大学物理课件：10-1 简谐振动

1、1 振动和波动狭义上 具有时间周期性的运动振动广义上 任何复杂的非周期性运动可以分解为一系列不同频率简谐振动的叠加可以分解为频率连续分布的无限多简谐振动的叠加振动的类型机械振动，电磁震荡，分子振动，原子振动等波动振动在空间的传播波动的类型声波水波 地震波 等光波 无线电波微波等机械波电磁波物质波等电子波等光波一定波段的电磁波（横波），具有干涉衍射和偏振等波动特有性质，在现代科技和生活中具有广泛应用。任何一个物理量在某个定值附近的反复变化.2第十章第十章 机械振动和电磁振荡机械振动和电磁振荡机械振动 物体在一定位置附近所作的来回往复运动. 如弹簧振子钟摆秋千发声体等的运动.电磁振荡 电路中电压和

2、电流在某个定值附近的反复变化, 具有振动的共性. KCLII 我们把振动分为周期性准周期性和非周期性运动,本章主要讨论周期性准周期性振动.3 1. 1. 什么是简谐振动？什么是简谐振动？ 2. 2. 谐振动体系的受力情况、运动微分方程、运谐振动体系的受力情况、运动微分方程、运 动表达式有何特点？动表达式有何特点？ 3. 3. 如何判断运动体系所作的运动为简谐振动？如何判断运动体系所作的运动为简谐振动？ 4. 4. 如何确定振动频率及周期？如何确定振动频率及周期？ 5. 5. 如何确定运动表达式中的振幅和初相位？如何确定运动表达式中的振幅和初相位？ 6. 6. 同相及反相的定义同相及反相的定义

3、7. 7. 孤立谐振动系统的能量有何特点？孤立谐振动系统的能量有何特点？10-1 10-1 简谐振动简谐振动周期性准周期性和非周期性振动可以分解为一系列不同频率或无限多连续分布频率的简谐振动的叠加.4以光滑台面上以光滑台面上弹簧振子的振动为例弹簧振子的振动为例弹簧振子体系：弹簧振子体系：轻质弹簧轻质弹簧+ +物体物体物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力及惯性两个因物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力及惯性两个因素互相制约下，不断做周期性往复运动。素互相制约下，不断做周期性往复运动。平衡位置：平衡位置：振动物体所受振动物体所受合外力为零的位置合外力为零的位置.kmox1.简谐简谐振动的特征及其表达式

4、振动的特征及其表达式简谐振动简谐振动(谐振动谐振动) ： 物体运动时，离开平衡位置的位移物体运动时，离开平衡位置的位移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。振动的条件振动的条件: :（1 1）存在）存在弹性恢复力弹性恢复力；（；（2 2）物体具有）物体具有惯性惯性5xFvvF -AAx=0F=0弹弹簧簧振振子子的的振振动动6oxkxF由牛顿定律：由牛顿定律：弹簧振子的角弹簧振子的角( (圆圆) )频率频率km= 小幅振动（弹性限度内）时弹性力满足胡克定律（物小幅振动（弹性限度内）时弹性力满足胡克定律（物体所受的弹性力体所受的弹性力F F

5、与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的位移位移x x成正比成正比而方向相反而方向相反）：）：22d xkxmamdt Fkx 022 xmkdtxd2令令2mk7简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程简谐振动的运动学特征式简谐振动的运动学特征式其通解为：其通解为：xAtAtAt000cos()sin()sin()2 0222 xdtxd 可见，弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位可见，弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦或正弦函数关系随时间变化，因此其运动为移按余弦或正弦函数关系随时间变化，因此其运动为简谐振动简谐振动。 推论：如果物体受到推论：如果物体受到始终

6、指向平衡位置的始终指向平衡位置的线性回线性回复力复力（大小与物体对其平衡位置的位移成正比而方向（大小与物体对其平衡位置的位移成正比而方向相反）的作用，则该物体做相反）的作用，则该物体做简谐振动简谐振动。Fkx 简谐振动的动力学特征式简谐振动的动力学特征式简谐振动简谐振动的表达式的表达式8mmdxvAtdtvtvt000sin()sin()cos(2) md xaAtdtat22020cos()cos() 其中其中AaAvmm2 ,称为速度幅值和加速度幅值。称为速度幅值和加速度幅值。A)(tx2A A 简谐振动的速度、加速度简谐振动的速度、加速度0cos()：xAt 由由得得o2T23T2T速度

