八年级（数学）专题18直角三角形专项讲练-分类复习（附中考历年真题训练）

1、数学专题 精心整理专题18 直角三角形阅读与思考从代数角度，考察方程的正整数解，古希腊人找到了这个方程的全部整数解：其中，是自然数，一奇一偶.17世纪，法国数学家提出猜想：当时，方程无正整数解.1994年，美国普林斯顿大学教授维尔斯证明了费尔马猜想.直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：角的关系：两锐角互余；边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；边角关系：所对的直角边等于斜边的一半.这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要

2、条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.熟悉以下基本图形基本结论：例题与求解【例l】（1）直角ABC三边的长分别是，和5，则ABC的周长_.ABC的面积_.（2）如图，已知RtABC的两直角边AC5，BC12，D是BC上一点，当AD是A的平分线时，则CD_.（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在RtACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则ACB（ ）A.120° B.135° C.150° D.165° （“希望杯”邀请赛试题）

3、解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P为ABC边BC上的一点，且PC2PB，已知ABC45°，APC60°，求ACB的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出ACB的度数，综合运用条件PC2PB及APC60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图，在ABC中，C90°，A30°，分别以AB，AC为边在ABC的外侧作等边ABE和等边ACD，DE与AB交于F，求证：EFFD.（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD为RtFAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角

4、三角形，通过全等三角形证明.【例5】在证明含有线段平方之间的和（差）关系时，常常要联想到勾股定理，若图中缺少直角条件，则可通过作辅助线，构造直角三角形.如图，在四边形ABCD中，ABC30°，ADC60°，ADCD，求证：（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】在运用勾股定理时，常常对进行变形，运用乘法公式、整数与方程知识综合求解.斯特瓦尔特定理：如图，设D为ABC的边BC上任意一点，a，b，c为ABC三边长，则.请证明结论成立.解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想

5、.能力训练A级1.在很多情况下，需要由线段的数量关系去判断线段的垂直位置关系，这就要熟悉一些常用的勾股数组.如图，D为ABC的边BC上一点，已知AB13，AD12，AC15，BD5，则BC_.2.如图，在RtABC中C90°，BE平分ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE1cm，则AC_cm.3.如图，四边形ABCD中，已知ABBCCDDA2231，且B90°，则DAB_.（上海市竞赛试题）4.如图，在ABC中，AB5，AC13，边BC上的中线AD6，则BC的长为_.（湖北省预赛试题）5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 º

6、，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D.不能确定 （山东省竞赛试题）6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得ABC，则AC边上的高为（ ）A. B. C. D. （福州市中考试题）7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ）A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米8.如图，在四边形ABCD中，BD90°，A60°，AB4，AD5，那么等于（ ）A.1 B. 2 C. D. 9. 如图，ABC中，ABBCCA，AECD，

7、AD，BE相交于P，BQAD于Q，求证：BP2PQ.（北京市竞赛试题）10. 如图，ABC中，ABAC.（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：（2）P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.11.如图，直线OB是一次函数图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得ACO为等腰三角形，求点C的坐标.12.已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，AD8，AB4，求BED的面积.（山西省中考试题）B级1.若ABC的三边a,b,

8、c满足条件：，则这个三角形最长边上的高为_.2.如图，在等腰RtABC中，A90°，P是ABC内的一点，PA1，PB3，PC，则CPA_.3. 在ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长为_.4.如图，在RtABC中，ACB90°，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）A. CFGB B. CFGB C. CFGB D. 无法确定5. 在ABC中，B是钝角，AB6，CB8，则AD的范围是（ ）A. 8AC10 B. 8AC14 C. 2AC14 D. 10AC14（江苏省竞赛试题）6.满足两条

9、直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个（浙江省竞赛试题）7.如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DEDF，若BE12，CF5，求DEF的面积.（四川省联赛试题）8.如图，在RtABC中，A90°，D为斜边BC中点，DEDF，求证：（江苏省竞赛试题）9.探索性试题是指问题中的题设条件或结论不完整，从而有深入探讨的余地，存在型命题的探索，是给定条件后，判断所研究的对象是否存在.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.（全国联赛试题）10.如图，在ABC中，BAC45°，ADBC于D，BD3，CD2，求ABC面积.（天津市竞赛试题）11.如图，在ABC中，BAC90°，ABAC，E，F分别是BC上两点，若EAF45°，试推断BE，CF，EF之间数