全国2013年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题与答案解析

1、全国2013 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，at表示矩阵 a的转置，t 表示向量a的转置，e表示单位矩阵，|a|表示方阵 a的行列式，a-1 表示 方阵 a的逆矩阵，r(a)表示矩阵 a的秩.选择题部分注意事项：1答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2每小题选出答案后，用 2b 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)在每小题列出的四个备选项中只有一

2、个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、涂或未涂均无分。1设 a , b 为同阶方阵，则必有（d）a| a + b |=| a | + | b |b ab = bac ( ab)t = at btd| ab |=| ba | ab |=| a | b |=| ba | 2设 n 阶方阵 a , b , c 满足 abc = e ，则必有（c）a acb = eb cba = ec bca = ed bac = eabc = e Þ bc = a-1 Þ bca = a-1 a = e 3设 a 为三阶方阵，且| a |= 2 ，则| -2 a |=

3、 （a）a -16b - 4c4d16| -2 a |= (-2)3 | a |= -8 | a |= -16 4若同阶方阵 a 与 b 等价，则必有（c）nna| a |=| b |b a 与 b 相似c r( a) = r(b)d å iiå iia =b=1i =1i5设a1 = (1,0,0) ,a2 = (2,0,0) ,a3 = (1,1,0) ，则（c）aa1 ,a2 ,a3 线性无关ba3 可由a1 ,a2 线性表示ca1 可由a2 ,a3 线性表示da1 ,a2 ,a3 的秩等于 3多第 2页a = 1a + 0a12 23 ，a1 可由a2 ,a3 线性

4、表示6设a1 ,a2 是非齐次方程组 ax = b 的解， b是对应齐次方程组的解，则 ax = b 一定有一个解是（d）12aa1 + a2ba1 - a2c b+ a1 + a2d 3a1 + 3 a2 - bæ 12ö121212aç a1 + a2 - b÷ =aa1 +aa2 - ab=b +b - 0 = b a +è 33ø3333， 3 13 a2 - b是 ax = b 的解é2 0 0ùl = ê0 0 0úêú7若 3 阶方阵 a 与对角阵ë&

5、#234;0 0 3úû 相似，则下列说法错误的是（b）a| a |= 0b| a + e |= 0c a 有三个线性无关特征向量d r( a) = 2已知 a 的特征值是 0,2,3 若 | a + e |= 0 ，则 -1是 a 的特征值，矛盾8齐次方程 x1 + x2 - x3 = 0 的基础解系所含向量个数是（c）a0b1c2d3n - r = 3 -1 = 2 9若a= (1,1, t) 与 b= (1,1,1) 正交，则 t = （a）a - 2b -1c0d1内积 2 + t = 0 ， t = -2 é21ùa = ê12

6、50;10对称矩阵ëû 是（）a负定矩阵b正定矩阵c半正定矩阵d不定矩阵21d2 = 3 > 0d1 = 2 > 0 ，12， a 是正定矩阵非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11设 a , b 均为三阶可逆方阵，且| a |= 2 ，则| -2b-1 a2 b |= -32| -2b-1 a2 b |= (-2)3 | b-1 | a2 | b |= -8 | b |-1| a |2 | b |= -8 | a |2 = -8 ´ 22

7、= -32 12四阶行列式中项 a21a32 a13 a44 的符号为 正行标按自然数顺序排列为 a13a21a32a44 ，列标的逆序数为 2 ，符号为正本题超出教材范围é 1-1ùa = êú13设ë-12 û ，则 a 的伴随阵 a* = *é2 1ùa = êúë1 1ûé1 2 1ùa = ê0 2 3úêú14设êë1 0 t úû ，且 r( a) = 2 ，则

8、t = 1é1 2 1ùé1 21 ùa = ê0 2 3ú ® ê0 23 úêúêúêë1 0t úûêë0 0 t -1úû ， r( a) = 2 ，则 t = 115设三阶方阵 a = a1 ,a2 ,a3 ，其中ai 为 a 的列向量，且| a |= 3 ，若 b = a1 ,a1 + a2 ,a1 + a2 + a3 ，则| b |= 3| b |= | a |= 3 &#

