北京市西城区2021届九年级上期末数学试卷含答案解析2

1、北京市西城区2021届九年级上期末数学试卷含答案解析一、选择题(此题共30分，每题3分)下面各题均有四个选项，其 中只有一个是符合题意的.1. 抛物线y (x- 1) 2+2的对称轴为(A .直线x=1B .直线x= - 1 C.直线x=2 D .直线x二-22. 我国民间，流传着许多含有桔祥意义的文字图案，表示对幸福生活 的向往， 其中是轴图案分不表卞福、“禄 图形的是()C.D.如图，在 RtA ABC 中，/ C=90°, AC=4 , tan A二勺祝贺. 但不是B .-喜口>为，那么BC的长度cA. 2 B. 8 C.你 D.砸4.将抛物线y= - 3x2平移，得到抛

2、物线y= - 3 (x - 1) 2 -2,以下平 移方式中，正确的选项是A. 先向左平移B. 先向左平移C. 先向右平移( )1个单位，再向上平移1个单位，再向下平移1个单位，再向上平移:先向右平移1个单位，再向下平移 如图在平面直角坐标系xOy中,DDAB放大后得到线段CD.假设点A (1, 2), 的对应pl 2 3 4 5 6曰|5CD2个单位2个单位2个单位2个单位以原点O为位似中心，把线段B (2, 0), D (5, 0),那么点 AB. ( , 5) C. (3, 5)B是。O的直径，C, D是圆上两点，连接 AC , BC, AD ,5 °，那么/ ADB的度数为(

3、D (3, 6)A. 55° B. 45° C. 35° D. 25°7.如图，AB是。O的一条弦，OD丄AB于点C,交。O于点D，连 接OA .假设AB=4 , CD=1，那么O O的半径为5 B.厲 C. 3 D .制造弯形管道时，经常要先按中心线运算“展直长度，再下料.右，其中/ O=Z O' =90 °,中心线的两条弧的半径差不多上1000mm?魁段变形管道的展直长度约为取尺n 3.14)(A. 9280mm B . 6280mm C . 6140mm D . 457mm9.当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵

4、树的影长为 10m, 树高i h 单位：m的范畴是 I八、.3v hv 5 B . 5v hv 10 C . 10v hv 15 D . 15v hv200在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部 x轴交于A 1, 0,与y轴交于点B 0, 3,那么 1分图象如下图，它与 a的取值范畴是£A. av0 B . - 3v av 0C. av2v av二、填空题此题共18分，每题3分11.二次函数y=x2 - 2x+m的图象与x轴只有一个公共点，那么 m的值 为BCA12.如图仝在 ABC中，点E, F分不在AB , AC上，假设 AEFA ，那么工增加的一个

5、条件写出一个即可.如图,O O 1的半径为1, PA, PB是。O的两条切线，切点分不为OA , OB, AB , PO,假设/APB=60 °，贝SA PAB 的周长为14.,在平面直角坐标系xOy中，直线y仁kx+m (心0)的抛物畴是 得到A、耳线 y2二ax2+bx+c (0)交于点 A (0, 4), B (3, 1),当 y1<y2 时, 的取值范口图，在厶ABC中，/ BAC=65。，将 ABC绕点A逆时针旋转, '，连接 C'C.假设 C'C / AB，那么/ BAB'=16. 考古学家觉察了一块古代圆形残片如下图，为了修复这块残

6、片, 需要找出圆心.请利用尺规作图确定这块残片的圆心 O; (_2)写出作图的依据：三、解答题(此题共72分，第1726题，每题5分，第27题7分, 第28题7分，第29题8分)解承诺写出文字讲明，演算步骤或证明过程.17. 运算：4cos30°- 3tan60° +2sin45° ? cos45°.AI18. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到-(1)求证:AE,连接 CD, BE .AEB= / ADC;(2)连接DE,假设/ ADC=105 °，求/ BED的度数.二次函数 y=x2+4x+

