综合除法与余数定理

1、综合除法与余数定理【内容综述】数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步 骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念， 可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种 运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地， 整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简 化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的 运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的 综合除法运算方法。【要点讲解】1、综合除法在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的 问题。由多项式除法我们可以推得(此处用表示关 于x的多项式)除以工-3的商式系数和余数有如下规律： 商式的最高次项系数

2、就是(按降幕排列后)的第一项 系数，把这个数乘以b加的第二项系数得商式的次高 次项系数，以此类推最后得余数。例 1 计算(3 + 5j _2)+3 + 3)分析把除式变成二-3形式用综合除法，解：. x + 3 = x _(_3),-3350-29+12-631 +1|2 |-38 余式商式为3/" + 12,余式为-38说明用综合除法计算时要注意：(1) 被除式与除式按降幕排列后的缺项要用0补足；(2) 除式要变成x"的形式(b可以是负数) 例2用综合除法计算()(8/ - 2x + %4 _ 14) +(x + 1).(2) (2/ + 5/ -24? -15)-5-(

3、2x-1)解：(1 ) 8x2 -2x + x4 -14 = x4 + 0-? +8x2 -2x-141+0+82-14-1+ 1-9+ 111-1+9-11-3-1.商式为尸-"9工-11,余式为-339(2)用(2xt)除(2/+5/- 24/+15),只需先以"一歹除 以-5妒-2/+15),再把求得的商用2除，而余数不变。2+5-24k）-卜152121+1+32421392+6-21+ 2421211 +324212余式为4 o士、?+3x2-x-商式为 24 ,说明一般地，多项式除以一次二项式 次±9,用综合除 法先将多项式除以一，所得的商式除以p就是

4、所求的商 式，所得的余数就是所求的余数。2、余数定理若多项式千(x)除以二-3的商式为p (x),余数为r, 则 /(x) = (x-i)/>(x) + r当x = 8时，仰)"p+r = r (此处/表示多项式中x用 数值b代入后计算出的数值)，从而有下面的定理。余数定理 多项式除以(工菲)所得的余数等于六切。特别地，当了0)=°时，我们称多项能被二-3整除，即 (工-3)是t/x)的因式，这也称为因式定理。由余数定理易知多项式除以乂"0)的余数就是 =兰,a* £的多项式w(x)的值八w。余数定理告诉我们，可以不做除法求为)除以x-3的余 数；

5、反过来在/计算复杂时也可以用综合法求/。 例3 一个关于x的二次多项式/，它被(工t)除余2,它被(工一3)除时余28,它还可被("1：整除，求/。如(1)=白 + 3 + ° = 2, j /(3)=沁 + 先 + 匕=2& 解：设川)=折+版+ c由题意得"t)=白-人= 0, 解得 a=3, b=1, c=2o/. / w = 3x2 +x-2说明 因/能被("1)整除，所以("1)是/的因式，于 是可设为)=("1)(狱+合),再由了(1) = 2, /(3)=28,列出a, b的 方程求解。 例4利用余数定理判断a*

6、 -bx能否被a-b, a+b 整除。分析 含贝)7-职,即把妒-寸看成是含字母a的多项式 /(白)，要判断能否被a-b, a+b整除，即判断伐),/(-幼 是否为零。解：令了 6二，项0，当n为偶数; -&l当n为奇数当a二b时，/0)=矿-驴=0,故f(a) = ax-bx能被a-b整除；/(-3)=(-矿-尹=当a二-b时，故当n为偶数时，妒-胪能被a+b整除，当n为奇数时, 妒-廿不能被a+b整除，余式为-2旦 例5试确定a和b,使/ +物一& + 2能被/ + 3"2 整除。解：由于/+3" 2 = ("l)(x+2),因此，若设/ 0)

7、 = + 敬2 _ 版 + 2 假如川)能被，+3x + 2整除,则x+1和x+2必是。的因 式，因此，当x=-1,六t)=°,即l + z + b + 2 = 0,当 x二-2 时，/(-2) = 0，即16 + 4口 + 28 + 2 = 0(2)(a = -6由，联立，则得u = 3时，次+2能被/+3"2整除。【同步达纲练习】a 级 1、当多项式¥-2除以多项式/-2时，其余式为()o(a) 2(b) -2(c) 2x-2(d)-2x-2 2、多项2x3 + 3x-4除以多项式x-3所得余数为()o(a) -71(b) 71(c) -59(c)59 3、若

8、多项式/+秫/+忽工-16含有因式xt 和x-2,则mn =° 4、求(矽+与工侦一计一裁丁+腮方)除以(3工一2丁)的商式 和余式。b 级 5、-ilx = l2 - 22 + 32 -42 + 52 19882 + 1989 以 1991 除x,所得余数是()。(a) 0(b) 1(c) 2(d) 4 6、已知(3"1)5 =a/+狎 &尸 + 护+" + /,则a-b+c-d+e-f 值为()。(a) 30(b) -30(c) 32(d) -32 7、如果 x3-?+x-2 = 0,则/+2/_2/+人-1 = 8、已知3 +少一2)是二元二次式/

9、+敬 +切2 -5"少+ 6的一个因式，则a+b二o 9、已知尸-6/ +林+ 3能被(工-1)(工-3)整除，试求 a, b的值。参考答案【同步达纲练习】a 级1、(c) 02、(d),提示：利用余数定理。3、-100,提示：利用余数定理，得1 +沈 + 心-16 = 0,16 + 就 + 2心-16 = 0,从而由二-5, n二20。4、商式二+2/,余式=-4/b 级5、(b),提示：x = l + (-22 +32) + (12 + 52) + -"+(-19882 +19892)=1 + (2+ 3)+(4+ 5)+ (1988+ 1989)= 1 + (2 +3 + 1989)= 1 + 994x19916、(c),提示：含、= t,得-+b-c + d-e + f = (-2)5 =32, 昌 p 仅一 8 + t d + o/ =32。7、5,提示，/ + 2/ - 2 j + x -1 = x4 -x3+x2 - 2x + 3x3 - 3x2 + 3工 - 6 + 5 二心3- / + 二_2)+3(/- / +工-2)+5 = 5。8、-3,提示：含x=y=1,则原式为零，即l + a + 力 一