线均收敛到原点。球Br称为平衡点的一个吸引域，是指最大的一个区域，使从此区域出发的一切轨线均收敛于原点。一个李雅普诺夫稳定而又不是渐

10、近稳定的平衡点称为临界平衡点。上述定义表征了系统的局部性态。(3) 局部稳定性与全局稳定性定义4.2.5 如果对任何初值渐近稳定成立，则这样的平衡点称为大范围渐近稳定，也称全局渐近稳定。线性时不变系统的稳定性分三种：渐近稳定、临界稳定和不稳定。3. 李雅普诺夫直接方法李雅普诺夫直接方法的基本原理是一个基本物理现象的数学表达。可以由一个标量函数的变化来判断一个系统的稳定性。图4.2.4 一个非线性质量一阻尼弹簧系统图4.2.4中的质量一阻尼弹簧系统，其动力学方程为 （4.2.8）这里表示非线性耗散式阻尼，而代表非线性弹簧。系统的全部机械能是它的动能与势能之和 （4.2.9）机械能和前面定义的稳定

11、性概念之间的联系 能量为0对应于平衡点。 渐近稳定意味着机械能收敛到零。 不稳定对应于机械能的增长。机械能作为一个标量以隐含形式反映着状态向量的幅值，而且系统的稳定性可以通过系统能量的变化来描述。系统运动中能量的变化率为 （4.2.10）由于阻尼的存在，系统的能量不断减少，一直到质点停止运动，即，。(1) 正定函数与李雅普诺夫函数上述能量函数有两个性质：第一个性质：它除了x及均为零的点外严格正；第二个性质：当x及依动力学方程（4.2.8）变化时，该函数单调下降。定义4.2.6 一个标量连续函数V(x)称为局部正定的，如果V(0)=0，且在一个球内如果V(0)=0且上述性质在整个状态空间成立，则

12、称V(x)为全局正定函数。图4.2.5 正定函数的典型形式例如函数它是例4.2.1中摆的机械能，它是局部正定的。又如非线性质量阻尼弹簧系统的机械能（4.2.9），它是全局正定的。注：这个系统（质量阻尼弹簧系统）动能不是正定的。类似地定义几个相关概念：函数V(x)称为局部或全局负定的，如果V(x)是局部或全局正定的；V(x)是正半定的，如果V(0)=0且对一切x0，V(x)0；V(x)是负半定的，如果V(x)是正半定的。设x为自治系统（4.2.2）的状态，假定V(x)是可微的，它对时间的导数可以用链式法则得到通常将这个导数称为“V沿着系统轨线的导数”。定义4.2.7 如果在一个球内，函数V(x)

13、是正定的，且有连续偏导数,而且它沿系统（4.2.2）的任一状态轨线的导数为负半定的，即那么V(x)称为系统（4.2.2）的李雅普诺夫函数。图4.2.6 定义4.2.7在n=2时的描述(2) 平衡点定理包括局部与全局两类。局部定理描述平衡点邻域的稳定性质。a局部稳定性的李雅普诺夫定理定理4.2.1（局部稳定性） 如果在一个球内，存在一个标量函数V(x)，它具有一阶连续偏导数，并且 V(x)正定（在球内） 负半定（在球内）那么平衡点0是稳定的，如果导数V(x)在球内是负定的，那么0是渐近稳定的。例4.2.3 局部稳定性带有粘性阻尼的单摆方程为考查以下标量函数 (4.2.11)这个函数是局部正定的。

14、时间导数为0利用上述定理可知，原点是稳定平衡点。物理学观点，是摆消耗能量的功率。选择这个李雅普诺夫函数，还不能得到系统渐近稳定的结论，因为只是负半定的。选择适当的李雅普诺夫函数，可以得到更精确的结果考查以下标量函数(4.2.12)它也是系统的一个李雅普诺夫函数，因为局部地有更为有趣的是实际上是局部负定的，证明了摆的局部渐近稳定性。一个重要事实：李雅普诺夫分析中的所有定理都是充分性定理。例4.2.4 局部渐近稳定性考查下述非线性系统关于原点的稳定性给定正定函数它沿着系统轨线的导数为因此，在二维球B2内（或 <2的区域内）局部负定。从而，原点是局部渐近稳定的。b全局稳定性的李雅普诺夫定理放大

