高考数学理一轮规范练【51】双曲线含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5课时规范练51双曲线课时规范练第77页 一、选择题1.已知m(-2,0),n(2,0),|pm|-|pn|=3,则动点p的轨迹是() a.双曲线b.双曲线左边一支c.双曲线右边一支d.一条射线答案:c解析:|pm|-|pn|=3<4,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.又|pm|>|pn|,故点p的轨迹为双曲线的右支.2.与椭圆+y2=1共焦点且过点p(2,1)的双曲线方程是()a.-y2=1b.-y2=1c.=1d.x2-=1答案:b解析:椭圆+y2=1的焦点为(±,0).因为双曲线与椭圆共焦点,所以排除a,c.又双曲线-y

2、2=1经过点(2,1),所以选b.3.如图,正六边形abcdef的两个顶点a,d为双曲线的两个焦点,其余4个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是()a.+1b.-1c.d.答案:a解析:令正六边形的边长为m,则有ad=2m,ab=m,bd=m,该双曲线的离心率等于+1.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线斜率为()a.±2b.±c.±d.±答案:c解析:由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线=1的一个顶点坐标为(5,0),即得a=5.来源:又由e

3、=,可解得c=,则b2=c2-a2=,即b=.由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=±=±.5.设f1,f2是双曲线-y2=1的两个焦点,点p在双曲线上,当f1pf2的面积为2时,的值为()a.2b.3c.4d.6答案:b解析:设点p(x0,y0),依题意得,|f1f2|=2=4,|f1f2|y0|=2|y0|=2,|y0|=1.又=1,=3(+1)=6,·=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=-4=3.6.(20xx山东高考)抛物线c1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线c2:-y2=1的右焦点的连线交c1于第一象限的点m.若c1在点m处的切

4、线平行于c2的一条渐近线,则p=()a.b.c.d.答案:d解析:设m,y'='=,故在m点处的切线的斜率为,故m.由题意又可知抛物线的焦点为,双曲线右焦点为(2,0),且,(2,0)三点共线,可求得p=,故选d.二、填空题7.(20xx江苏高考)双曲线=1的两条渐近线的方程为. 答案:y=±x解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=±x.8.已知双曲线x2-=1的左顶点为a1,右焦点为f2,p为双曲线右支上一点,则的最小值为. 答案:-2解析:由题可知a1(-1,0),f2(2,0).设p(x,y)(x1),则=(-1-x,-y),

5、=(2-x,-y),·=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.x1,函数f(x)=4x2-x-5的图象的对称轴为x=,当x=1时,·取得最小值-2.9.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是a1,a2,m是双曲线上任意一点,若直线ma1,ma2的斜率之积等于2,则该双曲线的离心率是. 答案:解析:设点m(x0,y0),a1(-a,0),a2(a,0),则直线ma1的斜率是,直线ma2的斜率是,直线ma1,ma2的斜率之积是·,故=2,故该双曲线的离心率e=.三、解答题10.

6、已知双曲线c1:=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线c2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2,求抛物线c2的方程.解:由于e=2,c=2a,即c2=4a2.来源:又有c2=a2+b2,b2=3a2,即b=a.双曲线的渐近线方程y=±x即为y=±x,即±x+y=0.来源:又抛物线的焦点坐标为f,f到渐近线的距离为2,即=2,解得p=8.抛物线c2的方程为x2=16y.11.已知双曲线的中心在原点,焦点f1,f2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点m(3,m)在双曲线上,求证:=0;(

7、3)求f1mf2的面积.解：(1)解因为e=,所以可设双曲线方程为x2-y2=.因为双曲线过点(4,-),所以16-10=,即=6.所以双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明:由(1)可知a=b=,所以c=2.所以f1(-2,0),f2(2,0).所以=-.因为点(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3.故·=-1,所以mf1mf2.所以·=0.来源:(3)解f1mf2的底边长|f1f2|=4,f1mf2的高h=|m|=,所以=6.12.直线l:y=(x-2)和双曲线c:=1(a>0,b>0)交于a,b两点,且|ab|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线c的离心率;(2)求双曲线c的方程.解:(1)设双曲线c:=1过一、三象限的渐近线l1:=0的倾斜角为.因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为p.而l2与x轴平行,记l2与y轴交点为q点.依题意有qpo=pom=opm=.又l:y=(x-2)的倾斜角为60°,则2=60°,所以tan30°=.于是e2=1+=1+,所以e=.(2)由,可设双曲线方程为=1,即x2-3y2=3k2.来源:将y=(