《集合及其运算》知识总结与练习

1、集合及其运算知识总结与练习集合论是德国著名数学家康托尔于19 世纪末创立的. 1874 年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873 年 12 月 7 日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.一般地，我们把研究对象统称为元素（element） ,把一些

2、元素组成的总体叫做集合.集合元素的特征：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合.集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果 a 是集合 A 的元素，就说a 属于 (belong to) 集合 A，记作： aA；如果 a 不是集合A 的元素，就说a 不属于 (not belong to) 集合 A，记作： a

3、A.常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；*整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q；实数集：全体实数的集合，记作R.把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序 ,“ ,”隔开； a 与 a 不同 .用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法 ，一般形式为 xA | P ，其中x代表元素， P 是确定条件 .小结 ：22不同 . 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如 x | x1 ， x | x3k, kZ . 集合的 已包含“所有”的意思，例如： 整数 ，即代表

4、整数集Z ，所以不必写 全体整数 . 下列写法 实数集 ，R 也是错误的 . 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（ 1）所有直角三角形的集合可以表示为： x | x是直角三角形 ，也可以写成： 直角三角形 ；（2）集合 ( x, y) | yx21 与集合 y | yx21 是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn 图 .= ； （3）AB=B A； （ 4）A B子集、相等、真子集、空集的概念： 如果集

5、合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（ subset），记作： AB(或BA) ，读作： A 包含于（ is contained in）B，或 B 包含 (contains)A.当集合 A 不包含于集合B 时，记作A ? B . 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图 . 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：AB(或BA) .AB 集合相等 ：若 AB且 BA ，则 AB 中的元素是一样的，因此AB . 真子集 ：若集合 A B ，存在元素 x B且 x A ，则称集合 A 是集合 B 的真

6、子集（ proper subset），记作： A B（或 B A），读作： A 真包含于 B（或 B 真包含 A）. 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.集合 A 的元素个数A 的子集个数A 的真子集个数A 的非空真子集个数010012102432n2n2n-12n-2列举法与字典排列法：A 中有 10 个元素，问： A 的子集中，含有2 个元素的子集有多少？交集、并集： 一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A、 B 的交集（ intersection set），记作 A B，读

7、“ A 交 B”，即：A B x | x A,且 xB.Venn 图如右表示 .AB交的性质：（1） A A=A ； (2)A （ 5）若 A B，则 AB=A 。 类比说出并集的定义 .由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做set），记作：AB ，读作： A 并 B，用描述法表示是：AB x | xA,或 xB .A，A BB；A 与 B 的并集（ unionVenn图如右表示 .AB并的性质：（1） A A=A ； (2)A =A ；（ 3） A B=B A ；（4） AA B，BAB；（ 5）若 A B，则 AB=B。 如果集合 A 的任意一个元素都是集合B的元素，

8、则称集合A 是集合 B 的，记作.若集合 AB ，存在元素 xB且 xA ，则称集合 A 是集合 B 的，记作.若A B且BA ，则. 两个集合的部分、部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：A B； AB.全集、补集： 全集 ：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（ Universe ），通常记作 U . 补集：已知集合 U, 集合 AU，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫作A 相对于 U的 补 集 （ complementaryset）， 记 作 ： CU A ， 读 作 ：“ A 在 U 中 补 集 ”， 即CU A x | x U

9、,且 x A .补集的 Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.补的性质：（设U 为全集）（1）U(CUA)=A ；(2) C UU=;(3) CU=U；C（4）（ CUA）A=；（ 5）（ CUA） A=U; (6)若 AB ，则 CUA CUB;(7) 反演律： CU (AB)= ( CU A) (CU B)；CU (AB)= ( CU A)(CU B)。1. 集合有哪几种表示方法？2.定义 A B x | xA, 但x B 。若 A=1 ， 2， 3， 4，5,B=2,4,6,8，求 AB；BA；A(AB)。3.设 A=0,1

10、， B x x A ，试用列举法表示 B，并指出 A 与 B 的关系。4.由集合 A 的所有子集构成的集合叫做A 的幂集，记作 2A。若 A=0,1,2，则 2A=。5.指出与 之间的关系，讨论A 与A 之间的关系。6. 用列举法表示下列集合： 15 以内质数的集合； 方程 x(x2 1)0 的所有实数根组成的集合； 一次函数 yx 与 y 2 x1 的图象的交点组成的集合 .用列举法表示“一次函数y x 的图象与二次函数 yx2 的图象的交点”组成的集合 .7. 下列说法正确的是（）.A某个村子里的高个子组成一个集合B所有小正数组成一个集合C集合 1,2,3,4,5 和 5,4,3,2,1

