选做专题(一)——常见的参数方程

1、精品资料欢迎下载选做专题（一）常见的参数方程【要点梳理】(1) 直线的参数方程若直线过 (x0，y0) ， 为直线的倾斜角，则直线的参数方程为xx0 tcos ，(t 为参数 )，其中参数 t 的几何y y0 tsin 意义是直线上定点 P0 到动点 P 的有向线段 P0P 的数量，若动点P 在定点 P0 的上方，则 t>0；若动点 P 在定点 P0的下方，则t<0；若动点P 与定点 P0 重合，则 t 0.定点 P0 到动点 P 的距离是 |P0P| |t|.(2) 圆的参数方程若圆心在点 M0 (x0， y0)，半径为 r，则圆的参数方程为x x0 rcos ，(为参数 )y

2、y0 rsin x2y2x acos ，(3) 椭圆 a2 b2 1(a>b>0)的参数方程为y bsin (为参数 )x2y2xa，(4) 双曲线 a2 b2 1(a>0， b>0)的参数方程为cos (为参数 )y btan (5) 抛物线 y2 2px(p>0)的参数方程为x 2pt2，(t 为参数 )y 2pt【利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题】经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos ，(t 为参数 )若 A，B 为直线 l 上两点，y y0 tsin 其对应的参数分别为 t1， t2，线段 AB 的中点为 M，

3、点 M 所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t1 t2； (2)|PM| |t0 |t1 t2； (3)|AB| |t2t1|； (4)|PA| |PB|·|t1·t2|.(1) t022注意： 直线的参数方程中，参数 t的系数的平方和为1 时， t 才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M (x， y)到 M0(x0， y0)的距离，即 |M0M| |t|.21 (2014 ·苏，江21C，10 分，易 )在平面直角坐标系xOy 中，已知直线x 1 2 t，l 的参数方程为(t 为参数 )，2y 2 2 t直线 l 与抛物线 y2 4x 相

4、交于 A，B 两点，求线段AB 的长精品资料欢迎下载3x 5 2 t，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，2 (2015 湖·南 )已知直线 l：(t 为参数 )，以坐标原点为极点，1y3 2t曲线 C 的极坐标方程为 2cos .(1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设点 M 的直角坐标为 (5， 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B，求 |MA | |MB|·的值x 14cos 3 (2016 ·北三校联考东 )已知在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为(为参数 )，直线 l 经过y 2 4sin 定点 P(3，5) ，倾斜

5、角为3 .(1) 写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；(2) 设直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求 |PA| ·|PB|的值精品资料欢迎下载4 (2016·西忻州一模山)在直角坐标平面内，直线l 过点P(1，1)，且倾斜角4 .以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin.(1) 求圆 C 的直角坐标方程； (2) 设直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求 |PA| ·|PB|的值5(2016 贵·州六校联考 )在直角坐标系中， 以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

6、已知曲线 C：sin22x 2 2 t， 2acos (a>0)，过点 P( 2， 4)的直线 l ：(t 为参数 )与曲线 C 相交于 M， N 两点2y 42 t(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若 |PM |， |MN |， |PN|成等比数列，求实数 a 的值6 (2014 安·徽 )以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的xt 1，长度单位已知直线l 的参数方程是(t 为参数 )，圆 C 的极坐标方程是4cos ，求直线l 被圆 C 截yt 3得的弦长精品资料欢迎下载7 (2015 湖·

7、北， 16，中 )在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l 的x t1，极坐标方程为 (sin 3cos )0，曲线 C 的参数方程为t(t 为参数 )，l 与 C 相交于 A，B 两点，求1y t t|AB |8 (2014·建福 )已知直线l 的参数方程为x a 2t，y 4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为x 4cos y 4sin， (为参数 )(1) 求直线l 和圆C 的普通方程；(2) 若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围x2y2x2 t，9 (2014 课·标 ) 已知曲线 C： 4 9 1，直线 l：

8、 y2 2t(t 为参数 )(1)写出曲线 C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值精品资料欢迎下载选做专题（一）常见的参数方程答案解析【要点梳理】(1) 直线的参数方程若直线过 (x0，y0) ， 为直线的倾斜角，则直线的参数方程为xx0 tcos ，(t 为参数 )，其中参数 t 的几何y y0 tsin 意义是直线上定点 P0 到动点 P 的有向线段 P0P 的数量，若动点P 在定点 P0 的上方，则 t>0；若动点 P 在定点 P0的下方，则t<0；若动点P

9、与定点 P0 重合，则 t 0.定点 P0 到动点 P 的距离是 |P0P| |t|.(2) 圆的参数方程若圆心在点 M0 (x0， y0)，半径为 r，则圆的参数方程为x x0 rcos ，(为参数 )y y0 rsin x2y2x acos ，(3) 椭圆 a2 b2 1(a>b>0)的参数方程为y bsin (为参数 )x2y2xa，(4) 双曲线 a2 b2 1(a>0， b>0)的参数方程为cos (为参数 )y btan x 2pt2，(t 为参数 )(5) 抛物线 y2 2px(p>0)的参数方程为y 2pt【利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题

