高中竞赛数学讲义第30讲数列的求和

1、第11讲数列的求和本节主要内容有S"与弱的关系：两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方 和、倒数和等；£符号的运用.掌握数列前”项和常用求法，数列求和的方法主要有：倒序相 加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等.1 .重要公式 1+2+.+= (+1)2 12+22+ - n(n+1 乂2+1)6 1 ?+23+. .+/73=(l+2+. .+n)2= n2(；?+1)242 .数列“”前项和S”与通项小的关系式：%=3 .在等差数列中金+产5/$+?4在等比数歹1中S,n+记S“+q"S产Sm+dS.4 .裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数

2、和，即3仰+1)-9),然后累加时抵消中间 的许多项.应掌握以下常见的裂项：1 -,“ != (n +1) !-!.一- = ctga- ct g2a.- 5 等n(n +1) n + 1sin 2a"( +)！ nl ( + l)!5 .错项相消法6 .并项求和法A类例题例1已知数列a"的通项公式满足：n为奇数时，an=6n-5 , n为偶数时，an=4n ,求Sn. 分析 数列aQ的前n项可分为两部分，一部分成等差数列，用等差数列求和公式；另一部 分成等比数列，用等比数列求和公式。但数列总项数n的奇偶性不明，故需分类讨论.解若 n 为偶数 2m,则 S2m=1+13+2

3、5+-+6(2m-1)-5+42+44+-+42m=6m2-5m+(42m 1一 1)，若n为奇数2m+1时，则S2m+i=S2m+6(2m+1 )-5=6m2+7m+1 + ?(42m-1)，1C 3 ， 131 1Sn=一 一十 一一 + - -4 .2215 15说明如果一个数列由等差数列与等比数列两个子数列构成，常采纳先局部后整体的策略， 对子数列分别求和后，再合并成原数列各项的和.类似地，若一个数列的各项可拆成等差数列 型与等比数列型两部分，也可采纳先局部后整体的策略.例2(2004年湖南卷类)已知数列备是首项为a且，公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n 项的和，a, 2a7, 3

4、a4成等差数列.(I)证明12s3, S6, &2-Se成等比数列;（ID 求和 Tn=a+2a4+3由+na3n 2.分析（1）对于第（I）问，可先依据等比数列的定义与等差数列的条件求出等比数列的公比，然后 写出12s3, S6, S12S6,并证明它们构成等比数列.对于第（2）问，由于T产2a4+357+ +na3n-2.所以利用等差数列与等比数列乘积的求和方法即“乘公比错位相减法”解决此类问 题.解（【）证明由0&八3生成等差数列，得=«+%!，即 4aq6 = a + 3aq变形得（4q' + 1）（/- -1） = 0,所以（舍去）.由 = &quo

5、t;q = i+q = J_125.jl-q ）1216"q.（1“）S,-56 酬，"q . .6 . s 1= -1 =- = 1+ “ - I = q =.S. S.H 16i-q得所以2s3, S6, S12-Se成等比数列.（H ）解：4=q + 勿4+3。； + +=a + 2aq' +3aq6 + +。4"内.U|J Tk = q + 2 （一+ 3 （一工厂 a h + （ a Q）义（）得: T =_q + 2（）a + 3（_）'ad'a- （_一）"”44 n 447/44“1-（-"门i44=7“

6、.（-）%=«_（+ ）.（一；）“ 41-（-1）45544斫以 r16 z16 41上/TL人 I =x （1）（一一） a.” 2525 54说明本题是课本例题："己知Sn是等比数列an的前n项和，S3, S9, S6成等差数列, 求证：a2, as, a5成等差数列"的类题，是课本习题：”已知数列an是等比数列,Sn是其 前n项的和，an a7, a4成等差数列，求证2 s3, S6, S12Se成等比数歹'的改编.潸/席龙1. （2000年全国高考题）设«,为等比数例，（=叫+（-1）%+太*+%，已知T = i，r=4. （I ）求数