11、表示同一个集合1361D 1,0.5,这六个数能组成一个集合8. 给出下列关系： 1R ；2 Q；3 N；3Q.2其中正确的个数为（） .A1 个B2 个C3 个D4 个9. 直线 y2x1 与 y 轴的交点所组成的集合为（）.A. 0,1B. (0,1)C.1,0D.1(,0)2210. 集合 1,2 、 (1,2) 、 (2,1) 、 2,1 的元素分别是什么？四个集合有何关系？11. 探究 ：比较如下表示法 方程 x210 的根 ； 1,1 ； x R | x21 0.12.用描述法表示下列集合 .30 的所有实数根组成的集合；（1）方程 x 4x（ 2） 所有奇数组成的集合 .13.

12、试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线yx21 上的所有点组成的集合；（2）方程组3x2 y2解集 .2 x3y2714. 以下三个集合有什么区别 .（1） ( x, y) | yx21 ；（2） y | y x21 ；（3） x | y x21 .15. 已知集合 A x |3 x 3,x Z ，集合 B( x, y) | yx21,x A . 试用列举法分别表示集合 A、 B.16. 若集合 A 1,3 ，集合 B x | x2ax b0，且 AB，求实数 a、 b.17. 思考下列问题 .（1）符号“ aA ”与“ aA ”有什么区别？试举例说明.（ 2）任何一个集合是它本身的

13、子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论 .18. 若集合 A x| x19. 已知集合 Aa ， B x | 2x x | ax5 ， B50 ，且满足AB ，求实数 a 的取值范围 . x | x2 ， 且 满 足 AB ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围为.当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1. 下列结论正确的是（）.A.AB.0C. 1,2ZD.00,12.设 Ax x 1 , Bx xa，且 AB ，则实数 a 的取值范围为（） .A. a1B.a1C. a1D.a13.若 1,2 x | x2bxc0 ，则（） .A. b3,c2B.b3

14、,c2C. b2,c3D.b2,c34.满足 a, bA a, b, c, d 的集合 A 有 个.5.设集合 A四边形, B 平行四边形 , C矩形 ， D正方形 ，则它们之间的关系是，并用 Venn 图表示 .20.已知 A x | x2pxq23x20且 AB ，求实数 p、q 所满足的条件 .0 ， B x| x21.设 A ( x, y) | 4xy6 ， B ( x, y) |3x 2y 7 ，求 A B.变式 ：（1）若 A( x, y) | 4xy6， B( x, y) | 4xy3，则 AB；（2）若 A( x, y) | 4xy6，B( x, y) |8x2 y12，则 A

15、B.反思 ：上题及变式的结论说明了什么几何意义？22.设 A x | x a ， B x |0x 3 ，若 AB，求实数 a 的取值范围是.23.已知全集 I=小于10的正整数，其子集 A、B满 足(C A)(CB )1, 9II，(CIA) B4,6,8， AB2 . 求集合 A、B.24. 分别用集合 A、 B、C 表示下图的阴影部分 .（1）；（2）；（ 3）；（ 4）.25.已知全集 U1,2,3,4,5，若 ABU ， AB， A( CU B) 1,2 ，求集合 A、B.26.若 Ax x24x30, Bx x2axa 10，C2mx10且 ABA, ACC ，求实数 a、 m 的值

16、或取值范围x x变式：设 A28x150， B x | ax10，若 BA，求实数 a 组成的集合。 x | x27. 设 A x x2 ax a2 19 0 ， B x x2 5x 6 0， C x x2 2x 80 （ 1）若 AB，求 a 的值；（ 2）若AB，AC，求 a 的值 当堂检测 （时量：5 分钟满分： 10 分）计分：1.如果集合 A= x | ax 2 2x 1=0中只有一个元素，则a 的值是（）.A 0B 0或1C1D不能确定2.集合=| =2， Z， =|=4k，kZ，则A与B的关系为（）.A x x nnB y yA ABB ABC =BDABA3.设全集 U 1,2,3,4,5,6,7，集合 A1,3,5 ，集合 B3,5，则（）.AUABB U (CUA)