高考第一轮复习数学：14.2导数的应用教案含习题及答案

1、高考数学精品复习资料 2019.514.2 导数的应用知识梳理1.函数的单调性（1）设函数y=f（x）在某个区间内可导,若f（x）0,则f（x）为增函数;若f（x）0,则f（x）为减 函数.（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法.确定函数f（x）的定义区间.求f（x）,令f（x）=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.把函数f（x）的间断点即包括f（x）的无定义点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.确定f（x）在各小开区间内的符号,根据f（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性.2.可导函数的极值（1）极

2、值的概念设函数f（x）在点x 0附近有定义,且若对x0附近所有的点都有f（x）f（x0）（或f（x）f（x0）,则称f（x0）为函数的一个极大（小）值,称x0为极大（小）值点.（2）求可导函数f（x）极值的步骤.求导数f（x）.求方程f（x）=0的根.检验f（x）在方程f（x）=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值.3.函数的最大值与最小值（1）设y=f（x）是定义在区间a,b上的函数,y=f（x）在（a,b）内有导数,求函数y=f（x）在a,b上的最大

3、值与最小值,可分两步进行.求y=f（x）在（a,b）内的极值.将y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.（2）若函数f（x）在a,b上单调增加,则f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值;若函数f（a）在a,b上单调递减,则f（a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值.特别提示我们把使导函数f（x）取值为0的点称为函数f（x）的驻点,那么（1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f（0）根本不存在,所以点x=0不是f（

4、x）的驻点.（2）可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是 f（x）=3x2,在点x=0处有f（0）=0,即点x=0是f（x）=x3的驻点,但从f（x）在（, +）上为增函数可知,点x=0不是f（x）的极值点.点击双基1.（2005年海淀区高三第一学期期末模拟）函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数a.（,） b.（,2）c.（, ） d.（2,3）解析：y=（xsinx+cosx）=sinx+xcosxsinx=xcosx,当x（,）时,恒有xcosx0.答案：c2.函数y=1+3xx3有a.极小值2,极大值2b.极小值2,极大值3c.极小值

5、1,极大值1d.极小值1,极大值3解析：y=33x2=3（1+x）（1x）.令y=0得x1=1,x2=1.当x1时,y0,函数y=1+3xx3是减函数;当1x1时, y0,函数y=1+3xx3是增函数;当x1时,y0,函数y=1+3xx3是减函数.当x=1时,函数y=1+3xx3有极小值1;当x=1时,函数y=1+3xx3有极大值3.答案：d3.设f（x）在（a,b）内有定义，x0（a,b），当xx0时，f（x）0;当xx0时，f（x）0.则x0是a.间断点 b.极小值点c.极大值点 d.不一定是极值点解析:f（x）在x0处不一定连续.答案:d4.函数f（x）=xx在（，）上的单调性是_.解析

6、:f（x）=exex=ex（e2x1）,当x（0,+）时，f（x）0.f（x）在（0，+）上是增函数.答案:增函数5.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是r上的单调递增函数，则m的取值范围是_.解析:f（x）=3x2+2x+m.f（x）在r上是单调递增函数,f（x）0在r上恒成立，即3x2+2x+m0.由=44×3m0,得m.答案:m典例剖析【例1】 求函数y=的值域.剖析:求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解.解:函数的定义域由求得x2.求导得y=.由y0得2,即解得x2,

7、即函数y=在（2,+）上是增函数.又此函数在x=2处连续,在2,+）上是增函数，而f（2）=1.函数y=的值域是1,+）.评述:函数y=f（x）在（a,b）上为单调函数，当在a,b上连续时，y=f（x）在a,b上也是单调函数.【例2】 已知f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=±1时取得极值，且f（1）=1,（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断x=±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由.剖析:考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f（x）=0的根建立起由极值点x=±1所确定的相关等式，运

8、用待定系数法确定a、b、c的值.（1）解法一:f（x）=3ax2+2bx+c,x=±1是函数的极值点,x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系知又f（1）=1,a+b+c=1.             由解得a=,b=0,c=.解法二:由f（1）=f（1）=0,得3a+2b+c=0, 3a2b+c=0. 又f（1）=1,a+b+c=1. 由解得a=,b=0,c=.（2）解:f（x）=x3x,f（x）= x2= （x1）（x+1）.当x

9、1或x1时,f（x）0;当1x1时，f（x）0.x=1时，f（x）有极大值；x=1时,f（x）有极小值.【例3】 已知函数f（x）=2ax,x（0,1.（1）若f（x）在x（0,1上是增函数，求a的取值范围；（2）求f（x）在区间（0,1上的最大值.剖析:（1）要使f（x）在（0,1上为增函数，需f（x）0,x（0,1）.（2）利用函数的单调性求最大值.解:（1）由已知可得f（x）=2a+,f（x）在（0,1）上是增函数，f（x）0,即a, x（0,1.a1.当a=1时，f（x）=2+对x（0,1）也有f（x）0，满足f（x）在（0,1上为增函数，a1.（2）由（1）知,当a1时,f（x）在（

10、0,1上为增函数,f（x）max=f（1）=2a1.当a1时，令f（x）=0得x=,01,0x时,f（x）0; x1时，f（x）0.f（x）在（0, ）上是增函数，在（,1减函数.f（x）max=f （）=3.评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.深化拓展（1）也可用函数单调性的定义求解.思考讨论函数f（x）在区间d上的极值与最值有什么联系？闯关训练夯实基础1.下列各式正确的是a.xsinx （x0）b.sinxx （x0）c.xsinx （0x）d.以上各式都不对解析：令f（x）=xsinx,则f（x）=1cosx0（当x0,x2n,n=1,2,）.