7、3.19.一y=a (x - h) 2+k 的形式;xOy中，画出那个二次函数的图象；,1一用配配方法将二次函数的表达式化为2)在平面直角坐标系(3)按照( 2)中的图象，写出一条该二次函数的性质.-4r20.如图，在 ABC中，点D在BC边上，/ DAC= / B .点E在AD 边上，CD=CE.(1) 求证： ABD CAE ;21 .一张长为30cm,宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片 的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余局部折成一个无盖的长 方体纸盒，如图1所示 掉的正方形纸片的边长.折成的长方体纸盒的底面积为 264cm2,求剪22. 一条单车道的抛物线形隧道如下图

8、.隧道中公路的宽度AB=8m , 隧道的最高点C到公路的距离为6m.(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；c(2) 现有一辆货车的高度是4.4m,货车的宽度是2m,为了保证平安， 车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过运算讲明这辆货车能否平安通过这条隧23.如图，AB是。O的直径，C为。O上一点，通过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，Z BCD= / CAB . E是。O上一点， 弧CB=曰O O的切线;求证:.连接AE并延长与DC的延长线交于点F.O的半径为3,(2)假设。囹：线段AF的长.sinD二在?相似?和?锐角三角函数?的学习中，我们了解了借助太阳光线、 利

9、用标杆、平面镜等能够测量建筑物的高度.综合实践活动课上，数学王 老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处， 细线的另一端系一个重物(如图1);将量角器拿在眼前，使视线沿着量角 器的直径刚好看到需测量物体的顶端，如此能够得出需测量物体的仰角a的度数(如图2, 3).利用这种简单测角仪，也能够关心我们测量一些建筑 物的高度.天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界文化遗产.它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和漂亮的建筑装饰闻名于世.祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图 4).采纳的是上殿下屋的 构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天.祈年殿的殿座是 圆

10、形的祈谷坛.请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测 量天坛祈年殿的高度的咨询题.要求：(1) 写出所使用的测量工具；DED(3)(2) 画出测量过程中的几何图形，并讲明需要测量的几何量; 写出求天坛祈年殿高度的思路.25/如图， ABC内接于。0,直径DE丄AB于点F,交BC于点M , 线与AC的延长线交于点N，连接AM .J求证:：AM=BM ;丄BM , DE=8，/ N=15°，求 BC 的长.26. 阅读以下材料：有如此一个咨询题：关于 x的一元二次方程a x2+bx+c=0 (a>0)有 两个不相等的且非零的实数根.探究 a, b, c满足的条件.小明按

11、照学习函数的体会，认为能够从二次函数的角度看一元二次方 程，下面是小明的探究过程： 设一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a> 0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c (a> 0); 借助二次函数图象，能够得到相应的一元二次中a, b, c满足的条件， 列表如下：方程根的几何意义：请将(2)补充完整方程两根的情形对应的二次函数的大致a, b, c满足的条图象件方程有两个 t1不相等的负实根*A=b2- 4ac>0<01 12且匚>0.I0a>Qc<0<方程有两个不相等的正实根(1) 参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2) 假设一元二次方程

12、 mx2-(2m+3) x -4m=0有一个负实根，一个 正实根，且负实根大于-1,求实数m的取值范畴.27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= - x2+mx+n与x轴交于点A,B (A在B的左侧).x=- 3, AB=4 .求抛物线的表达式；0,且与x正C,记平移后的抛物线顶点为 卩，假设厶OCP是等腰直角三角形,(1) 抛物线的对称轴为直线m=4时，抛物线上有两点 M (x1, y1 )和N (x2, y2),假设x ,x1+x2>4,试判定y1与y2的大小，并讲明理由.(2) 平移 ( 1)中的抛物线，使平移后的抛物线通过点 半轴交于点 求点P的坐标；F当1v2, x2>