7、速度vT速度速度和加速度和加速度也是简谐振动也是简谐振动, , v比比x领先领先 /2,/2,a与与x反相反相加速度加速度ao2TT23T2TTA)(tx9振幅振幅A和初相和初相 0决定于体系的初始条件：决定于体系的初始条件：设设t = 0时，物体的初位移为时，物体的初位移为x0，初速度为，初速度为v0，则有，则有 0000cos,sinxAA 2200Ax000()varctgx 解得：解得：在在- 到到 + 之间之间， 0 通常存在两个值，需要结合通常存在两个值，需要结合x0 和和v0 的的正负来取舍。正负来取舍。0dxvAtdt0sin() 0cos(),xAt 100cos()xAt2

8、 2. .简谐简谐振动的振幅、周期、频率和相位振动的振幅、周期、频率和相位xtoA-AT (1) (1) 振幅振幅A简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值. .(2) (2) 周期周期和频率和频率周期周期T：完成一次完整振动所需的时间完成一次完整振动所需的时间. .1112Tkm 22mTk 112kTm T （ ， ）只决定于振动系统本身的性质，因此称之为只决定于振动系统本身的性质，因此称之为固有周期（角频率，固有周期（角频率，频率频率）。对弹簧对弹簧振子振子：00cos()cos()xAtTAt频率频率 ( f ): 单位时间内物体所作的完

9、整振动的次数单位时间内物体所作的完整振动的次数. .12(3) (3) 相位相位 t + 0和初相和初相 0(a)(a)决定振动物体在任一时刻的运动状态；决定振动物体在任一时刻的运动状态；(b)(b)反映振动周期性特点反映振动周期性特点; ; 在在一个周期一个周期0T时间时间内，相位从内，相位从0 0-2-2 变化，变化，不同时不同时 刻刻t t的相位不同，运动状态也不同；的相位不同，运动状态也不同； 凡凡位置和速度位置和速度相同的运动状态，其对应的相位差相同的运动状态，其对应的相位差2n2n (c) 可以比较两个振动在步调上的差异可以比较两个振动在步调上的差异. . 相位是反映周期性特点，并

10、用来描述运动状态（位相位是反映周期性特点，并用来描述运动状态（位置和速度置和速度)的重要物理量的重要物理量:13设两个同频率的简谐振动分别为设两个同频率的简谐振动分别为1110cos()xAt 2220cos()xAt 任意时刻它们的任意时刻它们的相位差相位差为：为：2010 两个振动两个振动步调相同步调相同, , 同相同相. .当当= 2k , (k=0, 1, 2,)t位移位移x2x1xo2TT23T2T14当当= (2k+1) , (k =0, 1, 2,)，tx2x1位移位移xo2TT23T2TT当当为任意值时，为任意值时，两个振动两个振动步调相反步调相反 , 称称反相反相。位移位移x

11、to2TT23T2Tx2x10 若若0 若若称称x2落后落后x1 1 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大,称称x2 超前超前x1 1 15vavaxxtoT加速度加速度a 与与x 位移反相位移反相, 速度速度v超前位移超前位移x2 相位也可以用来比较相位也可以用来比较不同物理量变化的步调不同物理量变化的步调，对，对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在于简谐振动的位移、速度和加速度，存在: :16其其端点端点MM作匀速圆周运动作匀速圆周运动, , 在在x轴上的轴上的投影点投影点的的位移位移x=Acos( t+ 0)，因此，因此投影点投影点作简谐振动作简谐振动 。如图为旋转矢量如图为旋

12、转矢量A作逆时针匀速转作逆时针匀速转动动, ,其长度等于振幅其长度等于振幅. .3 3. .简谐简谐振动的矢量图示法振动的矢量图示法两种表示法的对照两种表示法的对照txoxA t+ 0A与与x轴的夹角为轴的夹角为 t+ 0， 0为为t=0时的夹角时的夹角.AM t 0cos()x At M0Ox0 174 4. .简谐简谐振动的指数图示法振动的指数图示法旋转矢量表示法直观形象旋转矢量表示法直观形象, , 是研究振动叠加的简便方法是研究振动叠加的简便方法. .旋转矢量旋转矢量A的长度即简谐的长度即简谐振动的振幅振动的振幅,A的的旋转角速度旋转角速度即谐即谐振动的角频率振动的角频率,A与与x轴的夹

13、角即谐轴的夹角即谐振动的相位振动的相位,t=0时时A与与x轴轴的夹角的夹角即谐即谐振动的初相位振动的初相位.AM t 0cos()x At M0Ox0 简谐简谐振动表式的复指数形式振动表式的复指数形式:tiAex()sin()cos(tiAtAAexti实数部分即为简谐实数部分即为简谐振动表式振动表式.谐谐振动表式指数形式的优点是运算方便振动表式指数形式的优点是运算方便(特别是乘除运算特别是乘除运算).18仍以仍以弹簧弹簧振子为例振子为例振振子子的动能为的动能为2222011sin ()22kEmvmAt 振子的势能为振子的势能为222011cos ()22pEkxkAt 0cos(),xAt