15、到整个状态空间。一个附加条件：V(x)必须是径向无界的，这指的是，当时（当x沿任何方向趋于无穷时），。定理4.2.2（全局渐近稳定性） 假定存在状态x的标量函数V，它具有一阶连续偏导数，并且 V(x)正定 负定 ，当那么原点作为平衡点是全局渐近稳定的。例4.2.5 考查系统状态空间原点是它的一个平衡点。设V为正定函数V沿任一系统轨线的导数为它是负定的。因此，原点是全局渐近稳定平衡点。注意：这个全局稳定的结果也表明原点是系统惟一的平衡点。4. 线性时不变系统的李雅普诺夫分析(1)对称矩阵、正定矩阵定义4.2.8 一个方阵M称为对称的，如果M=MT（即，如果对）定义4.2.9 一个n×n

16、方阵称为正定的（p. d.）,如果换言之，一个矩阵M是正定的，如果二次函数是正定函数.每个正定矩阵对应一个正定函数。反之，显然不成立。判定定理：设M为对称矩阵，M正定的充要条件是其主子式（即M11，M11M22M12M21，detM）均为正数；或等价地，其特征值均为正数。正半定、负定、负半定等概念可类似定义。一个n×n方阵M被称为正半定的（p.s.d.），如果(2)线性时不变系统的李雅普诺夫函数给定一个线性系统，考虑一个候选二次李雅普诺夫函数其中，P是一个给定的对称正定矩阵，函数沿系统轨线的导数为另一个二次形式 （4.2.13）这里 （4.2.14）因此，问题变成能否找到一个对称正定

17、矩阵Q使它满足李雅普诺夫方程（4.2.14）。例4.2.6 考虑二阶线性系统，其A矩阵为选P=I，则得矩阵Q不是正定的。给定一个正定矩阵Q，反过来找正定矩阵P，即 选择一个正定矩阵Q。 由李雅普诺夫方程(4.2.14)解出P。 检验P是否正定。定理4.2.3 一个线性时不变系统渐近稳定的充要条件是，任给对称正定矩阵Q李雅普诺夫方程（4.2.14）有惟一矩阵解P，而且P是对称正定的。说明：任何正定矩阵Q都可以用来判定线性系统的稳定性。例4.2.7 考虑例4.2.6中的二阶系统，取Q=I且设这里，由于P的对称性，有,于是李雅普诺夫方程为其解为相应的矩阵为它是正定的，因此原线性系统是全局渐近稳定的。

18、5. 用Barbalat引理作类李雅普诺夫分析问题：非自治系统的渐近稳定分析探求：的条件Barbalat引理是一个关于函数及其导数的渐近性质的纯粹的数学结果。引理4.2.1（Barbalat引理） 如果可微函数f(t)，当时存在有限极限，且一致连续，那么当时。函数g(t)在0，)是连续的，如果0，0，0，0，R函数g在0，)是一致连续的，如果0，0，0，0，Rg是一致连续的，如果总是可以找到一个与特殊点t1无关的。可微函数一致连续的一个简单的充分条件是它的导数是有界的。Barbalat引理的一个推论：如果可微函数f(t)，当时存在有限极限，存在且有界，那么当时，。引理4.2.2（类李雅普诺夫引

19、理） 如果标量函数满足下面的条件 V(x,t)有下界； (x,t)是半负定的； (x,t)对时间是一致连续的。那么(x,t) 。下面考虑一个简单的自适应控制系统的渐近稳定分析。例4.2.8带有一个未知参数的一阶自适应控制系统的闭环误差动力系统为其中e和是闭环动力系统的两个状态，分别表示跟踪误差和参数误差，w(t)是有界的连续函数。考查有下界函数其导数为0因此，e和是有界的。为了利用Barbalat引理，我们验证的一致连续性。的导数为这表明是有界的。因此是一致连续的。由Barbalat引理得。注意：虽然e收敛于零，但是系统不是渐近稳定的，因为这里只能保证是有界的。建立在Barbalat引理上的分