7、列q的首项和公式；（II ）求数列比的通项公式.2. （2000年全国高中数学联赛）设S=1+2+3+C,加M求初）=的最大值.B类例题例3（2004年重庆卷）设q=l.%=*凡*=&.1|/，5 = 12）令% = %“一%,（ = 1,2）求数列4的通项公式：（2）求数列为的前n项和S”.分析利用已知条件找勾与川的关系，再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题.5222解 (1)因 = %+2 -一。冏=彳(4.】一凡)= ?"n故bn是公比为|的等比数列，且a=4-%=：故“ =(2)"5 = 12)3(2)由“=&-(守得册+1 一。】

8、=(/+1 -an)+(4 -6_) + + (必 一 6)9"注:总:到q = 1,可得4 = 3-示小 =1.2,.)1nLi记数列呆的前n项和为，贝ij70o?T/1=l + 2-+.- + n.(-r，(lh =，= + 2-(»)2+. + q)” (2) JJJJJJ两式相减得Io00o007；=1+7+(1+(严 吗)“=31_()一( )”,JJJJJJJ故'=9l-(-)n-3/»(-)n =93一“)二333“t3(3 + )2”7从而S = a1+ 2。)4Fnan = 3(1 + 2dF)-2T = - n(n + 1) + 18一

9、"、“Ji 23外一说明 本题主要考查递推数列、数列的求和，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的 能力.例4 (1996年全国高中数学联赛第二试)设数列的前项和5户2a-血=1,2,3,- )，数列4 满足。尸3, 2+1=a+4«=1,2,3).求数列仇的前n项和.分析 由数列加前/?项和Sc与通项曲的关系式：a®可得an.解 由s“ = 2ali_、可得an+i=2an即数列aj是等比数列，故4产2口 I又由得 bn=b +3i+ 32+ 23+ 3n-1 =3+= 2 +2所以 Sn =，+ >+ a+ dn=1 +2+22+,+2n 1+2n=例

10、5 (2004年全国理工卷)已知数列&的前n项和S”满足：Sn=2an+(-1)n,n1.写出求数列a。的前3项ai,a2,a3：(2)求数列a“的通项公式；(3)证明：对任意的整数m>4,有.分析 由数列aj前n项和S。与通项的关系，求a”,应考虑将力与4M或其转化为的 递推关系，再依此求an,对于不等式证明考虑用放缩法，若单项放缩难以达到目的，可以尝试多项 组合的放缩.解(1)当 n=1 时，有:Si=ai =2ai +(1) => ai=1 ；、'ln=2 时，有：&=ai+a2=2a2+(-1 )2>a2=0："i n=3 时，有：S

11、3=3 4-32+23=233+(1 )3>23=2：综上可知 31=1,32=0,33=2:(2)由已知得:an = Sn - S_ = 2。“ +(-1)" -2*_ -(1产化简得：q=2qi+2(T)i上式可化为：为 +：(-炉=2的+|(-1尸 故数列是以为首项，公比为2的等比数列.故 =1.211-,-|(-1)"=|2-2-(-1)-数列4的通项公式为：.由已知得：1>+'+ “4%2(一1)/A1 + L+L + L + L + _1_) 2 3 9 15 33 632”-(一1尸23 5 11 21lfl 1<1 + 一 +21

12、31 1 1 十 十5 10 2013 U 13 104 105 715 5 215 120 120 8故(m>4).说明本题是一道典型的代数综合题，是将数列与不等式相结合，它的综合性不仅表现在知 识内容的综合上，在知识网络的交汇处设计试题，更重要的是体现出在方法与能力上的综合, 体现出能力要素的有机组合.虽然数学是一个演绎的知识系统，并且演绎推理是数学学习和研究的重要方法，但从数 学的发展来看，"观察、猜测、抽象、概括、证实"是发现问题和解决问题的一个重要途径，是 学生应该学习和掌握的，是数学教育不可忽视的一个方面：要求应用已知的知识和方法，分 析一些情况和特点，找