13、;228. 在 RtA ABC 中，/ ACB=90 ° , AC=BC , CD 为 AB 边上的中线.在 Rt AEF 中，/ AEF=90°, AE=EF , AF V AC .连接 BF, M , N 分不为线 段AF , BF的中点，连接MN .(1) 如图1，点F在厶ABC内，求证：CD=MN ;(2) 如图2，点F在厶ABC外，依题意补全图2,，并点A旋转，假设疋的数量关系了当(3)将图1中的 AEFC连接CN, EN，判c督用圉=a, AF=b (bv a),直截29. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：关于。C及。C外一 点P, M , N是。C上两

14、点，当/ MPN最大，称/ MPN为点P关于。C的“视角.直线I与。C相离，点Q在直线I上运动，当点Q关于。C的“视 角最大时，那么称那个最大的“视角为直线 I关于。C的“视角.(1)如图O的半径为1, 点A (1,1),直截了当写出点A关于。O的“视角；直 线y=2，直截了当写出直线y=2关于。O的“视角； 假设点B关于。O的“视角为60°,直截了当写出一个符合条件的B点坐标；(2)0 C的半径为1,关于。c的“视角为6 在-X轴正半轴上运动，假设直线了当写出圆心c的横坐标xC的取值范0°,求k的值；ty= x+O C 的“视角点C的坐标为(1, 2),直线I: y=kx

15、+b (k>0)通过点D (-仍+1, 0),假设圆心C大于120°,围.mi2021-2021学年北京市西城区九年级上期末数学试卷 参考答案与试题解析一、选择题此题共30分，每题3分下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.抛物线y x- 1 2+2的对称轴为A .直线x=1 B .直线x= - 1 C.直线x=2 D .直线x二-2 【考点】二次函数的性质.【分析】由抛物线解析式可求得答案.【解答】解：/ y= x 1 2+2,二对称轴为直线x=1 ,应选A.2.我国民间，流传着许多含有桔祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往， 其中是轴A.【考点】中心对称图形；

16、轴对称图形.【分析】按照轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判定即 可得解.【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错 误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误.应选C.口图，在 RtAABC 中，/ C=90°, AC=4 , tanA=，贝S BC 的长度A. 2 B. 8 C.咔 D.朋【考点】解直角三角形.【分析】按照角的正切值与三角形边的关系求解.【解答】解：T在RtAABC中，/ C=90°, AC=4 ,/. tanA=-

17、= | 二 , BC=2.应选A.4. 将抛物线y= -3x2平移，得到抛物线y= - 3 (x - 1) 2 -2,以下平移方式中，正确的选项是()A .先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B .先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D .先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】找到两个抛物线的顶点，按照抛物线的顶点即可判定是如何 平移得到.【解答】解：T y二-3x2的顶点坐标为(0, 0), y= - 3 (x- 1) 2- 2 的顶点坐标为(1,- 2),将抛物线y= - 3x2向右平移1个单位，再向下平

18、移2个单位，可得 到抛物线 y=- 3 (x - 1) 2 -2.应选D.5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点0为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD.假设点A (1, 2), B (2, 0), D (5, 0),那么点A 的对应点C的坐标是() A4/32V 1Zv °亠h01 2 2 4 5 犷A. (2, 5) B. ( , 5) C. (3, 5) D. (3, 6)【考点】位似变换；坐标与图形性质.【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关 系.【解答】解：T以原点0为位似中心，把线段 AB放大后得到线段C D，且 Be(2, 0)，D(5,

19、0),.厂二,- A (1, 2),.C ( 一，5).CD应选：B.B是。0的直径，C, D是圆上两点，连接 AC , BC, AD ,5 °，那么/ ADB的度数为(B. 45°C. 35°D. 25°圆周角定理.推出RtA ABC，求出/ B的度数，由圆周角定理即可推出/ AA. 55°【考点】【分析】DC的度数.【解答】解：T AB是。0的直径,/ ACB=90 ° ,/ CAB=55 ° , / B=35 ° ,:丄 ADC= / B=35°.接应选C.BB是。0的一条弦，0D丄AB于点C,交。