20、析称为类李雅普诺夫分析。它与李雅普诺夫分析有两个微妙的但很重要的不同之处：1) 函数V可以仅仅是一个关于x和t有下界的函数，而不要求是正定函数；2) 第二，的导数一定是一致连续的，且为负或零。这里典型的做法是证明是有界的。4.2.2 Popov超稳定性理论基础知识本小节介绍Popov稳定性理论的一些基本定义和定理。1. 正实和严格正实传递函数考查以下形式的n阶单输入单输出线性系统的有理函数，假设分子和分母的多项式的系数是实数，且。分母的阶与分子的阶的差称为系统的相对阶。定义4.2.10 如果（4.2.15）则传递函数是正实的；如果对某个，则传递函数是严格正实的。例4.2.6 严格正实函数考查有

21、理函数其中，相应于复变量有如果，那么，是正实的；选择，是严格正实的。定理4.2.4传递函数是严格正实的，当且仅当1) 是严格稳定的传递函数；2) 的实部沿着是严格正的，即(4.2.16)传递函数是严格正实的必要条件，即 是严格稳定的； 的Nyquist图完全在右半复平面内，在正弦曲线输入下，系统响应的相位移总是少于90°； 的相对阶为0或1； 具有严格最小相位（即它的所有零点都在左半开复平面内）例4.2.7严格正实和非严格正实传递函数考查下列系统正实与严格正实传递函数的根本不同：正实传递函数允许在轴有极点，严格正实传递函数在轴没有极点。例4.2.8考查积分器的传递函数当时，2. 正实

22、和严格正实传递函数矩阵考虑下述系统 (4.2.17)式中是维状态矢量，分别为维输入、输出矢量，是相应维数的常数矩阵，并且完全能控，完全能观，其传递函数矩阵为 (4.2.18)在讨论复变量的实有理函数矩阵的正实性之前，先引入埃尔米特(Hermite)矩阵。定义4.2.11 （埃尔米特(Hermite)矩阵）复变量的矩阵函数为Hermite矩阵，如果(式中星号表示共轭)。 Hermite矩阵具有下列性质：(1) Hermite矩阵是方阵，其对角元素为实；(2) Hermite矩阵的特征值必为实；(3) 设为Hermite矩阵，为具有复数分量的向量，则二次型恒为实。定义4.2.12（正实函数矩阵）实

23、有理函数矩阵是正实的，如果满足：(1) 在右半开平面上，的每个元解析，即在上没有极点；(2) 对于所有实，只要不是的任何一个元素的极点，便是半正定Hermite矩阵；(3) 在的轴上，如果是某个元素的极点，则只可能是单重极点，且相应的留数矩阵为半正定的Hermite矩阵。定义4.2.13（严格正实函数矩阵）实有理函数矩阵是严格正实的，如果满足： (1) 在右半闭子平面上，的每个元解析；(2) 对于所有实，矩阵均为正定的Hermite矩阵。3. 正实引理引理4.2.3 系统(4.2.17)的传递函数是正实的，当且仅当存在对称正定矩阵和实矩阵和，满足 (4.2.19)引理4.2.4 若是的最小实现

24、（即完全能控，完全能观），那么 (4.2.20)为正实传递函数矩阵的充要条件是存在和矩阵，满足 (4.2.21)引理4.2.5 (4.2.18)式所示传递函数为严格正实的充要条件是存在对称正定矩阵和实矩阵和，正实数，或者对称正定矩阵，满足 (4.2.22)4. 超稳定性定义在许多实际闭环控制问题中，采用非线性孤立方法，常可把它们规范化为图4.2.7所示的反馈系统。 图4.2.7 非线性孤立化的反馈系统框图 图4.2.8 的扇型区域位于正向通路中的是系统的线性部分，一般是定常的。位于反馈通路的是系统的非线性部分，它可以是定常的也可以是时变的。（注：图4.2.7所示的两部分不一定就是实际闭环系统的

25、正向通路部分和反向通路部分。）在考察图4.2.7所示系统的全局稳定性时，不妨假设，从而有，一般从两个方面，即绝对稳定性和超稳定性方面进行研究。绝对稳定性回答的问题是：对于满足不等式条件 (4.2.23)的任何非线性反馈环节，应如何选择线性部分才能保证系统的全局渐近稳定性。式中，分别为非线性部分的输入向量和输出向量的分量。在最简单的单输入单输出情况下，条件(4.2.23)意味着非线性函数的图形全部落在位于第一象限和第三象限的某个扇型区域内，如图4.2.8所示。 超稳定性要解决的问题是：对于满足积分不等式 (4.2.24)的任何非线性反馈环节（为与系统初始值有关的常数），线性部分应满足什么条件才能