13、出已知和未知的联系，组织若干已有的规则，形成新的高级规则，尝 试解决新的问题，这其中蕴含了创造性思维的意义.例6 设 a 为等差数列， 6为等比数列，且b = a； , b2=a；,"=而，又lim(4+a+.+d)= &+2, 试 求 an 的 首 项 与 公A->»差.(2001年全国高中数学联赛)分析 题中有两个基本量 an 中的首项ai和公差d是需要求的，利用成等比数 列和给定极限可列两个方程，但需注意极限存在的条件.解设所求公差为& 合</，d>0.由此得a； (q + 2/7)2 =(处 +化简得：2z?； + 4.0 + J2

14、 =0解得：d = (一2±五)q 而一2±"<0,故国<0若 d = (-2)q ,则若 d = (-2 + &)q,则但所(4+3+2)= "+1存在,故|g|i,于是4 =(/+方不可能.从而1-(五-1)2n a； =(2vZ2-2)(V2 + l) = 2所以a =-7e，d = (-2 +/)凡=2说明本题涉与到的知识主要是等差数列、等比数列、无穷递缩等比数列所有项的和等知识， 用到方程的思想和方法，且在解题过程中要根据题意与时取舍，如由题意推出d>0, aiO, 明<1等，在解题中都非常重要.潸/不龙3.设二

15、次函数/“)= /+司当y.+i(eN5tjtr)的所有整数值的个数为g(n).(D求g(n)的表达式.(2) 设2=+"-( e N*),5n =q 小 + 小一生 + (T)“q,求S”.gOO(3)设以=等工 动产”+若I </(%Z),求/的最小值.4.设函数的图象上两点P1(X1,川、尸2(X2,闷，若赤=；(西+近)，且点P的横坐标 为L2(1)求证：尸点的纵坐标为定值，并求出这个定值；若a=之/二)，neN求Sm «-> n记为数列的前。项和，若(<a(Se+&)对一切neN*都成立，试求a的取值范围.C类例题例7给定正整数n和正数M

16、,对于满足条件a；+a3W M的所有等差数列2, a2,an,试求 S=an+i+an+2+a2n+1 的最大值.(1999 年全国高中数学联赛试题)分析本题属于与等差数列相关的条件最值问题，而最值的求解所运用的方法灵活多样, 针对条件的理解不同，将有不同的解法.解 (方法一)：设公差为d ae=a则 S=an.i+an+2+a2n,i=( + 1)“ +小二U”,所以2sn+T,、4= (a-nd): +n2 = a +从而有且当“=2疝." =也时S = (n + l) -77 + -i-|=, 诃 2 M J由于此时4ti = 3nd故a- +唠=M,因此S=an+i+an+2

17、+a2n+i的最大值为.(方法二)：三角法 由条件a：+«；.1W M故可令q =rcos。，盟=rsin。,其中OWrWM .故 S= an+i+an+2+a2n+i=11"- =(3q+1-4J =r(3sin 9 - cos 0)222其中，因此当5皿。-0）= 1,r=历时, S=an+i+an.2+'+a2n+i的最入伍为.说明 在解答过程中，要分清什么是常量，什么是变量，注意条件和结论的结构形式.解法 一通过配方来完成，解法二运用三角代换的方法，解法三运用二次方程根的判别式来完成， 解法四则主要运用了柯西不等式.本题人口宽，解法多样，对培养学生的发散思维

18、能力很有 好处.例8 n2（n24）个正数排成几行几列：a”12413314 1n» r2132223324 的，31 32 3334 a3n，3n13n23n33n4 3nrif其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知“a24=1，342求an +322 +由3 + 3nn.（1990年全国高中数学联赛试题） 分析 由于等差数列可由首项与公差惟一确定，等比数列可由首项与公比惟一确定，如果设 an=a第一行数的公差为d,第一列数的公比为q,容易算得备i=a+（t-1）qsr,进而由已知 条件，建立方程组，求出n, d, q.解设第一行数列公差为d,各列数