20、0于点D，连CD=1，那么O 0的半径为()A . 5 B.亦 C. 3D . 2【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】设。O的半径为r，在Rt ACO中，按照勾股定理列式可求 出r的值.【解答】解：设。O的半径为r,那么OA=r, OC=r- 1,v OD 丄 AB , AB=4 , AC= AB=2 ,在 Rt ACO 中，OA2二AC2+OC2 , r2=22+ r- 1 2,r,应选D.8制造弯形管道时，经常要先按中心线运算“展直长度，再下料.右 图是一段弯形管道，其中/ O二/O' =90° 中心线的两条弧的半径差不多 上1000mm,这段变形管道的展直长度约为取 n

21、 3.14曲wo丿JA. 9280mm B. 6280mm C. 6140mm D. 457mm【考点】弧长的运算.【分析】先运算出扇形的弧长再加上直管道的长度Q0 3000即可.【解答】解：图中管道的展直长度 =2X :+3000=1000n +3000 1000X 3.14+3000=6140mm.应选C.9.当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为 10m, 树高h 单位：m的范畴是A. 3v hv5 B. 5v hv 10 C. 10v hv 15 D. 15v hv20【考点】平行投影.【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范畴即可.【解答】解：AC=10

22、 .V35.7. 当/A=30。时，BC=ACtan30° =10x 当/A=45。时，BC=ACtan45° =10. 5.7v hv 10,应选分图象如下图，它与 a的取值范畴是(文A. av 0 B3v av 0 C. avv av.在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部 x轴交于A( 1，0),与y轴交于点B ( 0，3),那么 )【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系.【分析】按照图象得出av0, b>0,由抛物线与x轴交于A (1, 0), 与y轴交于点B (0, 3),得出a+b= 3,得出-3v av0即可.

23、【解答】解：按照图象得：av0, b>0,T抛物线与x轴交于A (1, 0),与y轴交于点B (0, 3), 3v av 0 ,应选：B.二、填空题(此题共18分，每题3分)11. 二次函数y=x2 2x+m的图象与x轴只有一个公共点，贝卩m的值 为1.【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】按照 =b2 -4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到二(2) 2 4m=0,然后解关于m的方程即可.【解答】解：按照题意得厶=(-2) 2 4m=0,解得m=1.故答案为1.A12. 女哆，在 ABC中，点E, F分不在AB , AC上，假设 AEFABC,那么请要增加的一个条件是EF/ BC 写出

24、一个即可占 c【考点】相似三角形的判定.【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似进行添加条件.【解答】解：当当 EF / BC 时， AEFABC .故答案为EF / BC.13. 如图，的半径为1, PA, PB是。O的两条切线，切点分不为 A，貝接OA，OB, AB , PO,假设/ APB=60 ° ,那么厶PAB的周长为 迈【考点】切线的性质.【分析】按照切线的性质得到 OA丄PA, OB丄PB, OP平分/ APB , P A=PB ,推出 PAB是等边三角形，按照直角三角形的性质得到 PA= AO= ；,因此得到结论.【解答】解：

25、T PA、PB是半径为1的。O的两条切线， OA 丄 PA, OB 丄 PB, OP 平分/ APB , PA=PB, 而/ APB=60 ° , / APO=30°,A PAB是等边三角形， PA= AO二；， PAB的周长二：.故答案为：3亠14.，在平面直角坐标系xOy中，直线y仁kx+m 心0的抛物线 y2二ax2+bx+c0交于点 A 0, 4, B 3, 1,当 y1<y2 时，x 畴是 QW x< 3【考点】二次函数与不等式组.B的坐标，写出抛物线在直线上方部【分析】按照函数图象以及点A、I 分的x的取值范畴即可.A (0, 4), B (3, 1

26、),0< x < 3.y解：两函数图象交于点 .2时，x的取值范畴是誠答案为：3.15. 如图，在厶ABC中，/ BAC=65。，将 ABC绕点A逆时针旋转, 得到 ABC，连接 C'C.假设 C'C/ AB，那么/ BAB'二 50° .f【考点】旋转的性质；平行线的性质.【分析】按照旋转的性质得 AC '二AC,/ B AB= / C AC,再按照 等腰三角形的性质得/ AC ' C=/ ACC '，然后按照平行线的性质由 CC' / AB 得/ ACC' =/CAB=65 °，那么/ AC &