10、】经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos ，y y0 tsin (t 为参数 )若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 t1， t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t1 t2； (2)|PM| |t0 |t1 t2； (3)|AB| |t2t1|； (4)|PA| |PB|·|t1·t2|.(1) t022注意： 直线的参数方程中，参数 t的系数的平方和为1 时， t 才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M (x， y)到 M0(x0， y0)的距离，即 |M0M

11、| |t|.21 (2014 ·苏，江21C，10 分，易 )在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为x 1 2 t，(t 为参数 )，2y2 2 t直线 l 与抛物线 y2 4x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长2x 1 2 t，2222解： 将直线 l 的参数方程2代入抛物线方程y 4x，得 2t4 1t ，22y 22 t解得 t1 0， t2 8 2. 所以 AB |t1 t2| 8 2.32 (2015 湖·南 )已知直线 l：x 5 2 t，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，(t 为参数 )，以坐标原点为极点，1y32t曲线 C 的极坐标方

12、程为 2cos .(1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；精品资料欢迎下载(2) 设点 M 的直角坐标为 (5，3)，直线 l 与曲线 C 的交点为A， B，求 |MA | |MB|·的值2222， cos x 代入 ，解： (1) 2cos 等价于 2cos .将 xy即得曲线 C 的直角坐标方程为x2 y2 2x 0.3x 5 2 t，(2) 将代入 ，得 t2 5 3t 18 0.1y3 2t设这个方程的两个实根分别为t1， t2，则由参数 t 的几何意义即知，|MA |· |MB | |t1t2| 18.x 14cos 3 (2016 ·北三校联

13、考东 )已知在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (为参数 )，直线 l 经过y 2 4sin 定点 P(3，5) ，倾斜角为3 .(1) 写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；(2) 设直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求 |PA| ·|PB|的值1解： (1) 曲线 C 的标准方程为 (x1) 2 (y 2)2 16， 直线 l 的参数方程为x 32t，(t 为参数 )3y 5 2 t(2) 将直线 l 的参数方程代入圆C 的标准方程可得t2 (2 3 3)t 3 0，设 t1， t2 是方程的两个根，则t1t2 3，所以 |PA| ·|

14、PB|t1|t2|t1 t2| 3.4 (2016 山·西忻州一模 )在直角坐标平面内，直线l 过点 P(1，1)，且倾斜角 4 .以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin .(1) 求圆 C 的直角坐标方程；(2) 设直线 l 与圆 C 交于 A，B两点，求 |PA| ·|PB|的值22222解： (1) 4sin ， 4sin ，则 x y 4y 0，即圆 C 的直角坐标方程为x y 4y 0.2(2) 由题意，得直线 l 的参数方程为x 12 t，(t 为参数 )2y 12 t2222222将该方程代入圆C 的方程

15、 x y 4y 0，得 1 2 t1 2 t 41 2 t 0，即 t2 2， t12， t22.即 |PA| ·|PB| |t1t2| 2.已知曲线 C：sin25(2016 贵·州六校联考 )在直角坐标系中， 以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，2x 2 2t， 2acos (a>0)，过点 P( 2， 4)的直线 l ：(t 为参数 )与曲线 C 相交于 M， N 两点2y 4 2 t(1) 求曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2) 若 |PM |， |MN |， |PN|成等比数列，求实数a 的值x cos ，解： (1) 把代入

16、sin2 2acos ，得 y2 2ax(a>0)，y sin 精品资料欢迎下载2由x 2 2t，2(t 为参数 )，消去 t 得 x y2 0，y 42t曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y22ax(a>0)， x y 2 0.2x 22 t，2(4 a)t 8(4 a) 0.(2) 将(t 为参数 )代入 y2 2ax，整理得 t2 22y 42 t设 t1， t2 是该方程的两根，则t1 t2 22(4 a)， t1·t28(4 a)， |MN |2 |PM | ·|PN |， (t1 t2)2 (t1 t2)2 4t1·t2 t

17、1·t2， 8(4a) 2 4× 8(4 a) 8(4 a)， a1.6 (2014 安·徽 )以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l 的参数方程是xt 1，(t 为参数 )，圆 C 的极坐标方程是 4cos ，则直线 l 被圆 C 截yt 3得的弦长为 ()A.14B 214C. 2D2 2【答案】 D知，直线 l 的直角坐标方程为x y 4 0，圆 C 的直角坐标方程为x2 y2 4x，即 (x 2)2 y2 4.圆心 (2， 0)到直线 x y 4 0 的距离为d|2 0 4|22，弦长为 22

18、24（ 2）2 2.1 （ 1）7 (2015 湖·北， 16，中 )在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l 的x t 1，极坐标方程为 (sin 3cos )0，曲线 C 的参数方程为t(t 为参数 )，l 与 C 相交于 A，B 两点，则1y t t|AB | _x t1，xy 2t，【解析】由题可知直线l 为 y 3x.又 t2 y2 x2 4.1 ，y x . tytt联立 得 8x2 4， x ± 2.A， B 两点坐标为2，3 2， 2，3 2，22222AB（）2（32） 22025.|28 (2014 福·建 )已知直线 l 的参数方程