19、列公比为q,则第四行数列公差是dq2于是可得方程组：，解此方程值组，得ad=q = 土;由于所给1个数都是正数，故必有q>0,从而有4=,/ = q = g故对任意1WkWn,有% =联1 =&+伏-1) / =g.1 23故 S=- + + +2 r2JT7 1 Q 1 2 3 又-O= + + 2222, 24n + 两式相减后可得：ls=2g123nn+ + + + 2 2* 22"2"'所以S=2 2nT 2U说明 这道试题涉与到等差数列、等比数列、数列求和的有关知识和方法.通过建立方程组 确定数列的通项；通项确定后，再选择错位相减的方法进行求

20、和.5 .各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数项.列至多有6 .己知数列aj满足：a1=1,an+i=an+- 求证：14V aioo< 18;(2)求doo的整数部分但皿.习题11A类习题1 .若等差数列an, 5的前0项和分别为4, Bn,且左=言号，则粉等于81 7-7 。3-2C 7-48 4-342 .各项均为实数的等比数列a前n项和记为S”若So=1O,&o=7O,则S40等于( )A.150B.-200C.150 或一200D.400 或-50(1998 年全国高中数学联赛试题)3 .已知数冽%满足3% + q = 4(

21、2 1),且4 = 9淇前n项之和为S，则满足不等式|邑-的最小整数是 125A.5B. 6C.7D.8(1999年全国高中数学联赛试题)4 .(2004年江苏卷)设无穷等差数列an的前n项和为Sn.(【)若首项为=5，公差1 = 1，求满足=(臬)2的正整数k： (H)求所有的无穷等差数列an,使得对于一切正整数k都有=(4/成立.5 .函数/(x)是定义在0, 1上的增函数，满足x) = 2/g且") = 1 ,在每个区间(”,占(，=1, 2)上，y = /(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分. 求八0)与/小，八。的值，并归纳出/(1)(i = 12)的表达式 24

22、2(II)设直线x = J, x =，X轴与)，= /*)的图象围成的矩形的面积为(i=1, 2), 记S= lim(+&+6)，求S(A)的表达式,并写出其定义域和最小值.(2004年北京理 工卷)6 .(2005年湖北卷)设数列%的前n项和为Sn=2n2,但为等比数列，且=>力2(。2 -) = "(I)求数列g和"的通项公式：(II)设,求数列%的前n项和Tn.8类习题7 . (2005年全国I卷)设正项等比数列«,的首项“小；，前n项和为S,且2，X-(2'o + 1)5;i) + Ski=O.(I)求&的通项；(II)求/电

23、的前n项和，.8 .设数列d的首项前n项和S"满足关系式：3tSn-(2t+3)Sn-3t(t>0,n=2,3,4.).(1)求证：数列“”是等比数列：(2)设数列跖的公比为财,作数列瓦,使"=1力)(片2,3,4),求数列瓦的通项 -%1力；(3)求和:bb2b2b3+b3b4+bm-必% b2nb2n+1.9 .已知：f(x)= (x<2), f(x)的反函数为 g(x),点 An(an,)在曲线 y=g(x)上(n£N+),且 ai = 1.(D求y=g(x)的表达式;(II)证明数列v为等差数列；(HI)求数列an的通项公式:(IV)设 bn=

24、，记 Sn=bi+b2+ bn,求 Sn.10 .已知正整数n不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的" 的个数是.(1999年全国高中数 学联赛试题)C类习题11 .已知品是首项为2,公比为：的等比数列，S”为它的前项和.(1)用S ”表示S“+”(2)是否存在自然数。和人 使得成立. (2001年上海卷)12 .数列a是首项为科，公差为d的等差数列，按下列加括号的方式把该数列分成群(科)、 (a2t a3)、(&，由，a6.金)、(金，虫，do,，&5)使第一群中是科含an中的一项，第 二群是a?、备，含aj中的两项，第三群中是a4、加

25、、义6、缶，含aj中的四项如此继续下 去，第n群中含a中的2-1项，且任两群无公共项，任一项都在某群内，用a、d、n表示 第n群各元素的和.(第2届希望杯第一试)本节“情景再现”解答：1 .设等比数列4 以比为q ,则I = 4 Z = 2q + 4 = % (2 +夕).？； = 1工=4 ,q = 1均=2 .(II)解法一：由(I)知4 = 10=2,故4“=6/=21,因此，7；= + (-1)2 + 21+1.2n-:.T =27；-7；, =n-2+(n-l)-22 4+2-2"-,+l-2,-wl + («-l)-2+ + 2-2*-2+l-2n-1 7 o