27、#39; C=/ ACC ' =65 °,再按照三 角形内角和运算出/ CAC ' =50°,因此/ B ' AB=50 ° .【解答】解：解：ABC绕点A逆时针旋转到 AB ' C'的位置， AC ' =AC，/ B ' AB= / C ' AC ,/ AC ' C= / ACC',v CC ' / AB , / ACC ' = / CAB=65 ° , / AC ' C= / ACC ' =65 °,:丄 CAC ' =1

28、80°- 2X 65° =50°, / B ' AB=50 ° ,故答案为50.16. 考古学家觉察了一块古代圆形残片如下图，为了修复这块残片， 需要找出圆心.(1) 请利用尺规作图确定这块残片的圆心 0;(2) 写出作图的依据：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距 离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆【考点】作图一应用与设计作图；垂径定理的应用.【分析】(1)直截了当在圆形残片上确定3点，进而作出两条垂直平 分线的交点得出圆心即可；(2)利用垂直平分线的性质得出圆心的位置.【解答】(1)如下图，点0即为所求作的圆心；(2)作图的依据：线段

29、垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上 的三个点确定一个圆.三、解答题(此题共72分，第1726题，每题5分，第27题7分, 第28题7分，第29题8分)解承诺写出文字讲明，演算步骤或证明过程.17. 运算：4cos30° 3tan60° +2sin45° ? cos45°.【考点】实数的运算；专门角的三角函数值.【分析】原式利用专门角的三角函数值运算即可得到结果. 【解答】解：原式=4X-3X血+2X 21=1-仮.18. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋 转60°,得到线段AE,连接CD, BE.

30、(1) 求证：/ AEB= / ADC ；(2) 连接DE,假设/ ADC=105 °，求/ BED的度数.【考点】旋转的性质；等边三角形的性质.【分析】(1)由等边三角形的性质知/ BAC=60 ° , AB二AC，由旋转 的性质知/ DAE=60 ° , AE=AD，从而得/ EAB= / DAC，再证 EAB DAC可得答案；(2)由/ DAE=60 °,AE二AD知厶EAD为等边三角形，即/ AED=60 ° , 继而由/ AEB= / ADC=105 °可得.【解答】解：(1)v ABC是等边三角形，/ BAC=60

31、76; , AB=AC .线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE , / DAE=60 ° , AE=AD . / BAD+ / EAB= / BAD+ / DAC . / EAB= / DAC .vZ DAE=60 ° , AE=AD , EAD为等边三角形. Z AED=60 ° ,又 vZ AEB= Z ADC=105 Z BED=45 ° .19 .二次函数 y=x2+4x+3 .(1) 用配方法将二次函数的表达式化为 y=a (x- h) 2+k的形式;(2) 在平面直角坐标系xOy中，画出那个二次函数的图象；-4 -3 -2

32、右> x01 2 3 4 5 (3)按照(2)中的图象写出一条该二次函数的性质.-4【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象.【分析】(1)利用配方法把二次函数解析式配成顶点式;(2) 利用描点法画出二次函数图象；(3) 利用二次函数的性质求解.=x2+4x+g2 - 22+3V (x+2)2-1；(2)列表_:-4 p3 ,-2，- 10.-4 -V-zA01 2 3 4 5-103如图，;卜4xy【解答】解：(1) y=x2+4x+3(3) 当xv- 2时，y随x的增大而减小，当x>- 2时，y随x的增 大而增大.20.如图，在 ABC中，点D在BC边上，/ DAC二/ B