9、236;x1 + x3 = 0í16三元方程组 îx1 - x2 = 0 的通解是 ìx1 = -x3æ-1öïç÷é101ùé101 ùé10 1ùíx2 = -x3kç-1÷ a = êú ® êú ® êúï ç÷ë1 -1 0ûë0-1 -1ûë01 1

10、1; ， îx3 = x3 ，通解是 è 1 ø ， k 是任意常数é 21ùa = êú17设ë- 1 4û ，则 a 的特征值是 3，3l- 2-1| le - a |= l2 - 6l+ 9 = (l- 3)21l- 4， a 的特征值是 3,3 18若三阶矩阵 a 的特征值分别为1,2,3 ，则| a + 2e |= 60a + 2e 的特征值分别为 3,4,5 ，| a + 2e |= 3´ 4 ´ 5 = 60 é2a = ê0êê&

11、#235;00010ùé21úúb = ê0ê0100 ù0 ú19若xúû 与êë0ú- 1úû 相似，则 x = 0第 3页a 与 b 相似，则 tr( a) = tr(b) ，即 2 + 0 + x = 2 +1 -1， x = 0 é 1- 1ùa = êú20实对称矩阵ë- 11 û 的正交相似标准形矩阵是 l-11é00ù| le - a |= l(l-

12、2)êú1l-1， a 的特征值是 0,2 ， a 的正交相似标准形矩阵是 ë02û 三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21计算四阶行列式1234- 1234- 1 - 234- 1 - 2 - 3 4解：1234-1234-1 - 234-1 - 2 - 3 4=1 2 3 40 4 6 80 0 6 80 0 0 8= 1´ 4 ´ 6 ´ 8 = 192é215 ùa = ê04- 2úêú22设êë4- 31

13、úû ， b 是三阶方阵，且满足 ab - a2 = b - e ，求 b 1151153- 2| a - e |= 03- 2 = 03- 2 = -74 ¹ 0- 7- 20解：因为4 - 300 - 7- 20，所以 a - e 可逆，é315 ùa + e = ê05- 2úêú由 ab - a2 = b - e ，得 ab - b = a2 - e ， ( a - e)b = ( a - e)( a + e) ， b =êë4 - 32 úû 23设a1

14、= (1,1,2,3) ,a2 = (1,-1,1,1) ,a3 = (1,3,3,5) ,a4 = (4,-2,5,6) ,a5 = (-3,-1,-5,-7) ，试求向量组a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5的秩和一个极大无关组é1114- 3ùé1114- 3ùêúêúat ,at ,at ,at ,at = ê1 -1 3 - 2-1ú ® ê0 - 2 2 - 62 ú12345ê2135- 5úê0-1 1 - 31 

15、50;êúêú解：ë3156- 7ûë0 - 2 2 - 62 ûé1114- 3ùé1 114 - 3ùé1 0 2 1 - 2ùêúêúêú® ê0 - 2 2 - 62 ú ® ê0 1 -1 3 -1ú ® ê0 1 -1 3 -1úê00000 úê0 0000 

16、50;ê0 0 0 00 úêúêúêúë00000 ûë0 0000 ûë0 0 0 00 û ，向量组的秩是 2，a1,a2 是向量组的一个极大无关组第 4页ìx1 - x2 + 3x3 + 2x4 = 3ïí2x1 - x2 + 2x3 - x4 = 2ï24设四元方程组 îx1 - 2x2 + 7x3 + 7x4 = t ，问 t 取何值时该方程组有解？并在有解时求其通解é1-1323&#

17、249;é1-1323 ùé1-1323 ù a, b = ê2-12-1 2ú ® ê01- 4- 5- 4 ú ® ê01- 4- 5- 4 úêúêúêú解：êë1- 2 77t úûêë0-145t - 3úûêë0000t - 7úû ，t = 7 时， r( a, b) = r( a)