26、9«= -“ + 2 + 22+ 2'-'+2“ =i + =- =-+ 2川一21-2=( + 2) + 2"解法二：设S“=q+d+ %.由(I)知q=21£ =l + 2 + + 2i =2”-1Tk =4 +(- 1)/ 十+2% +4=a, +(% +?) + + (+a2 +% +qj = S1+S? + +S, ?-2-2n= (2 + l)+(2"-l)+ +(2n-l) =(2 + 2n + 2<=一 一 _ 一 = 2二 一2一 1-22 .由等差数列求和公式得 S”,( + l), Si =:( + 1)(+

27、2) =一- =22，厂+34+ 644,.当，即 n=8 时,/(n)MM = ±.3 . (1)当xeE/? + l(neN*)时，函数/(x) = £+x的值随X的增大而增大，则/a)的值域为+ 3 + 2J( £ N*),:.g()= 2 + 3( e N*).(2) 当n为偶数时，SA =u,一生 +/+ + <*=(F -22)+(3: -4:) + + (/?-1)2= 3+7+(2n 1)=_ 3 + (2-l) n _ ?(/ +1)当n为奇数时,S' =（一生）+（处一。4）+ +（4-2-Ji） = Si + q二 ( + 1)

28、=-F n =22(3)由r= 初,得(=* +二+-2n 2 T 2'X，W-T = + +22 n 22 2'2n +1 2n + 3-； +2"T 2u2n + 1 2;?+ 32" + 2c-，得;7>(|-、,222222T5 2+ 3(1 2,1)_ 7 2n + 71-122则由7； =7二可得/的最小值是7.2， I 14. （1）证：: O尸=5（。 +），户是鼻尸2的的中点=>2n+=- +="2A| +V2 2I2+V2 2' + %/2 2丑 +、反2”- 2" + 贬 + 2 + 71x2-

29、2” + & + 2+7？(2)解：由(1)知+x2=1, f(xi)+f(X2)=yi+%=l, f(l)=2 JI, Sn = f( ) + f( ) + + f() + f(1)，又 Sn = f(/+f( 两式相加得2Sn = f(1) + f( ) + f(= 2f(1) + 1 +1 + 彳)+喘)+f(1).n- 12 n_2n-*11丁) + f(万)+ f(丁) + + f(丁)+f(万)+f(1)-+ 1(n-1 个 1) = + 3-24，(3)解:区+扬（5川+杨1 7+3" 2' + 4( + 3)( + 4)2"1 1 =4(-)

30、n+3 n+4Tn = 4(1 V ) + ' Y ) +)="+ 4 , 7# < 4(S叶 + &)=In“>九+拉=5 + 4尸= + 3 + 8 n” +竺8,当且仅当/?=4时，取“=” n5.设4M2, 是公差为4的等差数列，则q=4+45-1）,由已知出 + + 勺 4100 Q+4 + ")("-310012Oa； + ( - l)q + 2/ - 2n-100<0，此关于q为未知数的一元二次不等式有解,则应有A = 5 -4(2/-2n-100)>03 - J2816)3 +J2816 ,、= 7n26n

31、40lW0,qq<9 又故n的最大值是8.故这样的数列至多有8项.6.证明:当1V k Wn(k g N.)时,；=且取>1所以4+2<都<4+3,因此+2 V4；+3,a；+2<；+3,a；T+2<4： <q；T+3,将以上 n- 1 个式子相加得Q； +2(-1)<； +3(-1)，因为 51=1 所以 2一 1 <«； <3-2,所以>/2-1 <4 </3-2令 n=100,得 14V aioo< 18.(2)由题设得,所以。*=。；+一片)+一。；)+(小一) =200+-l+ _L +_L