33、.点E在AD 边上，CD=CE.(1) 求证： ABD CAE ;(2) 假设 AB=6 , AC二一,BD=2，求 AE 的长.BDC【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】(1)由 CE=CD，推出/ CDE= / CED，推出/ ADB= / CEA, 由/ DAC= / B，即可证明.(2)由(1)ABDCAE，得到_ '，把 AB=6 , AC= , BD=2 ,代入运算即可解决咨询题.【解答】(1)证明：T CE=CD,:丄 CDE= / CED./ ADB= / CEA .vZ DAC= / B, ABD CAE .果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2,求剪21 .一

34、张长为30cm,宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片 的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余局部折成一个无盖的长 方体纸盒，如图1所示 掉的正方形纸片的边长.【考点】一元二次方程的应用；展开图折叠成几何体.【分析】设剪去的正方形边长为 xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(30- 2x) cm,宽为(20- 2x) cm,然后按照底面积是81cm2即可列出方 程求出即可.【解答】解：设剪掉的正方形纸片的边长为 x cm.由题意，得 (30 - 2x) (20 - 2x) =264. 整理，得 x2 - 25x+84=0.解方程，得x仁4, x2=21 (不符合题意，舍去)答：剪掉的

35、正方形的边长为4cm.22. 一条单车道的抛物线形隧道如下图.隧道中公路的宽度AB=8m , 隧道的最高点C到公路的距离为6m.(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；R车的高度是4.4m,货车的宽度是2m,为了保证平安，、0.5m，通过运算讲明这辆货车能否平安通过这条隧【考点】二次函数的应用.【分析】(1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平 面直角坐标系xOy，如下图，利用待定系数法即可解决咨询题.(1)求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比拟即可解决咨询题.【解答】解：(1)此题答案不唯独，如：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系 xO

36、y，如下图. A (-4, 0), B (4, 0), C (0, 6).设这条抛物线的表达式为y=a (x- 4) (x+4).t抛物线通过点C,15抛物线的表达式为 y= - £ x2+6, (- 4< x< 4).当x=1时，y=： 4.4+0.5=4.二这辆货A -3 -2 TO23.如图，AB是。O的直径，C为。O上一点，通过点C的直线与A B的延长线交于点D，连接AC, BC ,Z BCD二/ CAB . E是。O上一点， 弧CB=弧CE；连接AE并延长与DC的延长线交于点F.(1)求证:DC是O O的切线；£2)假设。O的半径为3, sinD二百，

37、求线段AF的长.【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形.【分析】(1)连接0C,由AB是。O的直径，得到/ ACB=90 °，即 / 1 + Z 3=90° .按照等腰三角形的性质得到/ 仁/2.得到/ DCB+ / 3=9 0°.因此得到结论；(2)按照三角函数的定义得到 0D=5 , AD=8 .按照圆周角定理得到/ 2=2 4 .推出OC/ AF .按照相似三角形的性质即可得到结论.【解答】(1)证明：连接OC, BC,v AB是O O的直径，2 ACB=90 °，即/ 1 + 2 3=90°.v OA=OC, 2 仁22.v2 D

38、CB= 2 BAC= 2 1. 2 DCB+ 2 3=90°. OCX DF. DF是O O的切线；(2)解：在 RtAOCD 中，OC=3, sinD二. OD=5, AD=8 . 2 2=24. 2 1 = 2 4.ffl：S3 OC / AF .在?相似?和?锐角三角函数?的学习中，我们了解了借助太阳光线、 利用标杆、平面镜等能够测量建筑物的高度.综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处， 细线的另一端系一个重物(如图1);将量角器拿在眼前，使视线沿着量角 器的直径刚好看到需测量物体的顶端，如此能够得出需测量物体的仰角a的度数(如图

39、2, 3).利用这种简单测角仪，也能够关心我们测量一些建筑 物的高度.天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界文化遗产.它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和漂亮的建筑装饰闻名于 世.祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4).采纳的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天.祈年殿的殿座是 圆形的祈谷坛.请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测 量天坛祈年殿的高度的咨询题.要求：(1) 写出所使用的测量工具；(2) 画出测量过程中的几何图形，并讲明需要测量的几何量;(3) 写出求天坛祈年殿高度的思路.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角咨询题.【分析】