14、 0sin()vAt 5. 谐振动的能量谐振动的能量谐振动的动能和势能是时间的周期性函数。谐振动的动能和势能是时间的周期性函数。可得体系机械能为可得体系机械能为：212kpEEEkA 机械能守恒，机械能守恒，系统的总能量系统的总能量 ，这一结论对，这一结论对于任何简谐系统都成立。于任何简谐系统都成立。2EA 2km ，由：由：19简谐振动系统动能和势能的平均值都等于总能量的一半简谐振动系统动能和势能的平均值都等于总能量的一半. .kd22000200222000111sin ()21cos2()22cos2()1122224TTkTTTEE dtkAttTTtkAdtTtkAkAtdtkATT

15、 20220041d)(cos2111kAttkATdtETETTpp故有：故有：24121kAEEEpk20从图可见，从图可见，动能和势能的变化频率是位移变化频率的动能和势能的变化频率是位移变化频率的2 2倍。孤立倍。孤立谐谐振动系统振动系统体系总能量不随时间改变，体系总能量不随时间改变，机械能守恒。机械能守恒。动能的最大点在平衡位置，最小点在峰值；势能的最大动能的最大点在平衡位置，最小点在峰值；势能的最大点在峰值位置，最小点在平衡位置。点在峰值位置，最小点在平衡位置。xtTEEpEk(1/2)kA20kpEE Et0(1/4)kA221(1)(1)作用力形式：线性回复力作用力形式：线性回复

16、力 F - kx 回复回复力矩力矩 M - K 判别简谐振动的依据判别简谐振动的依据:( (3 3) ) 质点的质点的振动表达式为振动表达式为: :0cos()xAt满足上述任一条件皆可判定为简谐振动满足上述任一条件皆可判定为简谐振动(2) (2) 运动方程为运动方程为: : 0222 xdtxd 6. 简谐振动的动力学计算简谐振动的动力学计算(准弹性力准弹性力)22首先首先分析受力分析受力情况情况由牛顿第二定律写出振动的由牛顿第二定律写出振动的运动方程运动方程，找出，找出 2 2由由初始条件初始条件求振幅求振幅A和初相位和初相位 0写出写出简谐振动表达式简谐振动表达式特别介绍两种最常见的简谐

17、振动求解方法特别介绍两种最常见的简谐振动求解方法:求解步骤求解步骤:(1) 单摆单摆(2) 复摆复摆232222dtdldtsd22ddsintmlmg(1(1Ol mgTsin小幅摆动，小幅摆动，0dd22lgt一根不会伸缩细线一根不会伸缩细线(刚性轻杆刚性轻杆), 上上端固定端固定(与无摩擦铰链连接与无摩擦铰链连接), 下端下端悬挂一个很小重物悬挂一个很小重物, 在竖直平面在竖直平面内小角度来回摆动内小角度来回摆动, 称为称为单摆单摆. 2 2sin-mg22ddst24(2) 复摆复摆Ol mgTlgglT22振动表式为振动表式为tmcos( m和和 由初始条件决定由初始条件决定sin-

18、mg回复力回复力只有在只有在 角很小时角很小时与角位移与角位移 成正比，为准弹性力成正比，为准弹性力.当当 不是很小时不是很小时, 回复力与回复力与sin 成正比，成正比， 由于由于sin，故振动周期，故振动周期增大增大)2sin211(220 mTT一个可绕固定轴一个可绕固定轴O摆动的刚体称为摆动的刚体称为复摆复摆.如图摆的重心如图摆的重心C在在O下方下方, OC = h.25复摆受到对于复摆受到对于O轴的力矩为轴的力矩为sin-mghM 负号表示力矩的方向与负号表示力矩的方向与 角相反角相反. .当摆角很小时当摆角很小时sin则则-mghM 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征设复摆转

19、动惯量为设复摆转动惯量为J, 由转动定律得由转动定律得mghdtd22J2J22mghdtd简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征JmghmghJT22T =长为长为l细杆细杆, 一端为轴，一端为轴，231mlJ gllmgml32222226FGCCBBCBCBFG船舶在水中摇摆船舶在水中摇摆27分析：载流线圈在磁场中受磁力分析：载流线圈在磁场中受磁力矩作用，线圈的法线方向（即磁矩作用，线圈的法线方向（即磁矩方向）与磁场平行时磁力矩为矩方向）与磁场平行时磁力矩为零，线圈处于稳定平衡状态。零，线圈处于稳定平衡状态。例例1 一边长为一边长为l 的正方形线圈载有电流的正方形线圈载有电流I，处在均