11、故f（x）在x0时单调递增.因此当x0时,有f（x）f（0）=0.答案：b2.函数f（x）=sin（3x）在点（,）处的切线方程是a.3x+2y+=0b.3x2y+=0c.3x2y=0d.3x+2y=0解析:因为f（x）=3cos（3x）,所以所求切线的斜率为f（）=,切线方程为y= （x）,即3x2y+=0.答案:b3.函数y=2x（x0）的最大值为_.解析:y=2,当0x时，y0,y=2x在（0,）上为增函数.当x时，y0,y=2x在（,+）上是减函数.y=2x在（0,+）上的最大值为=.答案:4.（2005年北京东城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:函

12、数y=f（x）在区间（3,）内单调递增;函数y=f（x）在区间（,3）内单调递减;函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;当x=2时,函数y=f（x）有极小值;当x=时,函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_解析:当x（4,5）时,恒有f（x）0.答案:5.已知f（x）=2ax+lnx在x=1,x=处取得极值.（1）求a、b的值；（2）若对x,4时，f（x）c恒成立，求c的取值范围.解:（1）f（x）=2ax+lnx,f（x）=2a+.f（x）在x=1与x=处取得极值，f（1）=0,f（）=0,即解得所求a、b的值分别为1、1.（2）由（1）得f（x）=2+= （2x2+x1）=

13、（2x1）（x+1）.当x,时，f（x）0;当x,4时，f（x）0.f（）是f（x）在,4上的极小值.又只有一个极小值，f（x）min=f（）=3ln2.f（x）c恒成立，cf（x）min=3ln2.c的取值范围为c3ln2.6.（2004年全国,理19）已知ar，求函数f（x）=x2eax的单调区间.解:f（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax.当a=0时，若x0，则f（x）0，若x0,则f（x）0.所以当a=0时，函数f（x）在区间（,0）内为减函数，在区间（0，+）内为增 函数.当a0时，由2x+ax20，解得x或x0;由2x+ax20,得x0.所以当a0时，函数f（x

14、）在区间（，）内为增函数，在区间（,0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.当a0时，由2x+ax20，得0x.由2x+ax20，得x0或x.所以当a0时，函数f（x）在区间（,0）内为减函数，在区间（0，）内为增函数，在区间（,+）内为减函数.培养能力7.已知xr,求证：exx+1.证明:设f（x）=exx1,则f（x）=ex1.当x=0时，f（x）=0,f（x）=0.当x0时，f（x）0,f（x）在（0,+）上是增函数.f（x）f（0）=0.当x0时，f（x）0,f（x）在（,0）上是减函数，f（x）f（0）=0.对xr都有f（x）0.exx+1.8.（2004年全国，文21）若函数f

15、（x）=x3ax2+（a1）x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，）上为增函数，试求实数a的取值范围.解:函数f（x）的导数f（x）=x2ax+a1.令f（x）=0,解得x=1或x=a1.当a11，即a2时，函数f（x）在（1,+）上为增函数，不合题意.当a11,即a2时，函数f（x）在（,1）上为增函数，在（1,a1）内为减函数，在（a1,+）上为增函数.依题意应有当x（1,4）时，f（x）0,当x（6,+）时，f（x）0.所以4a16,解得5a7.所以a的取值范围是5,7.探究创新9.已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+2的图象关于点a（0，1）对称.（1）求f（x）的解析式

16、；（2）若g（x）=f（x）+,且g（x）在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范围.解:（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x,y），点（x,y）关于点a（0，1）的对称点（x,2y）在h（x）图象上.2y=x+2.y=x+,即f（x）=x+.（2）g（x）=x+ ,g（x）=1,g（x）在（0，2上递减，10在x（0,2时恒成立,即ax21在x（0,2）时恒成立.x（0,2时，（x21） max=3,a3.思悟小结1.函数单调性的充分条件，若f（x）0（或0），则f（x）为增函数（或减函数）.2.函数单调性的必要条件，设f（x）在（a,b）内可导，若f（x）在（a,b）上单调递增（或递减），则f（x）0（或f（x）0）且f（x）在（a,b）的任意子区间上都不恒为零.3.可以用单调性求函数的极值、最值.教师下载中心教学点睛利用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型，也是高考考查的重点，复习时应引起足够的重视.解单调性的题目时要注意判断端点能否取到，用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡.拓展题例【例题】 设函数y=f（x）=ax3+bx2+cx+d图象与y轴的交点为p,且曲线在p点处的切线方程为24x+y12=0,若函数在x=2处取得极值16,试求函数解析式,并确定函数的单调递减区间.错因点评：有的同学不知道p点处的斜率为y|,即