26、保证系统的全局稳定性或全局渐近稳定性。一般称(4.2.15)式为Popov积分不等式。在(4.2.24)式中，是输入输出内积的积分，它表示输入输出积的平均值大于某一负常数，它允许输入输出积在某些时刻可小于零。而(4.2.23)式意味着输入输出积在每一时刻都必须大于等于零。由此可见，(4.2.24)式是(4.2.23)式的扩展，绝对稳定性可视为超稳定性的一种特殊情况。对于图4.2.7所示的反馈系统，其正向线性定常环节描述为 (4.2.25)非线性反馈环节描述为 (4.2.26)式中是n维状态向量；分别是m维输入、输出向量；和是适当维数的矩阵，并且完全能控，完全能观；是描述非线性环节的输入输出关系

27、的函数向量，这个非线性反馈环节满足(4.2.24)式的Popov的积分不等式，或者用如下更一般形式表示 (4.2.27)上式表明，输入输出内积的积分的下界除了与初始值有关外，还与状态范数在区间上的上确界有关。定义4.2.14（超稳定性）对于由(4.2.25)式和(4.2.26)式组成的闭环系统，如果对满足不等式(4.2.24)式或(4.2.27)式的任何非线性反馈环节(4.2.26)式，存在常数和，使系统(4.2.25)的解满足不等式 (4.2.28)则称此闭环系统是超稳定的。定义4.2.15 （渐近超稳定性） 对于由(4.2.25)式和(4.2.26)式组成的闭环系统，如果(1) 超稳定的(

28、2)则称此闭环系统是渐近超稳定的。鉴于反馈环节(4.2.26)的特征已由Popov积分不等式(4.2.24)或不等式(4.2.27)所限定，所以反馈系统的超稳定性主要依赖于正向环节的特性。习惯上，把能使反馈系统(渐近)超稳定的正向环节称为（渐近）超稳定环节。5. 超稳定性定理定理4.2.5 对于由(4.2.25)式和(4.2.26)式组成的反馈系统，其非线性反馈环节(4.2.26)满足不等式(4.2.24)或不等式(4.2.27)，则系统超稳定的充要条件是线性环节的传递函数矩阵 (4.2.29)为正实函数矩阵。定理4.2.6对于由(4.2.25)式和(4.2.26)式组成的反馈系统，其非线性反

29、馈环节(4.2.26)式满足不等式(4.2.24)或不等式(4.2.27)，则系统渐近超稳定的充要条件是线性环节的传递函数矩阵式(4.2.27)为严格正实传递函数矩阵。定理4.2.5证明： 因为正实，由引理4.2.3知（4.2.19）式成立。构造Lyapunov函数，并对其求导，并将（4.2.19）式代入得对上式两边在区间（0,t1）内积分，得因此，当时，上述不等式也显然成立，因而有 6. 耗散系统考察状态空间系统其中是一个n维状态空间流形X的局部坐标；U和Y是线性空间，维数分别是m和p。在外部变量空间中定义如下函数：,称为供给率。定义4.2.16 如果存在函数(称为存储函数，)，使得对于所有

30、，以及所有输入函数u，有 (4.2.30)则称状态空间相对于供给率s耗散。其中。当初始状态为，输入函数为时，表示时刻的状态。如果式（4.2.30）的等式对于所有，和成立，则称相对于s无损。称不等式（4.2.30）为耗散不等式。它说明在将来的任一时刻，的存储能量最多只能等于当前时刻的存储能量与时间段中外界供给的能量之和。即，系统内部不“产生能量”，而只能存在内部的能量消耗。一个重要的供给率是（，符号表示二元乘积）假设相对于以上供给率耗散。则对于某一函数和所有以及所有输入函数为，有这准确地表明：对于任意，的输入输出映射无源，更进一步，可以被解释为存储能量。4.3 基于参考模型的模型跟随控制器4.3