40、按照题意画出图形，按照正切的概念解答即可.【解答】解：(1)测量工具有：简单测角仪，测量尺；(2) 设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如下图; 需要测量的几何量如下： 在点A，点B处用测角仪测出仰角a,B； 测出A, B两点之间的距离s;(3) 设CD的高度为x m.在 Rt DBC 中在Rt DAC中，门匸珀。,DED25. /如图， ABC内接于O O,直径DE丄AB于点F,交BC于点M ,AC的延长线交于点N，连接AM .求证：AM=BM ;丄BM , DE=8，/ N=15°，求 BC 的长.【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理.【分析】1由垂径定理可求得 AF=B

41、F，可知DE为AB的垂直平分 线，可得AM=BM ;2连接AO, BO,可求得/ ACB=60 °，可求得/ AOF，由DE的 长可知AO，在RtA AOF中得AF，在RtA AMF中可求得 AM，在RtA AC M中，由门一卩，可求得CM，那么可求得BC的长.【解答】1证明：T直径DE丄AB于点F, AF=BF, AM=BM ;(2)连接AO, BO,如图,由(1)可得AM=BM ,v AM 丄 BM , / MAF= / MBF=45 ° , / CMN= / BMF=45 ° ,v AO=BO , DE 丄AB ,/z _ _ _ 肓 ZhOB / AOF=

42、 / BOF=vZ N=15 ° , / ACM= / CMN+ Z N=60 °，即 Z ACB=60 / sr iZAOBvZ ACB= 2. Z AOF= Z ACB=60vDE=8,二 AO=4.在 Rt AOF 中，由 sinZA°B"AO，得 AF二丽,在 Rt AMF 中，AM二BM二：二'.7Q II在 Rt ACM 中，由 _" 一7二亍，得 cm= 7, BC二CM+BM二 】+26. 阅读以下材料：有如此一个咨询题：关于 x的一元二次方程a x2+bx+c=0 (a>0)有 两个不相等的且非零的实数根.探究

43、a, b, c满足的条件.小明按照学习函数的体会，认为能够从二次函数的角度看一元二次方 程，下面是小明的探究过程：设一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a> 0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a> 0);a, b, c满足的条件,借助二次函数图象，能够得到相应的一元二次中 列表如下：方程根的几何意义：请将(方程两根的情形方程有两个不相等的负实根方程有一个负实根，一个正实根a, b, c满足的条件2)补充完整对应的二次函数的大致ra>oc>0.fa>0U<0.方程有两个不相等的正实根肯0一 /(1) 参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2) 假设一

44、元二次方程 mx2-(2m+3) x -4m=0有一个负实根，一个 正实根，且负实根大于-1,求实数m的取值范畴.【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系.【分析】(1)由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数 的关系容易得出答案；(2)按照题意得出关于 m的不等式组，解不等式组即可.【解答】解：(1)补全表格如下：方程两根的情形二次函数的大致图得出的结论象方程有一个负实根，一个正实根耳>0A=b2- 4ac>0c>0.方程有一个负实根，一个正实根,(2)解：设一元二次方程 mx2-( 2m+3) x - 4m=0对应的二次函数为：y=x2 -(2m+3)

45、 x- 4m,t一元二次方程 mx2+ (2m- 3) x- 4=0有一个负实根，一个正实根, 且负实根大于-1,-I解得0v mv 2. m的取值范畴是Ov mv 2.27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= - x2+mx+n与x轴交于点A, B( A在B的左侧).(1)抛物线的对称轴为直线x=- 3, AB=4 .求抛物线的表达式;(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线通过点 O,且与x正 半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为 卩，假设厶OCP是等腰直角三角形, 求点P的坐标；(3) 当m=4时，抛物线上有两点 M (x1, y1 )和N (x2, y2),假设x1v2, x2