20、匀外，处在均匀外磁场磁场B 中，中，B 垂直图面向外，线圈可以绕通过中心的竖垂直图面向外，线圈可以绕通过中心的竖直轴直轴OO转动，其转动惯量为转动，其转动惯量为J。求线圈在平衡位置附。求线圈在平衡位置附近作微小摆动的周期近作微小摆动的周期TBOOI解：设线圈偏离平衡位置时磁矩解：设线圈偏离平衡位置时磁矩与外场的夹角为与外场的夹角为 ，因为磁力矩，因为磁力矩总是使线圈转向总是使线圈转向 减小的平衡位减小的平衡位置，因此为恢复力矩，则：置，因此为恢复力矩，则：m=-sinMP B 28sin当当摆角很小时摆角很小时2mMP BIl B 222JTIl B 根据转动定律根据转动定律:可见微小摆动时，

21、可见微小摆动时，线圈线圈在其平衡位置附近作在其平衡位置附近作简谐振动，简谐振动，振动的园频率和周期分别为：振动的园频率和周期分别为：2220dIl BdtJ 2Il BJ BOOI22dMJJdt 29取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点o o平衡点平衡点0 Vgmg V V为为平衡时平衡时比重计的排水体积。当比重计的排水体积。当偏离平衡点发生位移偏离平衡点发生位移x x 时，合力总时，合力总指向平指向平衡衡位置，为回复力：位置，为回复力：质量为质量为 m 的比重计，放在密度为的比重计，放在密度为 的液体中。已的液体中。已知比重计圆管的直径为知比重计圆管的直径为 d 。试证明在竖直方向的振

22、动为。试证明在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期。简谐振动，并计算周期。mgFO Ox222d2ddxmgVxgmt 04dd222xmgdtxmgd2gmdT42满足简谐振动的运动学特征满足简谐振动的运动学特征30bx例例3 一轻弹簧上端固定，下端悬挂一轻弹簧上端固定，下端悬挂一质量为一质量为m的物体。的物体。平衡时平衡时弹簧伸长一段距离弹簧伸长一段距离l0。如果再用手拉物体，弹簧伸如果再用手拉物体，弹簧伸长长b后无初速度地后无初速度地释放，试释放，试写出物体的写出物体的运动表达式。运动表达式。O000, mgmgklkl 解：解：当物体处于平衡时当物体处于平衡时取平衡位置为坐标原点，建坐

23、取平衡位置为坐标原点，建坐标系，则任意位置标系，则任意位置x时时物体所物体所受的合力受的合力F为：为：0- ()-Fmg k lxkx合力相当于一个弹性回复力，指向平衡位置合力相当于一个弹性回复力，指向平衡位置O。22dxmkxdt 220dxkxdtm 2200dxgxdtl l0o31000cos()cos()glxAtAt初始时刻初始时刻t=0时，时，0000cossin0 xAbA 可得：可得： 0=0或或 , 再代入再代入x0，可得，可得A=b, 0=00cosglxbt2200dxgxdtl 0lg则物体的运动方程为：则物体的运动方程为：tAvsin(32解：解：由图可以看出由图可

24、以看出 71233Ts 0.1Am rad/s2T 00cos0.05xA 01cos2 00sin0A 20.1 cos()3xtm 023 例例4 已知已知简谐振动曲线简谐振动曲线如下如下, ,写出此写出此振动的振动的运动表达式运动表达式当当t t = 0 = 0 时，时， , 02233ot (s)x (m) -0.050.13137O33 两质点作两质点作同方向、同频率同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。的简谐振动，振幅相等。当质点当质点 1 在在 x1 = 0 处，处，向向 x 轴轴正正方向运动时，另一个质点方向运动时，另一个质点 2 在在 x2 = A/2 处，向处，向x 轴轴负负方向运动。求这两质点振动的方向运动。求这两质点振动的相位差。相位差。653) 2 ( 21质点质点 1 的振动落后质点的振动落后质点 2 的振动的振动 65 3 2Ox2 134例例 6 AB为一均质细杆，其长度为为一均质细杆，其长度为l ,质量为质量为m,它可以绕它可以绕A端的端的水平轴旋转，其水平轴旋转，其B 端固定一劲度系数为端固定一劲度系数为k 的轻质弹簧的轻质弹簧，弹簧的另一端固定在天花板上，弹簧的另一端固定在天花板上， AB杆杆水平时，水平时，弹簧弹簧为为原长，原长，如图所示。在开始时，将如图所示。在开始时，将B 端抬起至水平位置，端抬起至