31、.1 问题描述1. 被控对象描述考虑如图4.3.1所示的线性模型跟随控制系统，参考模型的状态方程为： (4.3.1)被控对象的状态方程为 (4.3.2)式中和分别为维的参考模型状态变量和被控对象的状态变量，所有分量可测，为属于分段连续函数类的维参考输入信号；在参考模型中，和分别为和已知定常矩阵，一般有，为Hurwitz矩阵，即参考模型是渐近稳定的；对于被控对象而言，和分别为和已知定常矩阵，矩阵对也是能镇定的；为被控对象的维控制信号。图 4.3.1 线性模型跟随控制系统2. 控制目标构造如下控制律 (4.3.3)其中和是待设计的控制器增益矩阵。于是，控制器和被控对象组成的闭环系统可以描述为 (4

32、.3.4)完全模型跟随控制问题就是通过参考模型和被控对象的参数矩阵、，来设计控制器参数矩阵和，使闭环系统(4.3.4)的状态完全跟踪参考模型(4.3.1)的状态。4.3.2 控制器设计定义广义误差信号为 (4.3.5)由(4.3.1)式、(4.3.4)式和(4.3.5)式可得状态方程 (4.3.6)假设存在矩阵和，满足 (4.3.7) (4.3.8)通常称(4.3.7)式和(4.3.8)式是闭环系统(4.3.4)和参考模型(4.3.1)完全匹配的匹配条件。在匹配条件(4.3.7)和(4.3.8)成立的前提下，系统(4.3.6)变为 (4.3.9)假设参考模型的参考输入有界。因为是Hurwitz

33、矩阵，由(4.3.1)式和(4.3.9)式可知，和有界，且，进而和有界。所以，系统的所有信号均有界且广义误差趋于零。 下面给出控制器增益矩阵和的设计方法。匹配条件(4.3.7)和(4.3.8)成立等价于如下两个矩阵方程有解 (4.3.10) (4.3.11)以为未知量的矩阵方程 (4.3.12)有解当且仅当 (4.3.13)因此，当且仅当 (4.3.14)成立，矩阵方程(4.3.10)和(4.3.11)矩阵和有解。所以，匹配条件(4.3.7)和(4.3.8)等价于条件(4.3.14)。假设列满秩，则其左伪逆是，它满足。用左乘方程(4.3.10)和(4.3.11)，得 (4.3.15) (4.3

34、.16)本节给出了基于参考模型的完全模型跟随控制器设计方法，该方法要求被控对象是已知的。后面两节将以此为基础，针对被控对象不完全已知的情况，设计一个参数可调（自适应）控制器实现完全模型跟随控制。4.4 基于Lyapunov稳定性理论的模型参考自适应控制器4.4.1 基于Lyapunov稳定性理论的模型参考自适应控制器设计问题描述1. 被控对象描述考虑如图4.4.1所示的MRAC系统，参考模型的状态方程为： (4.4.1)被控对象的状态方程为 (4.4.2)式中，和分别为维的参考模型状态变量和被控对象的状态变量，假设所有分量可测，为属于分段连续函数类的维参考输入信号；在参考模型中，和分别为和已知

35、定常矩阵，一般有，为Hurwitz矩阵，即参考模型是渐近稳定的；对于被控对象而言，和分别为和未知矩阵，矩阵对也是能镇定的；为被控对象的维控制信号。2. 控制目标定义广义误差 (4.4.3)构造如下控制器 (4.4.4)式中，和为具有恰当维数的反馈调节器和前馈调节器时变增益矩阵，它们通过自适应规律依赖于（4.4.3式）表示的广义状态误差向量。设计的任务是用Lyapunov稳定性理论导出调整和的自适应规律，以达到状态收敛，即 (4.4.5)和参数收敛 (4.4.6)4.4.2模型参考自适应控制算法设计本小节利用Lyapunov稳定性理论来设计模型参考自适应控制器，假设完全模型跟随问题的解存在，即存

36、在和满足 (4.4.7)对(4.4.3)式两边分别求导，得 (4.4.8)根据(4.4.7)式，把(4.4.8)式重写成如下形式 (4.4.9)式中 (4.4.10)由于，(4.4.9)式可以写为 (4.4.11)假设是正定矩阵或负定矩阵，并令，如果是正定矩阵，则，否则。给定一个矩阵，求满足Lyapunov方程 (4.4.12)构造一个包含、以及的Lyapunov函数 (4.4.13)对上述Lyapunov函数求导，得 (4.4.14)又因所以 (4.4.15)选择如下和 (4.4.16) (4.4.17)则 (4.4.18)于是，有，这意味着有界，所以，、以及都是有界的，又因为参考模型稳定，