46、>2, x1+x2>4,试判定y1与y2的大小，并讲明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)先按照抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的 解析式；(2) 按照平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角 三角形的性质求出抛物线解析式；(3) 按照抛物线的解析式判定出点 M , N的大致位置，再关键点M , N的横坐标的范畴即可得出结论.【解答】解：(1)抛物线y=- x2+mx+n的对称轴为直线x= - 3, AB= 4.点 A (- 5, 0),点 B (- 1, 0).抛物线的表达式为y= -( x+5) ( x+1) y= - x2- 6x- 5.(2)如图

47、1,依题意，设平移后的抛物线表达式为：y= - x2+bx.抛物线的对称轴为直线 宀，抛物线与x正半轴交于点C (b, 0). b> 0.记平移后的抛物线顶点为込p,点P的坐标(耳，-刁"+), ocp是等腰直角三角形,2= - 42 b=2.点P的坐标(1,1).(3)如图2,当m=4时，抛物线表达式为：y二-x2+4x+n.抛物线的对称轴为直线 x=2.V点M (x1, y1)和N (x2, y2)在抛物线上,且 x1 V2, x2>2,点M 在直线;x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧. 2 - xi VJL.占占八、x14)I+x2 > 4,:M到直线x-2

48、,x=2的距离比=2的距离比点N到直线x=2的距离近,一制疋了当，并加以证明;点A旋转=a, AF=b (bv a),直截c督用圉28. 在 RtA ABC 中，/ ACB=90 °, AC二BC , CD 为 AB 边上的中线.在 Rt AEF 中，/ AEF=90°, AE=EF , AF V AC .连接 BF, M , N 分不为线 段AF , BF的中点，连接MN .(1) 如图1,点F在厶ABC内，求证：CD=MN ;(2) 如图2,点F在厶ABC夕卜，依题意补全图2,连接CN, EN，判 的数量关系 g 1中的 ae值【考点】几何变换综合题.【分析】1利用直角

49、三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形 的中位线即可；2 构造出 EMNDNC进而利用互余即可得出结论；3借助2的结论，先判定出点N是以点D为圆心，-为半径的 圆上，即可得出结论.【解答】解：1证明：在RtA ABC中，v CD是斜边AB上的中线. CD二_AB .在厶ABF中，点M , N分不是边AF, BF的中点， MN二；AB, CD=MN .2答：CN与EN的数量关系CN=EN , CN与EN的位置关系CN丄EN .证明：连接EM , DN，如图.与1同理可得 CD=MN , EM=DN .扌Rt ABC 中, CD是斜边AB边上的中线,'CD丄AB 右在厶ABF 中，同理可

50、证EM丄AF . EEMF= 2 CDB=90°.在 f 人二二x-亠 f 口 人、r、丄 、丄 r厶V D, M , N分不为边AB , AF, BF的中点, DN / AF, MN / AB . 2 FMN= 2 MND , 2 BDN= 2 MND . 2 FMN= 2 BDN . 2 EMF+ 2 FMN= 2 CDB+ 2 BCN . 2 EMN= 2 NDC. EMN DNC . CN=EN , 2 1 = 2 2.vZ 1 + Z 3+Z EMN=10/ 2+Z 3+Z FMN=90 Z 2+Z3+Z DNM=90 即 Z CNE=90°. CN 丄 EN .

51、(3)点N是以点D为圆心，-为半径的圆上,在 Rt ABC 中，AC=BC=a, AB二一 a,/ CD 为 AB CD二_AB二的中线.，一- CN 最大二CD+二 'bCN 最小二CD -2由(2)知，EN=CN， EN 最大=：，EN 最小=.-L.即：EN的最大值为 :，最小值为 .29. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：关于。C及。C外一 点P, M , N是。C上两点，当Z MPN最大，称Z MPN为点P关于。C的 “视角.直线I与。C相离，点Q在直线I上运动，当点Q关于。C的“视 角最大时，那么称那个最大的“视角为直线 I关于。C的“视角.(1) 如图，。O的半径为1, 点A (1,1),直截了当写出点A关于。O的“视角；直 线y=2，直截了当写出直线y=2关于。O的“视角； 假设点B关于。O的“视角为6