32、,又ae-a产;>0故数列aj是单调递增.当n，2时an2.每 可 叫dn200V*V200+<225.因此 14< a0。<15.所以 aoo 的整数部分oo=14本节“习题11”解答：an _2a” _a+即 _A21 _ 7x21+1 _4 心生L 诟二而=函 =4X21+27 =3 以例人2 . S10, S20-S10, S30S2o,S4o-S3o成等比数列，公比 Q=qi°>0.故 S30= S1o(1+Q+Q2)=7O.IW Q=2,所以 S40 S3o=SioQ3=8O,HP 840=830+80=150.故选 A.3 .由递推公式变形

33、得：3(即+1 -1)=一-1)令bn=an-1,则bn+产一gbn,且bi=a1一1=8,故bn 是首项为 8,公比为一:的等比数列.故 Sn-n=(aLl)+ (a2-1)+-+(an-1)= bi+b2+-+bn=6 一6X,所以IS-6l=6x仕f <-L,得3n l>250.所以满足不等式的最小整数。是7,故选C. 3)1254 . ( 1 )当 a=-,d = 时，Sn=n + = -n2+n ,由 S . =(S -)2 得， 1 2n 222k'a，；3+公=(；父+幻2，即ygk -1) = 0,又左。0,所以 =4. (2)设数列4的公差为d,则在S,2

34、 =(5。2中分别取攵= 1,2得即 4x3,2x1、，由(1)得=0或K 及4。+d = (2q+dr11.当 =0时，代入(2)得：4=0或4=6；当q=0.d = 0时，4=03'=。,从而Sr=(5人成立：当q=0.d = 6时， 则6=6(-1),由易=18,-=324y =216知，S9 H)，故所得数列不符合题意：当 =1 时，4 = 0或4 = 2,当q=l, 4 = 0时，从而气=(凡)?成立；当=1,4 = 2时，则cin = 2 -1,5内=,J，从而S42 =(耳)2成立，综上共有3个满足条件的无穷等差数列：=0或6=1或4=2-1.5. (I)由/(0) =

35、2/(0)，得"0) = 0,由/= 2/(；)与/=1，得八；)=3八1)=；同理，/(f = y/(y)=：,归纳得/(y) = y(/ = 1,2,)(II)当时/*)= + /一)4 T击+击+呜-击水击£)=("勺/(12)所以/是首项为!(一)L1 勺)，公比为L的等比数列，所以S(A) = lim(4 + & + 4) = 2i- = -(1-).2441-t 1344S伏)的定义域为0<攵41,当 = 1时取得最小值;.6. (1)：当,? = 1 时, =5, =2；当 > 2时 q = SK - S； = In1- 2(w

36、-1)2 = 4 - 2,故斯的通项公式为a=4 - 2,即应是=2,公差d = 4的等差数列.设6的通项公式为q 厕如(1 = ",d =4,：.q = ；.io故。=叱-2x吉,即此的通项公式版=,.(11) .q=& = ±L22 =(2 l)“i,，7；=q+q+ + q=l + 3x41+5x42 + .+(2 D4“T, n bK 247； =1x4 + 3x42+5x43+ . + (2-3)4”7+(2-1)4"”两式相减得3T =-l-2(才 + 4? + 4, + + 4't) + (2h-1)4u =1 (6-5)4” 4-5

37、/.T =1 (6-5)4" + 5.397. (I)由 21°S3o°+1 )S2o+Sio=O 得 21o(S3o-S2o)=S2o-Sio>RP 21 °(32i+a22+ . +a3o)=ai 1 +ai2+ +320, 可得 210 q1°(aii+ai2+a2o)=aii+ai2+a2o.因为 面>0,所以 210q10=1,解得 q=g,因而 an=aiqn 1=,n=1,2,.(II)因为同是首项aig、公比q=g的等比数列,故Sn=1, nS产n-/.则数列g的前n项和+n)Y长),Tn 1 0八 , 12/2 -1、2 2 (1+2+-+n)-(- + + -+ ).前两式相减，得如 (1+2+.+n)(/如+异号=nGvM)_+n即T产出里+ 22”8. 由 Sin“