37、有界，则有界。经计算可得由于、，以及都是有界的，有界，因此一致连续。由Barbalat 引理(引理4.2.1)知，。根据(4.4.16)式和(4.4.17)式，构造控制器增益矩阵为 (4.4.19) (4.4.20)这样得到的控制器可保证被控对象的状态收敛于参考模型的状态。下面，在状态收敛的基础上，考虑参数收敛问题。由(4.4.9)式可知因为，所以，可见，当参考输入和状态变量线性独立时，可以实现参数收敛。根据参数估计理论，保证和线性独立的充分条件是：(1) 参考模型，即完全能控；(2) 的每个分量线性独立；(3) 的每个分量至少含有个不同频率信号。因此，当上述条件(1)(3)成立时，可以实现参

38、数收敛。4.4.3模型参考自适应控制算法总结综上所述，基于Lyapunov稳定性理论的模型参考自适应控制算法的设计步骤归纳如下：(1) 考虑等式，验证是正定矩阵或负定矩阵，如果既不是正定矩阵也不是负定矩阵，该方法不可行。(2) 令，如果是正定矩阵，取，如果是负定矩阵，取。(3) 给定一个矩阵，求满足Lyapunov方程 (4.4.21)(4) 构造控制器增益矩阵为 (4.4.22) (4.4.23)该设计方法要求是正定或负定的，由可知，这样的假设相当于对被控对象的输入矩阵的结构和部分元素施加一定的限制。注释4.4.1在设计过程中，首先要主观给定一个矩阵，再求满足Lyapunov方程的矩阵，进而

39、得到参数自适应调节规律。矩阵的选择不会影响系统的稳定性，但会影响瞬态响应。4.4.4仿真案例例4.4.1 设某线性系统的参考模型的状态方程为 (4.4.24)式中：，被控制对象状态方程为 (4.4.25)式中：，线性控制信号由下式给出 (4.4.26)试采用Lyapunov稳定性理论为上述系统能设计一模型参考自适应控制器。解：由式(4.4.25)和(4.4.26)即可得可调系统的闭环状态为设当，时，参考模型和可调系统达到完全匹配，由于为稳定矩阵，且即矩阵和的列向量与矩阵的列向量线性相关，那么和可由式(4.3.15)和(4.3.16)求出，即选取，那么根据式(4.4.19)和(4.4.20)可求

40、出系统的自适应规律为4.5 基于Popov超稳定性理论的模型参考自适应控制器Lyapunov稳定性理论可以成功地用于设计稳定的MRAC系统，但是其应用总是受到某种限制，因为我们一般不知道怎么去扩大合适的Lyapunov函数类以导出较大的自适应规律族。这是很重要的问题，因为在实际控制系统设计时，我们通常感兴趣的是得到保证MRAC系统稳定的最大可能的自适应规律族，然后从中选择与实际对象最合适的自适应规律。另外，采用Lyapunov稳定性理论进行MRAC系统设计时，需要选择适当的Lyapunov函数，如果没有一定的理论知识和实践经验，就很难对具体系统选出满意的Lyapunov函数，因而也就不易获得较

41、好的自适应规律。为了解决上述问题，可以采用基于Popov超稳定性理论的MRAC系统设计方法，它由法国学者Landau于1969年首先提出。这是一种系统的设计方法，它不仅不需要选择Lyapunov函数，而且能给出一族自适应规律，从而有利于设计者结合实际系统比较灵活地选择合适的自适应规律。4.5.1问题描述1. 被控对象描述图 4.5.1 用状态方程描述的MRAC系统（参数自适应方式）考虑如图4.5.1所示的MRAC系统，参考模型和被控对象的状态方程分别为和式中，和分别为维的参考模型状态变量和被控对象的状态变量，假设所有分量可测，为属于分段连续函数类的维参考输入信号；在参考模型中，和分别为和已知定

42、常矩阵，一般有，为Hurwitz矩阵，即参考模型是渐近稳定的；对于被控对象而言，和分别为和未知矩阵，矩阵对也是能镇定的；为被控对象的维控制信号。2. 控制目标定义广义状态误差矢量 (4.5.1)设计的任务是当被控对象参数未知时，设计一个具有记忆功能的自适应控制器 (4.5.2)用超稳定性理论导出调整和的自适应规律，以达到状态收敛 (4.5.3)和参数收敛 (4.5.4)（4.5.2）式中，和为如下形式 (4.5.5) (4.5.6)自适应规律不直接依赖于广义状态误差矢量，而是依赖。式(4.5.5)和(4.5.6)中等号右边的第一项，代表积分环节，其中和分别是和矩阵，表示和与在之间的非线性时变关