18、= 2 ，该方程组有解，此时ìx1 = -1+ x3 + 3x4ïé1 -1323 ùé1 0-1- 3-1ùïx2 = -4 + 4x3 + 5x4® ê01- 4 - 5 - 4ú ® ê0 1 - 4 - 5 - 4úíx =xêúêúï 33 a, bêë00000 úûêë0 0000 úû ， ïî

19、;x4 =x4 ，æ -1 öæ 1 öæ 3öç÷ç ÷ç ÷ç- 4÷ç 4÷ç 5÷ç 0 ÷ + k1ç 1 ÷ + k2 ç 0÷ç÷ç ÷ç ÷ç÷ç ÷ç ÷该方程组通解为 è 0 øè 0

20、48;è 1ø ， k1, k2 是任意常数é- 1 - 4ùé- 1 0ùp = ê 11 úd = ê 02ú-1525设矩阵ëû ，ëû ，矩阵 a 由矩阵方程 p ap = d 确定，试求 a p-1 = 1 p* = - 1 é 14 ù = 1 é-1 - 4ùêúêú解：| p |3 ë-1 -1û3 ë 11 û ， a

21、= pdp-1 ，5= 1 é-1 - 4ùé-1 0ù é-1 - 4ùa5 = (pdp-1 )(pdp-1 )(pdp-1 )(pdp-1 )(pdp-1 ) = pd5 p-13 ê 11 úê 02ú ê 11 úëûëû ëû= 1 é-1 - 4ùé-10 ùé-1 - 4ù = 1 é 1-128ùé-1 - 4

22、ù = 1 é-129-132ù3 ê 11 úê 032úê 11 ú3 ê-132 úê 11 ú3 ê 3337 úëûëûëûëûëûëû 26求正交变换 x = py ，化二次型 f (x1 , x2 , x3 ) = -2x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 为标准形é 0-1 1ùa

23、= ê-101úêú解：二次型的矩阵为êë 110úû ，l1-1l1-1l 1 -1l2-1| le - a |= 1l -1 = 1l-1 = (l-1) 1 l -1 = (l-1) 1 l+ 1 -1-1 -1 l0 l-1 l-1011001l2= (l-1)= (l-1)(l2 + l- 2) = (l+ 2)(l-1)21l+1， a 的特征值为l1 = l2 = 1 ， l3 = -2 对于l1 = l2 = 1 ，解齐次线性方程组 (le - a)x = 0 ：第 5页é 11-1

24、49;é11-1ùìx1 = -x2 + x3æ-1öæ 1öle - a = ê 11-1ú ® ê000 úïx = xa = ç 1 ÷a = ç 0÷êúêúí 221ç÷2ç ÷êë-1 -11 úûêë000 úû ， ïx =x ，&#

25、231; 0 ÷ ，ç 1÷ ，î 33èøè øæ-1öæ 1öæ-1öæ1/ 2öa = ç 1 ÷b =a - (a2 ,b1 ) b = ç 0÷ - - 1 ç 1 ÷ = ç1/ 2÷1ç÷22| b |21ç ÷2 ç÷ç÷ç÷1ç &

26、#247;ç÷ç÷正交化： b1 =è 0 ø ，è 1øè 0 øè 1 ø ，æ-1öæ1/ 2öæ 1 ö11 ç÷12 ç÷1 ç ÷ p1 = | b | b1 =ç 1 ÷p2 = | b | b2 =ç1/ 2÷ =ç 1 ÷ 12 ç÷26 ç÷6 ç ÷单位化：è 0 ø ，è 1 øè 2ø ；l1-11l -1对于 l3 = -2 ，解齐次线性方程组 (le - a)x = 0 ： -1 -1 lé- 21-1ùé10 1ùìx1 = -x3æ-1öle - a = ê 1- 2-1ú ® ê0 1 1úïx = -xa = ç- ÷êú