43、系；等号右边的第二项，代表静态映射环节，其中和也分别是和矩阵，表示和与之间在t时刻的非线性映射关系，对所有满足和。4.5.2模型参考自适应控制算法设计图4.5.2 非线性孤立化的反馈系统框图 根据超稳定性理论，图4.5.2所示的反馈系统全局渐近稳定的条件是其正向通路的传递函数严格正实，反馈通路的非线性环节满足Popov积分不等式。因此，用Popov超稳定性理论重新设计MRAC系统，包括如下四步：(1) 将模型参考自适应系统变换为由两个环节组成的等价反馈系统，线性环节位于正向通路，非线性环节位于反馈通路。(2) 设计反馈通路的自适应规律，使等价反馈系统的非线性反馈环节满足Popov积分不等式。(

44、3) 设计正向通路的自适应规律，使正向环节的传递函数严格正实。(4) 返回到原先的MRAC系统，汇总自适应律。现在按上述四个步骤解决这个设计问题。1. 等价非线性反馈系统广义状态误差矢量满足微分方程 (4.5.7)假设完全模型跟随问题的解存在402，也就是说存在和，使得当，时，参考模型和可调系统达到完全匹配，即 (4.5.8) (4.5.9)将(4.5.8)式、(4.5.9)式代入(4.5.7)式得 (4.5.10)我们在系统正向通路设置一个线性补偿器，其输入输出关系为 (4.5.11)矩阵是按照使前向线性环节为严格正实所需满足的特殊要求选定，因此，线性补偿器应是自适应机构的一部分。 (4.5

45、.5)式和(4.5.6)式、(4.5.10)式以及(4.5.11)式一起组成一个等价反馈系统 (4.5.12) (4.5.13) (4.5.14)式中 (4.5.15) (4.5.16) (4.5.12)式(4.5.14)式所描述的等价反馈系统能够分离为一个由(4.5.12)式、(4.5.13)式描述的线性定常正向环节和一个由(4.5.14)式描述的非线性时变反馈环节，图4.5.3所示即为等价非线性反馈系统结构框图。图 4.5.3 等价非线性时变反馈系统2. 使等价非线性时变反馈环节满足Popov不等式寻找的解，使得等价非线性反馈环节满足Popov不等式 (4.5.17)式中是一个任意的正数。

46、通过找到这些解，就能够把由(4.5.12)式(4.5.14)式所描述的一个渐近稳定反馈系统的设计问题转化为一个超稳定性问题。利用(4.5.14)式给出的表达式，不等式(4.5.17)可以转换为 (4.5.18)为满足不等式(4.5.18)，只要不等式左边两项的每一项都满足同一类型的不等式就足够了，为此，进而将(4.5.18)式转变为如下等价形式 (4.5.19)式中 (4.5.20a) (4.5.20b) (4.5.20c) (4.5.20d)可见，不等式(4.5.19)成立的充分条件为 (4.5.21a) (4.5.21b) (4.5.22a) (4.5.22b)式中为任意正数。鉴于不等式(

47、4.5.21)与不等式(4.5.22)在形式上相同，所以求出不等式(4.5.21)的解便可以类似地推出不等式(4.5.22)的解。先求出不等式(4.5.21a)的解。为此，将矩阵函数和常数矩阵分解为列向量：利用这个分解，不等式(4.5.21a)可以表示为 (4.5.23)使不等式(4.5.23)满足的充分条件是：不等式(4.5.23)左边项的每一项满足同样类型的不等式，因此上述问题又被简化为寻找满足不等式 (4.5.24)的矢量函数(式中是一任意正数)，满足如下条件(该条件保证自适应机构是有记忆的)常数 (4.5.25)为求解不等式(4.5.24)的解，给出如下数学基础知识。定义4.5.1 （正定积分核）一个方阵,如果在任意时间区间上，对该区间中的所有分段连续向量函数，若 (4.5.26)则称为正定积分核。积分可看作输入为的某个环节的输出。因此就可看作该环